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2019-2020年高中數(shù)學《函數(shù)及其表示》教案2 新人教A版必修1 教學目標： 使學生理解函數(shù)的概念，明確決定函數(shù)的三個要素，學會求某些函數(shù)的定義域，掌握判定兩個函數(shù)是否相同的方法；理解靜與動的辯證關系. 教學重點： 函數(shù)的概念，函數(shù)定義域的求法. 教學難點： 函數(shù)概念的理解. 教學過程： 一、情境設置 問題一：在初中，我們已經學習了函數(shù)的概念，請同學們回憶一下，它是怎樣表述的？ （幾位學生試著表述，之后，教師將學生的回答梳理，再表述或者啟示學生將表述補充完整再條理表述）. 設在一個變化的過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有惟一的值與它對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量. 我們學習了函數(shù)的概念，并且具體研究了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，請同學們思考下面兩個問題： 問題二：y＝1（x∈R）是函數(shù)嗎？ 問題三：y＝x與y＝是同一個函數(shù)嗎？ （學生思考，很難回答） 顯然，僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問題，因此，需要從新的高度來認識函數(shù)概念（板書課題）. 二、學生活動 在現(xiàn)實生活中，我們可能遇到下列問題： ⑴估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據(jù).從人口統(tǒng)計年鑒中可以查得我國從1949年至xx年人口數(shù)據(jù)資料如表所示，你能根據(jù)這個表說出我國人口變化情況嗎？ 年　份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 xx 人口數(shù)/百萬 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246 ⑵一物體從靜止開始下落，下落的距離y(m)與下落時間x(s)之間近似地滿足關系式y(tǒng)＝4.9x2.若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎？ ⑶下圖為某市一天24小時的氣溫變化圖. ①上午6時的氣溫約是多少？全天的最高、最低氣溫分別是多少？ ②在什么時刻，氣溫為0℃？ ③在什么時刻內，氣溫在0℃以上？ 問題四：在上述例子中，是否確定了函數(shù)關系？為什么？ 三、建構數(shù)學 問題五：如何用集合的觀點來闡述上面三個例子中的共同特點？ 對于集合A中的任意一個數(shù)，按照某種對應關系，集合B中都有惟一的數(shù)和它對應. 問題六：如何用集合的觀點來理解函數(shù)的概念？ 結論：函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集之間的單值對應. 反思：⑴結論是否正確地概括了例子的共同特征？ ⑵比較上述認識和初中函數(shù)概念是否有本質上的差異？ ⑶正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)是否也具有上述特征？ 問題七：如何用集合的語言來闡述上面三個例子中的共同特點？ 對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應，記作：f：A→B. 函數(shù)的定義 設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù)，通常記為 y＝f(x)，x∈A 其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)的定義域. 強調： ⑴集合A與集合B都是非空數(shù)集； ⑵對應法則的方向是從A到B； ⑶強調“非空”、“每一個”、“惟一”這三個關鍵詞. 說明： ⑴“單值對應”是函數(shù)對應法則的根本特征； ⑵“箭頭圖”給出了“單值對應”從一個集合到另一個集合的方向性； ⑶“輸入”與“輸出”的關系. 學生練習P29習題2.1⑴T10 反思：回答問題二、問題三 函數(shù)概念用集合、對應的語言敘述后，我們就很容易回答前面所提出的兩個問題. y=1（x∈R）是函數(shù)，因為對于實數(shù)集R中的任何一個數(shù)x，按照對應關系“函數(shù)值是1”，在R中y都有惟一確定的值1與它對應，所以說y是x的函數(shù). Y＝x與y＝不是同一個函數(shù)，因為盡管它們的對應關系一樣，但y＝x的定義域是R，而y＝的定義域是{x|x≠0}. 所以y＝x與y＝不是同一個函數(shù). 問題九：理解函數(shù)的定義，我們應該注意些什么呢？ （教師提出問題，啟發(fā)、引導學生思考、討論，并和學生一起歸納、總結） 注意：①函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集上的一種對應. ②符號“f:A→B”表示A到B的一個函數(shù)，它有三個要素；定義域、值域、對應關系，三者缺一不可.（定義域→優(yōu)先，對應法則→核心） ③集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的惟一性. ④f表示對應關系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣. ⑤f(x)是一個符號，絕對不能理解為f與x的乘積. 在研究函數(shù)時，除用符號f(x）表示函數(shù)外，還常用g(x) 、F(x)、G(x)等符號來表示. 若A是函數(shù)y＝f（x）的定義域，則對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應.我們將所有輸出值y組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱做函數(shù)的值域. 四、數(shù)學運用 例1求下列函數(shù)的定義域. (1)f(x)＝ (2)f(x)＝ (3)f(x)＝＋ 分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定.如果只給出解析式y(tǒng)＝f(x)，而沒有指明它的定義域.那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)x的集合. 解：(1)x－2≠0，即x≠2時，有意義 ∴這個函數(shù)的定義域是{x｜x≠2} (2)3x＋2≥0，即x≥－時有意義 ∴函數(shù)y＝的定義域是[－，＋∞） (3) ∴這個函數(shù)的定義域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）. 注意：函數(shù)的定義域可用三種方法表示：不等式、集合、區(qū)間. 從上例可以看出，當確定用解析式y(tǒng)＝f（x）表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況： (1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R； (2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合； (3)如果f（x）是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內的式子不小于零的實數(shù)的集合； (4)如果f（x）是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合(即使每個部分有意義的實數(shù)的集合的交集)； (5)如果f(x)是由實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集合. 例2　試比較下列兩個函數(shù)的定義域與值域： ⑴f(x)＝(x－1)2＋1,x∈{－1,0,2,3}； ⑵f(x)＝(x－1)2＋1,x∈R. 解：⑴函數(shù)的定義域為{－1,0,2,3}， 　　∵f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5， 同理f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5， ∴這個函數(shù)的值域為{1,2,5}. ⑵∵函數(shù)的定義域為R，∴(x－1)2＋1≥1， ∴這個函數(shù)的值域為{y|y≥1}. 變：f(x)＝(x－1)2＋1, x∈[－1，4] 解：畫出f(x)＝(x－1)2＋1, x∈[－1，4]的圖象， 如圖所示，得y∈[1,10] 問題十：比較兩個函數(shù)定義域，你對函數(shù)有什么新的認識？ 學生練習：P28練習T1,2,3 五、回顧反思 本節(jié)課我們學習了函數(shù)的定義（包括定義域、值域的概念）、區(qū)間的概念及求函數(shù)定義域的方法.學習函數(shù)定義應注意的問題及求定義域時的各種情形應該予以重視.（本小結的內容可由學生自己來歸納） 六、作業(yè) P28習題2.1⑴T1,2,3