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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第五課時(shí) 任意角的三角函數(shù)教案（1） 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義，理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域；使學(xué)生通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義，認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，加深特殊與一般關(guān)系的理解. 教學(xué)重點(diǎn)： 任意角三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 教學(xué)難點(diǎn)： 正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.課題導(dǎo)入 在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)，前面我們對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，并學(xué)習(xí)了弧度制，知道角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的，在這個(gè)基礎(chǔ)上，今天我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù). Ⅱ.講授新課 對(duì)于銳角三角函數(shù)，我們是在直角三角形中定義的，今天，對(duì)于任意角的三角函數(shù)，我們利用平面直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行研究. 設(shè)α是一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上的任意角，α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y）(非頂點(diǎn)).它與原點(diǎn)的距離是r(r＝＞0） 注意：(1)以后我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的正半軸重合. (2)OP是角α的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚，也只有這樣，才能說(shuō)明角α是任意的. (3)角α的終邊只要不落在坐標(biāo)軸上，就只能是象限角. (4)角α的終邊不是不能落在坐標(biāo)軸上，而是說(shuō)落在坐標(biāo)軸上的情況屬于特殊情形，我們將在研究問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)其進(jìn)行討論. 那么，(1)比值 叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝ . (2)比值 叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝. (3)比值 叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝ . 以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù). 確定的角α，它的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)都是變量，它與原點(diǎn)的距離r也是變量，這三個(gè)變量的三個(gè)比值究竟是確定的還是變化的？ 根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于終邊不在坐標(biāo)軸上確定的角α，上述三個(gè)比值都不會(huì)隨P點(diǎn)在α的終邊上的位置的改變而改變.當(dāng)角α的終邊在縱軸上時(shí)，即α＝kπ＋（k∈Z)時(shí)，終邊上任意一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x都為0，所以tanα無(wú)意義，除此之外，對(duì)于確定的角α，上面的三個(gè)比值都是唯一確定的實(shí)數(shù)，這就是說(shuō)，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù). 注意：(1)sinα是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余兩個(gè)符號(hào)也是這樣. (2)定義中只說(shuō)怎樣的比值叫做α的什么函數(shù)，并沒(méi)有說(shuō)α的終邊在什么位置(終邊在坐標(biāo)軸上的除外)，即函數(shù)的定義與α的終邊位置無(wú)關(guān). (3)比值只與角的大小有關(guān). 我們已經(jīng)給出了任意角三角函數(shù)的定義，請(qǐng)同學(xué)們考慮并比較一下，我們給出的任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義，有什么聯(lián)系與區(qū)別? 正弦函數(shù)值是縱坐標(biāo)比距離，余弦函數(shù)值是橫坐標(biāo)比距離，正切函數(shù)值是縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo). 由于角的集合與實(shí)數(shù)集R之間是一一對(duì)應(yīng)的，所以三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).我們知道，函數(shù)有三個(gè)要素，即定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，下面我們就來(lái)研究正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，值域問(wèn)題待后再作研究. 對(duì)于正弦函數(shù)sinα＝，因?yàn)閞＞0，所以 恒有意義，即α取任意實(shí)數(shù)，恒有意義，也就是說(shuō)sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R；類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)tanα＝，因?yàn)閤＝0時(shí)，無(wú)意義，即tanα無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x＝0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí)，恒有意義，即tanα恒有意義，所以正切函數(shù)的定義域是α≠kπ＋（k∈Z). 為了幾何表示的需要，我們先來(lái)看單位圓的概念：以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑的圓稱為單位圓.單位長(zhǎng)——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1個(gè)單位長(zhǎng)，它們的單位雖不同，但長(zhǎng)度都是1個(gè)單位長(zhǎng).即單位圓的半徑是1(個(gè)單位長(zhǎng)). 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，作單位圓，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y），x軸的正半軸與單位圓相交于A（1，0），過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M；過(guò)A作單位圓的切線，這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行)，設(shè)它與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T. 顯然，線段OM的長(zhǎng)度為｜x｜，線段MP的長(zhǎng)度為｜y｜，它們都只能取非負(fù)值. 