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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 第四課時 兩角和與差的余弦、正弦、正切（一）教案 蘇教版必修3 教學目標： 掌握S（αβ），Ｃ（αβ)及T（αβ）的靈活應用，綜合應用上述公式的技能；培養(yǎng)學生觀察、推理的思維能力，使學生認識到事物間是有聯(lián)系的，培養(yǎng)學生判斷、推理的能力、加強化歸轉(zhuǎn)化能力的訓練，提高學生的數(shù)學素質(zhì). 教學重點： S（αβ），C（αβ），T（αβ）的靈活應用. 教學難點： 靈活應用和、差角公式進行化簡、求值、證明. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 請同學們回顧一下這一段時間我們一起所學的和、差角公式. sin（αβ）＝sinαcosβcosαsinβ(S（αβ）） cos（αβ）＝cosαcosβsinαsinβ(C（αβ）） tan（αβ）＝（T（αβ）） Ⅱ.講授新課 這三個公式即為兩角和(差)公式.下面請同學們思考這一組公式的區(qū)別與聯(lián)系.首先，可考慮一下這組公式的推導體系. 我們?yōu)橥茖н@組公式先引入平面內(nèi)兩點間距離公式，然后利用單位圓，三角函數(shù)的定義，最先推導出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下順序推導其余公式： Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）. 它們又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢? 下面，結合例題來看一下如何靈活運用這組公式： ［例1］求證＝1－ 分析：證明三角恒等式，一般要遵循“由繁到簡”的原則，另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法. 證明：左邊＝ ＝＝1－＝1－＝右邊， ∴原式成立. 或：右邊＝1－＝ ＝ ＝＝左邊 ∴原式成立. ［例2］已知sinβ＝msin（2α＋β），求證：tan（α＋β）＝tanα 分析：仔細觀察已知式與所證式中的角，不要盲目展開，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化為結論式中的α＋β與α的和，不妨將α＋β作為一整體來處理. 證明：由sinβ＝msin（2α＋β） sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］ sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα ＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］ （1－m）sin（α＋β）cosα＝（1＋m）cos（α＋β）sinα tan（α＋β）＝tanα 評述：此方法是綜合法，利用綜合法證明恒等式時，必須有分析的基礎，才能順利完成證明. ［例3］求tan70＋tan50－tan50tan70的值. 分析：觀察所求式子，聯(lián)想有關公式T（α＋β），注意到它的變形式： tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.運用之可求解. 解：原式＝tan（70＋50）（1－tan70tan50）－tan50tan70 ＝－（1－tan70tan50）－tan50tan70 ＝－＋tan70tan50－tan50tan70＝－ ∴原式的值為－. Ⅲ.課堂練習 1.化簡下列各式： (1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ (2)－－sinx－cosx 解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ ＝cos［（α＋β）－β］＝cosα 這一題可能有些學生要將cos（α＋β）與sin（α＋β）按照兩角和的正、余弦公式展開，從而誤入歧途，老師可作適當提示，讓學生仔細觀察此題結構特征，就整個式子直接運用公式以化簡. (2) －－sinx－cosx ＝－－sinx－cosx ＝－－（sinx＋cosx） ＝－（sinx＋cosx）＝0 這一題目運用了解三角函數(shù)題目時常用的方法“切割化弦”. 2.證明下列各式 (1) ＝ (2)tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β (3) －2cos（α＋β）＝ 證明：(1)右邊＝＝ ＝＝左邊 (2）左邊＝tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β） ＝（1－tan2αtan2β） ＝（1－tan2αtan2β） ＝tan2α－tan2β＝右邊 (3)左邊＝－2cos（α＋β） ＝ ＝＝ ＝＝右邊 3.(1)已知sin（α＋45）＝，45＜α＜135，求sinα. (2)求tan11＋tan34＋tan11tan34的值. 解：(1)∵45＜α＜135， ∴90＜α＋45＜180 又∵sin（α＋45）＝， ∴cos（α＋45）＝－ ∴sinα＝sin［（α＋45）－45］ ＝sin（α＋45）cos45－cos（α＋45）sin45 ＝＋＝ 這題若仔細分析已知條件，可發(fā)現(xiàn)所給α的取值范圍不能確定cosα的取值，所以需要將α化為（α＋45）－45，整體運用α＋45的三角函數(shù)值，從而求得sinα的值. （2）tan11＋tan34＋tan11tan34 ＝tan（11＋34）（1－tan11tan34）＋tan11tan34 ＝tan45（1－tan11tan34）＋tan11tan34 ＝1－tan11tan34＋tan11tan34＝1 注意運用公式的等價變形式. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，大家應初步掌握和、差角公式的基本運用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P106 5，6，7，8