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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 1.5空間向量的數(shù)量積 蘇教版選修2-1 課時(shí)目標(biāo)　1.掌握空間向量的夾角及空間向量數(shù)量積的概念.2.掌握空間向量的運(yùn)算律及其坐標(biāo)運(yùn)算.3.掌握空間向量數(shù)量積的應(yīng)用． 1．兩向量的夾角 如圖所示，a,b是空間兩個(gè)非零向量，過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則__________叫做向量a與向量b的夾角，記作__________． 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b______________，記作__________． 2．?dāng)?shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a，b，則____________叫做向量a，b的數(shù)量積，記作ab. 即ab＝__________. 零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 特別地，aa＝|a||a|cos〈a，a〉＝________. 3．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律 空間向量的數(shù)量積滿足如下的運(yùn)算律： (λa)b＝λ(ab) (λ∈R)； ab＝ba； a(b＋c)＝ab＋ac. 4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 (1)ab＝________________； (2)a⊥b?__________?____________________________； (3)|a|＝＝______________； (4)cos〈a，b〉＝____________＝_________________________________________. 一、填空題 1．若a，b均為非零向量，則ab＝|a||b|是a與b共線的____________條件． 2．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a＋3b|＝________. 3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，則λ＝________. 4．若a、b、c為任意向量，下列命題是真命題的是____．(寫出所有符合要求的序號(hào)) ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若ab＝ac，則b＝c； ③(ab)c＝(bc)a＝(ca)b； ④若|a|＝|b|，且a與b夾角為45，則(a－b)⊥b. 5．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a與b成120角，則k＝________. 6.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 7．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，則a和b的夾角為_(kāi)___________． 8．若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為，則|a＋b|＝________. 二、解答題 9. 如圖，已知在空間四邊形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求證：OA⊥BC. 10.在正四面體ABCD中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別是棱AB、CD上的點(diǎn)，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN. 能力提升 11. 如圖所示，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，線段BD與α所成的角為30，求CD的長(zhǎng)． 12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中點(diǎn)分別為P、Q. (1)求的長(zhǎng)； （2）求cos〈，〉，cos〈，〉，并比較〈，〉與〈，〉的大小； (3)求證：⊥. 1．?dāng)?shù)量積可以利用基底或坐標(biāo)兩種形式進(jìn)行運(yùn)算．選擇基底時(shí)，應(yīng)注意三個(gè)基向量的長(zhǎng)度，兩兩之間的夾角應(yīng)該是確定的；當(dāng)所選基向量?jī)蓛苫ハ啻怪睍r(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算更為方便． 2．利用數(shù)量積可以求向量的長(zhǎng)度和向量的夾角． 3．1.5　空間向量的數(shù)量積 知識(shí)梳理 1．∠AOB　〈a，b〉　互相垂直　a⊥b 2．|a||b|cos〈a，b〉　|a||b|cos〈a，b〉　|a|2 4．(1)a1b1＋a2b2＋a3b3　(2)ab＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(3) (4)　 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．充分不必要 解析　ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos〈a，b〉＝1〈a，b〉＝0，但當(dāng)a與b反向時(shí)，不能成立． 2. 解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6ab＋9b2 ＝1＋6cos60＋9＝13.∴|a＋3b|＝. 3．3 解析　∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)， ∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)． ∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3. 4．④ 解析　兩個(gè)向量的等價(jià)條件是模長(zhǎng)相等且方向相同， 故命題①錯(cuò)； ab＝|a||b|cos〈a，b〉，而ac＝|a||c|cos〈a，c〉， 于是由ab＝ac推出的是|b|cos〈a，b〉＝|c|cos〈a，c〉，故命題②錯(cuò)；向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律， 故命題③錯(cuò)；(a－b)b＝ab－b2＝b2－b2＝0，故命題④正確． 5．－ 解析　cos〈a，b〉＝＝＝－，得k＝.又k<0，所以k＝－. 6．(，，) 解析　設(shè)Q(λ，λ，2λ)，則＝(1－λ，2－λ，3－2λ)(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，當(dāng)取最小值時(shí)，λ＝，所以Q(，，)． 7．60 解析　由(a＋3b)(7a－5b)＝0， (a－4b)(7a－2b)＝0， 得7a2＋16ab－15b2＝0,7a2－30ab＋8b2＝0， 解得a2＝b2，b2＝2ab， ∴cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝60. 8. 解析　|a＋b|＝ ＝＝. 9．證明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， ∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC＝∠AOB. ∵＝(－) ＝－ ＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝0， ∴OA⊥BC. 10． 解　如圖所示，||＝||＝||＝a，把題中所用到的量都用向量、、表示， 于是＝＋＋ ＝＋(－)＋(－)＝－＋＋. 又＝＝ ＝||2cos60＝||2＝a2， ∴＝ ＝2－－＋＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2. 故||＝＝a，即MN＝a. 11． 解　由AC⊥α，可知AC⊥AB， 過(guò)點(diǎn)D作DD1⊥α，D1為垂足， 連結(jié)BD1，則∠DBD1為BD與α所成的角，即∠DBD1＝30， ∴∠BDD1＝60， ∵AC⊥α，DD1⊥α， ∴AC∥DD1， ∴〈，〉＝60，∴〈，〉＝120. 又＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2. ∵BD⊥AB，AC⊥AB， ∴＝0，＝0. 故||2＝||2＋||2＋||2＋2 ＝242＋72＋242＋22424cos120＝625， ∴||＝25. 12． (1)解　以C為原點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)， C1(0,0,2)，P， Q(1,0,1)，B1(0,1,2)， A1(1,0,2)． ∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)， ＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)， ＝. ∴||＝＝＝. (2)解　∵＝0－1＋2＝1，||＝， ||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝. 又＝0－1＋4＝3， ||＝＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. 又0<<<1， ∴〈，〉，〈，〉∈. 又y＝cosx在內(nèi)單調(diào)遞減， ∴〈，〉>〈，〉． (3)證明　∵ ＝(－1,1,2)＝0，∴⊥.