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2019-2020年高中數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)冪的運算》教案12（第一課時）蘇教版必修1 本章教材分析 教材把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)當作三種重要的函數(shù)模型來學習,強調(diào)通過實例和圖象的直觀,揭示這三種函數(shù)模型增長的差異及其關系,從而讓學生體會建立和研究一個函數(shù)模型的基本過程和方法,學會運用具體的函數(shù)模型解決一些實際問題. 本章總的教學目標是:了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景,理解有理數(shù)指數(shù)冪的意義,通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運算;理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,掌握f(x)=ax的符號及意義,能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的有關性質(zhì)（單調(diào)性、值域、特別點）,通過應用實例的教學,體會指數(shù)函數(shù)是一種重要的函數(shù)模型;理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),了解對數(shù)換底公式及其簡單應用,能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運算的作用;通過具體函數(shù),直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系,初步理解對數(shù)函數(shù)的概念,掌握f(x)=logax的符號及意義,體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的有關性質(zhì)（單調(diào)性、值域、特殊點）;知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a＞0,a≠1）,初步了解反函數(shù)的概念和f-1(x)的意義;通過實例了解冪函數(shù)的概念,結(jié)合五種具體函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的圖象,了解它們的變化情況. 本章的重點是三種初等函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì),要在理解定義的基礎上,通過幾個特殊函數(shù)圖象的觀察,歸納得出一般圖象及性質(zhì),這種由特殊到一般的研究問題的方法是數(shù)學的基本方法.把這三種函數(shù)的圖象及性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系及本質(zhì)區(qū)別搞清楚是本章的難點. 教材注重從現(xiàn)實生活的事例中引出指數(shù)函數(shù)概念,所舉例子比較全面,有利于培養(yǎng)學生的思想素質(zhì)和激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和欲望.教學中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用,并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例,以豐富教學的情境創(chuàng)設.在學習對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)時,教材將它與指數(shù)函數(shù)的有關內(nèi)容作了比較,讓學生體會兩種函數(shù)模型的增長區(qū)別與關聯(lián),滲透了類比思想.建議教學中重視知識間的遷移與互逆作用.教材對反函數(shù)的學習要求僅限于初步的知道概念,目的在于強化指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這兩種函數(shù)模型的學習,教學中不宜對其定義做更多的拓展.教材對冪函數(shù)的內(nèi)容做了削減,僅限于學習五種學生易于掌握的冪函數(shù),并且安排的順序向后調(diào)整,教學中應防止增加這部分內(nèi)容,以免增加學生的學習負擔.通過運用計算機繪制指數(shù)函數(shù)的動態(tài)圖象,使學生進一步體會到信息技術(shù)在數(shù)學學習中的作用,教師要盡量發(fā)揮電腦繪圖的教學功能.教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容,有利于加強數(shù)學文化的教育,應指導學生認真研讀. 本章教學時間約需14課時,具體分配如下（僅供參考） 2.1 指數(shù)函數(shù) 約6課時 2.2 對數(shù)函數(shù) 約6課時 2.3 冪函數(shù) 約1課時 本章復習 約1課時 2.1 指數(shù)函數(shù) 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 整體設計 教學分析 我們在初中的學習過程中,已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì).從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上,類比出正數(shù)的n次方根的定義,從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù).進而推廣到有理數(shù)指數(shù),再推廣到實數(shù)指數(shù),并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪. 教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景,先給出兩個具體例子:GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題,既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)冪,也讓學生感受到其中的函數(shù)模型,并且還有思想教育價值.