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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章《回歸分析》教案1 新人教A版選修2-3 教學(xué)目標(biāo) （1）通過實例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機誤差的原因； （2）通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法； （3）能求出簡單實際問題的線性回歸方程． 教學(xué)重點，難點 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法． 教學(xué)過程 一．問題情境 1． 情境：對一作直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計當(dāng)x=９時的位置y的值． 時刻/s 位置觀測值/cm 根據(jù)《數(shù)學(xué)（必修）》中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個問題的方法是： 先作散點圖，如下圖所示： 從散點圖中可以看出，樣本點呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系．因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系．根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式， 可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時，由線性回歸方程可以估計其位置值為 2．問題：在時刻時，質(zhì)點的運動位置一定是嗎？ 二．學(xué)生活動 思考，討論：這些點并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實際值與估計值之間存在著誤差． 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．線性回歸模型的定義： 我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)； 的實際值與估計值之間的誤差記為，稱之為隨機誤差； 將稱為線性回歸模型． 說明：（1）產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響； ③存在觀測誤差． （2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個問題： ①模型是否合理（這個問題在下一節(jié)課解決）； ②在模型合理的情況下，如何估計，？ 2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值： 對于問題②，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對于每一個，對應(yīng)的隨機誤差項，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時的，值作為，的估計值，記為，． 注：這里的就是擬合直線上的點到點的距離． 用什么方法求，？ 回憶《數(shù)學(xué)3（必修）》“2．4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法． 利用最小二乘法可以得到，的計算公式為 ， 其中， 由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 在前面質(zhì)點運動的線性回歸方程中，，． 3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位； 4． 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想） 在實際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式． （1），令，，則有． （2），令，，，則有． （3），令，，，則有． （4），令，，，則有． （5），令，，則有． 四．?dāng)?shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù)． 年份 人口數(shù)/百萬 解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表： 作出個點構(gòu)成的散點圖， 由圖可知，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系． 根據(jù)公式（1）可得 這里的分別為的估 計值，因此線性回歸方程 為 由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計為13.23億. 例2． 某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)： 人均 資本 /萬元 人均 產(chǎn)出 /萬元 （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值； （2）估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）． 分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對數(shù)運算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系． 解（1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示． 1 人均資本/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問題情境可得，的估計值，分別為由可得，即，的估計值分別為和． （2）由（1）知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖（見書本 頁） 當(dāng)時，（萬元），故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬元時，人均產(chǎn)值約為萬元．