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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 直線與圓錐曲線 板塊一 直線與橢圓(1)完整講義（學(xué)生版） 1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓． 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距． 2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①，焦點(diǎn)是，，且． ②，焦點(diǎn)是，，且． 3．橢圓的幾何性質(zhì)（用標(biāo)準(zhǔn)方程研究）： ⑴范圍：，； ⑵對(duì)稱性：以軸、軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心又叫做橢圓的中心； ⑶橢圓的頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，如圖中的； ⑷長(zhǎng)軸與短軸：焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段稱為橢圓的長(zhǎng)軸，如圖中線段的；另一對(duì)頂點(diǎn)間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段． ⑸橢圓的離心率：，焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，，越趨近于，橢圓越扁； 反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓． 4．直線：與圓錐曲線：的位置關(guān)系： 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來(lái)說(shuō)，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為： 設(shè)直線：，圓錐曲線：，由 消去（或消去）得：． 若，，相交；相離；相切． 若，得到一個(gè)一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對(duì)稱軸平行． 因此直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦． 求弦長(zhǎng)的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求； 另外一種求法是如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則弦長(zhǎng)公式為． 兩根差公式： 如果滿足一元二次方程：， 則（）． 6．直線與圓錐曲線問(wèn)題的常用解題思路有： ①?gòu)姆匠痰挠^點(diǎn)出發(fā)，利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行討論，這是用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)．要重視通過(guò)設(shè)而不求與弦長(zhǎng)公式簡(jiǎn)化計(jì)算，并同時(shí)注意在適當(dāng)時(shí)利用圖形的平面幾何性質(zhì)． ②以向量為工具，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決與中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、角度相關(guān)的問(wèn)題． 典例分析 【例1】 直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)和，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值． 【例2】 在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和． ⑴求的取值范圍； ⑵設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例3】 已知，直線，橢圓，， 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)． ⑴當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； ⑵設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，的重心分別為，．若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【例4】 已知橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，離心率．過(guò)作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)． ⑴求橢圓的方程； ⑵求的值． 【例5】 已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率滿足：成等比數(shù)列． ⑴求橢圓方程； ⑵是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段恰被直線平分，若存在，求出的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例6】 直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，記的面積為， ⑴求在的條件下，的最大值； ⑵當(dāng)，時(shí)，求直線的方程． 【例7】 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是其左頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且． ⑴求橢圓的方程； ⑵若平行于的直線和橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程． 【例8】 如圖，點(diǎn)是橢圓短軸的下端點(diǎn)．過(guò)作斜率為的直線交橢圓于，點(diǎn)在軸上，且軸，． ⑴若點(diǎn)坐標(biāo)為，求橢圓方程； ⑵若點(diǎn)坐標(biāo)為，求的取值范圍． 【例9】 已知橢圓的焦點(diǎn)是，，點(diǎn)在橢圓上且滿足． ⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ⑵ 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，． ?。┣笫沟拿娣e為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)； ⅱ）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的值． 【例10】 已知橢圓的離心率為． ⑴若原點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓的方程； ⑵設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線和橢圓交于兩點(diǎn)． i）當(dāng)，求的值； ii）對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式． 【例11】 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．在橢圓中有一內(nèi)接三角形，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)，所在直線的斜率為． ⑴求橢圓的方程； ⑵當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程． 【例12】 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓上． ⑴求橢圓的方程； ⑵過(guò)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程． 【例13】 已知橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且點(diǎn)在該橢圓上． ⑴求橢圓的方程； ⑵過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若的面積為，求圓心在原點(diǎn)且與直線相切的圓的方程． 【例14】 橢圓：的離心率為，長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為． ⑴求橢圓的方程； ⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率． 【例15】 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)． ⑴求橢圓的方程； ⑵是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【例16】 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率，右準(zhǔn)線方程為． ⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（準(zhǔn)線方程） ⑵過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程． 【例17】 設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率， 、是直線：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且． ⑴若，求、的值． ⑵證明：當(dāng)取最小值時(shí)，與共線． 【例18】 已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、． ⑴若與軸相交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，求直線的方程； ⑵設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍． 【例19】 已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，若． ⑴求此橢圓的方程； ⑵點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），又、是此橢圓上兩點(diǎn)，并且滿足，求證：向量與共線． 【例20】 一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線：上一點(diǎn)反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)， ⑴求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； ⑵求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的橢圓的方程； ⑶設(shè)直線與橢圓的兩條準(zhǔn)線分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且不為、，求點(diǎn)到的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 【例21】 已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．橢圓的右頂點(diǎn)為．點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)． ⑴求橢圓的方程； ⑵求線段的長(zhǎng)度的最小值． ⑶當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．