后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時,激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望,為新知識的學習作了鋪墊. 本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法,如推廣的思想(指數(shù)冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等,同時,充分關注與實際問題的結(jié)合,體現(xiàn)數(shù)學的應用價值. 根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點,教學中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設教學情境,為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持. 三維目標 1.通過與初中所學的知識進行類比,理解分數(shù)指數(shù)冪的概念,進而學習指數(shù)冪的性質(zhì).掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化,掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).培養(yǎng)學生觀察分析、抽象類比的能力. 2.掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化,滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想.通過運算訓練,養(yǎng)成學生嚴謹治學,一絲不茍的學習習慣,讓學生了解數(shù)學來自生活,數(shù)學又服務于生活的哲理. 3.能熟練地運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力. 4.通過訓練及點評,讓學生更能熟練掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).展示函數(shù)圖象,讓學生通過觀察,進而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美. 重點難點 教學重點： (1)分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解. (2)掌握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). (3)運用有理指數(shù)冪性質(zhì)進行化簡、求值. 教學難點: (1)分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解. (2)有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應用. 課時安排 3課時 教學過程 第1課時 指數(shù)與指數(shù)冪的運算(1) 導入新課 思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發(fā)展與進化,又怎樣判斷它們所處的年代?(考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進化的,第二個問題我們不太清楚)考古學家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的.教師板書本節(jié)課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算. 思路2.同學們,我們在初中學習了平方根、立方根,那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,這就是我們本堂課研究的課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算. 推進新課 新知探究 提出問題 (1)什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個,立方根呢？ (2)如x4=a,x5=a,x6=a根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢? (3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎? (4)可否用一個式子表達呢? 活動：教師提示,引導學生回憶初中的時候已經(jīng)學過的平方根、立方根是如何定義的,對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子,對問題②的結(jié)論進行引申、推廣,相互交流討論后回答,教師及時啟發(fā)學生,具體問題一般化,歸納類比出n次方根的概念,評價學生的思維. 討論結(jié)果： (1)若x2=a,則x叫做a的平方根,正實數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),如:4的平方根為2,負數(shù)沒有平方根,同理,若x3=a,則x叫做a的立方根,一個數(shù)的立方根只有一個,如:-8的立方根為-2. (2)類比平方根、立方根的定義,一個數(shù)的四次方等于a,則這個數(shù)叫a的四次方根.一個數(shù)的五次方等于a,則這個數(shù)叫a的五次方根.一個數(shù)的六次方等于a,則這個數(shù)叫a的六次方根. (3)類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a,則這個數(shù)叫a的n次方根. (4)用一個式子表達是,若xn=a,則x叫a的n次方根. 教師板書n次方根的意義: 一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*. 可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例. 