當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段。 如果x＞0，OM與x軸同向，規(guī)定此時(shí)OM具有正值x；如果x＜0，OM與x軸正向相反(即反向)，規(guī)定此時(shí)OM具有負(fù)值x，所以不論哪一種情況，都有OM＝x. 如果y＞0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時(shí)MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作與y軸反向，規(guī)定此時(shí)MP具有負(fù)值y，所以不論哪一種情況，都有MP＝y(tǒng)，由上面所述，OM、MP都是帶有方向的線段，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段（即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)），把它們的長(zhǎng)度添上正號(hào)或負(fù)號(hào)，這樣所得的數(shù)，叫做有向線段的數(shù)量，記為AB 于是，根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義，就有 sinα＝ ＝ ＝y(tǒng)＝MP cosα＝ ＝＝x＝OM 這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線. 類似地，我們把OA、AT也看作有向線段，那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的 知識(shí)，就有tanα＝ ＝＝AT 這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT，叫做角α的正切線. 注意：(1)當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在. (2)當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，正弦線、正切線都變成點(diǎn). (3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時(shí)，一定要先作單位圓. (4)線段有兩個(gè)端點(diǎn)，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時(shí)，要先寫起點(diǎn)字母，再寫終點(diǎn)字母，不能顛倒；或者說(shuō)，含原點(diǎn)的線段，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，不含原點(diǎn)的線段，以此線段與x軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn). (5)三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致，三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同. 正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. Ⅲ.例題分析 ［例1］已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)(如圖)，求α的三個(gè)三角函數(shù)值. 解：∵x＝2，y＝－3 ∴r＝＝ 于是sinα＝ ＝＝－ cosα＝＝＝ tanα＝ ＝－ ［例2］求下列各角的三個(gè)三角函數(shù)值. (1)0 (2)π (3) 解：(1)因?yàn)楫?dāng)α＝0時(shí)，x＝r，y＝0，所以 sin0＝0 cos0＝1 tan0＝0 (2)因?yàn)楫?dāng)α＝π時(shí)，x＝－r，y＝0，所以 sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0 (3)因?yàn)楫?dāng)α＝時(shí)，x＝0，y＝－r，所以 sin＝－1 cos＝0 tan不存在 Ⅳ.課堂練習(xí) 課本P16練習(xí) 1、2、3. Ⅴ.課時(shí)小結(jié) 任意角三角函數(shù)的定義，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域，單位圓的概念，有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數(shù)線都是一些特殊的有向線段，其之所以特殊，一是其與坐標(biāo)軸平行(或重合)，二是其與單位圓有關(guān)，這些線段分別都可以表示相應(yīng)三角函數(shù)的值，所以說(shuō)它們是三角函數(shù)的一種幾何表示. Ⅵ.課后作業(yè) 課本P23習(xí)題 1、2、3. 任意角的三角函數(shù)(一) 1．sin1、cos1、tan1的大小關(guān)系是 （ ） A.tan1＜cos1＜sin1 B.sin1＜cos1＜tan1 C.sin1＜tan1＜cos1 D.cos1＜sin1＜tan1 2．已知角α的正弦線和余弦線是方向一正一反、長(zhǎng)度相等的有向線段，則α的終邊在（ ） A.第一象限角平分線上 B.第二象限角平分線上 C.第二或第四象限角平分線上 D.第一或第三象限角平分線上 3．如果＜θ＜，那么下列各式中正確的是 （ ） A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθ C.tanθ＜sinθ＜cosθ D.cosθ＜sinθ＜tanθ 4．若點(diǎn)P(－3，y)是角α終邊上一點(diǎn)，且sinα＝－，則y的值是________. 5．已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4a，3a)(a＜0)，則sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________. 6．如果角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合.終邊在函數(shù)y＝－3x(x≤0)的圖象上，則sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________. 7．已知角θ的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值. 8．已知角α終邊上有一點(diǎn)P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值. 9．已知θ是第一象限角，試?yán)萌呛瘮?shù)線證明：sinα+cosα＞1. 任意角的三角函數(shù)(一)答案 1．D 2．C 3．D 4．－ 5．－ － 6． － －3 7．已知角θ的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值. 分析：r＝，又cosθ＝＝，即rx＝3x 由于x≠0，∴r＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝. 當(dāng)x＝時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（，－2）. sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝－. 當(dāng)x＝－時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（－，－2） sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝. 答案：當(dāng)x＝時(shí)，sinθ＝－，tanθ＝－ 當(dāng)x＝－時(shí)，sinθ＝－，tanθ＝ 8．已知角α終邊上有一點(diǎn)P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值. 分析：由任意角的三角函數(shù)的定義 cosα＝＝x，∴r＝2 ∴sinα＝＝. 另：用x、1表示出r，即r＝ 再由cosα＝x，求出x. 進(jìn)一步求得sinα也可. 9．已知θ是第一象限角，試?yán)萌呛瘮?shù)線證明：sinα+cosα＞1. 提示：作出單位圓以及正弦線、余弦線，利用三角形兩邊和大于第三邊可證得.