提出問題 (1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目). ①4的平方根；②8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根. (2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分別對應的方根的指數(shù)是什么數(shù),有什么特點?4,8,16,-32,32,0,a6分別對應什么性質(zhì)的數(shù),有什么特點? (3)問題（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,數(shù)a有正有負,還有零,結(jié)論有一個的,也有兩個的,你能否總結(jié)一般規(guī)律呢? (4)任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢? 活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念,求一個數(shù)a的n次方根,就是求出的那個數(shù)的n次方等于a,及時點撥學生,從數(shù)的分類考慮,可以把具體的數(shù)寫出來,觀察數(shù)的特點,對問題（2）中的結(jié)論,類比推廣引申,考慮要全面,對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路. 討論結(jié)果： （1）因為2的平方等于4,2的立方等于8,2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分別是2,2,2,2,-2,0,a2. （2）方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來看,這些數(shù)包括正數(shù),負數(shù)和零. （3）一個數(shù)a的奇次方根只有一個,一個正數(shù)a的偶次方根有兩個,是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0. （4）任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在,如負數(shù)的偶次方根就不存在,因為沒有一個數(shù)的偶次方是一個負數(shù). 類比前面的平方根、立方根,結(jié)合剛才的討論,歸納出一般情形,得到n次方根的性質(zhì): ①當n為偶數(shù)時,a的n次方根有兩個,是互為相反數(shù),正的n次方根用表示,如果是負數(shù),負的n次方根用表示,正的n次方根與負的n次方根合并寫成(a＞0). ②n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù),負數(shù)的n次方根是一個負數(shù),這時a的n次方根用符號表示. ③負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零. 上面的文字語言可用下面的式子表示: a為正數(shù): a為負數(shù): 零的n次方根為零,記為=0. 可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例. 思考根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況? 活動：教師提示學生對方根的性質(zhì)要分類掌握,即正數(shù)的奇偶次方根,負數(shù)的奇次方根,零的任何次方根,這樣才不重不漏,同時巡視學生,隨機給出一個數(shù),我們寫出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意義,注意觀察方根的形式,及時糾正學生在舉例過程中的問題. 解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根為2,-27的5次方根為,而-27的4次方根不存在等.其中也表示方根,它類似于的形式,現(xiàn)在我們給式子一個名稱——根式. 根式的概念: 式子叫根式,其中a叫被開方數(shù),n叫根指數(shù). 如中,3叫根指數(shù),-27叫被開方數(shù). 思考 表示an的n次方根,等式=a一定成立嗎？如果不一定成立,那么等于什么？ 活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號,充分讓學生多舉實例,分組討論.教師點撥,注意歸納整理. 〔如==-3,=|-8|=8〕. 解答：根據(jù)n次方根的意義,可得:()n=a. 通過探究得到：n為奇數(shù),=a. n為偶數(shù),=|a|= 因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)： ①()n=a.先開方,再乘方（同次）,結(jié)果為被開方數(shù). ②n為奇數(shù),=a.先奇次乘方,再開方（同次）,結(jié)果為被開方數(shù). n為偶數(shù),=|a|=a,先偶次乘方,再開方（同次）,結(jié)果為被開方數(shù)的絕對值. 應用示例 思路1 例1求下列各式的值: (1);(2);(3);(4)(a>b). 活動：求某些式子的值,首先考慮的應是什么,明確題目的要求是什么,都用到哪些知識,關鍵是啥,搞清這些之后,再針對每一個題目仔細分析.觀察學生的解題情況,讓學生展示結(jié)果,抓住學生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對癥下藥.求下列各式的值實際上是求數(shù)的方根,可按方根的運算性質(zhì)來解,首先要搞清楚運算順序,目的是把被開方數(shù)的符號定準,然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),如果是奇數(shù),無需考慮符號,如果是偶數(shù),開方的結(jié)果必須是非負數(shù). 解：(1)=-8; (2)=10; (3)=π-3; (4)=a-b(a>b). 點評：不注意n的奇偶性對式子的值的影響,是導致問題出現(xiàn)的一個重要原因,要在理解的基礎上,記準,記熟,會用,活用. 變式訓練 求出下列各式的值: (1); (2)(a≤1); (3). 解：(1)=-2, (2)(a≤1)=3a-3, (3)= 點評：本題易錯的是第(3)題,往往忽視a與1大小的討論,造成錯解. 思路2 例1下列各式中正確的是( ) (1)=a; (2)=; (3)a0=1; (4)=. 活動：教師提示,這是一道選擇題,本題考查n次方根的運算性質(zhì),應首先考慮根據(jù)方根的意義和運算性質(zhì)來解,既要考慮被開方數(shù),又要考慮根指數(shù),嚴格按求方根的步驟,體會方根運算的實質(zhì),學生先思考哪些地方容易出錯,再回答. 解：(1)=a,考查n次方根的運算性質(zhì),當n為偶數(shù)時,應先寫=|a|,故本題錯. (2)=,本質(zhì)上與上題相同,是一個正數(shù)的偶次方根,根據(jù)運算順序也應如此,結(jié)論為=,故本題錯. (3)a0=1是有條件的,即a≠0,故本題也錯. (4)是一個正數(shù)的偶次方根,根據(jù)運算順序也應如此,故本題正確.所以答案選(4). 點評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算順序,有時極易選錯,選四個答案的情況都會有,因此解題時千萬要細心. 例+=_________ 活動：讓同學們積極思考,交流討論,本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關,但仔細一想,我們學習的內(nèi)容是方根,這里是帶有雙重根號的式子,去掉一層根號,根據(jù)方根的運算求出結(jié)果是解題的關鍵,因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了,從何處入手?需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關鍵,教師提示,引導學生解題的思路. 解：===+1. ===-1. 所以+=2. 點評：不難看出與形式上有些特點,即是對稱根式,是形式的式子,我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式. 思考 上面的例2還有別的解法嗎? 活動：教師引導,去根號常常利用完全平方公式,有時平方差公式也可,同學們觀察兩個式子的特點,具有對稱性,再考慮并交流討論,一個是+,一個是-,去掉一層根號后,相加正好抵消.同時借助平方差,又可去掉根號,因此把兩個式子的和看成一個整體,兩邊平方即可,探討得另一種解法. 另解：利用整體思想,x=+, 兩邊平方得x2=3+2+3-2+2()()=6+2=6+2=8,所以x=2. 點評：對雙重二次根式,特別是形式的式子,我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式,問題迎刃而解,另外對的式子,我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解. 變式訓練 若=a-1，求a的取值范圍. 解：因為=a-1,而==|a-1|=a-1, 即a-1≥0, 所以a≥1. 點評：利用方根的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對值符號,是解題的關鍵. 知能訓練 (教師用多媒體顯示在屏幕上) 1.以下說法正確的是( ) A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù) B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù) C.0的任何次方根都是零 D.a的n次方根用表示(以上n＞1且n∈N*). 答案：C 2.化簡下列各式: (1);(2);(3);(4);(5). 答案：(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|;(5)|x-y|. 3.計算=__________. 解： = = =++- =2. 答案：2 拓展提升 問題：=a與()n=a（n＞1,n∈N）哪一個是恒等式,為什么?請舉例說明. 活動：組織學生結(jié)合前面的例題及其解答,進行分析討論,解決這一問題要緊扣n次方根的定義. 通過歸納,得出問題結(jié)果,對a是正數(shù)和零,n為偶數(shù)時,n為奇數(shù)時討論一下.再對a是負數(shù),n為偶數(shù)時,n為奇數(shù)時討論一下,就可得到相應的結(jié)論. 解答：①（）n=a（n＞1,n∈N）. 如果xn=a（n＞1,且n∈N）有意義,則無論n是奇數(shù)或偶數(shù),x=一定是它的一個n次方根,所以（）n=a恒成立. 例如：（）4=3,=－5. ②= 當n為奇數(shù)時,a∈R,=a恒成立. 例如：=2,=－2. 當n為偶數(shù)時,a∈R,an≥0,表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么=a.例如=3, =0；如果a＜0,那么=|a|=－a,如==3. 即（na）n=a（n＞1,n∈N）是恒等式,=a（n＞1,n∈N）是有條件的. 點評：實質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解. 課堂小結(jié) 學生仔細交流討論后,在筆記上寫出本節(jié)課的學習收獲,教師用多媒體顯示在屏幕上. 1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n＞1且n∈N*.用式子表示,式子叫根式,其中a叫被開方數(shù),n叫根指數(shù). (1)當n為偶數(shù)時,a的n次方根有兩個,是互為相反數(shù),正的n次方根用表示,如果是負數(shù),負的n次方根用-表示,正的n次方根與負的n次方根合并寫成(a＞0). (2)n為奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù),負數(shù)的n次方根是一個負數(shù),這時a的n次方根用符號表示. (3)負數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是零. 2.掌握兩個公式：n為奇數(shù)時,()n=a,n為偶數(shù)時,=|a|= 作業(yè) 課本P59習題2.1A組 1. 補充作業(yè): 1.化簡下列各式： (1);(2);(3);(4). 解：(1)===; (2)==; (3)==x2; (4)==. 2.若50,a<0,a=0三種情況,并結(jié)合具體例子講解,因此設計了大量的類比和練習題目,要靈活處理這些題目,幫助學生加以理解,所以需要用多媒體信息技術(shù)服務教學.