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2019-2020年高中數學《直線的方程》教案5 新人教A版必修2 一、教學目標 (一)知識教學點 在直角坐標平面內，已知直線上一點和直線的斜率或已知直線上兩點，會求直線的方程；給出直線的點斜式方程，能觀察直線的斜率和直線經過的定點；能化直線方程成截距式，并利用直線的截距式作直線． (二)能力訓練點 通過直線的點斜式方程向斜截式方程的過渡、兩點式方程向截距式方程的過渡，訓練學生由一般到特殊的處理問題方法；通過直線的方程特征觀察直線的位置特征，培養(yǎng)學生的數形結合能力． (三)學科滲透點 通過直線方程的幾種形式培養(yǎng)學生的美學意識． 二、教材分析 1．重點：由于斜截式方程是點斜式方程的特殊情況，截距式方程是兩點式方程的特殊情況，教學重點應放在推導直線的斜截式方程和兩點式方程上． 2．難點：在推導出直線的點斜式方程后，說明得到的就是直線的方程，即直線上每個點的坐標都是方程的解；反過來，以這個方程的解為坐標的點在直線上． 的坐標不滿足這個方程，但化為y-y1=k(x-x1)后，點P1的坐標滿足方程． 三、活動設計 分析、啟發(fā)、誘導、講練結合． 四、教學過程 (一)點斜式 已知直線l的斜率是k，并且經過點P1(x1，y1)，直線是確定的，也就是可求的，怎樣求直線l的方程(圖1-24)？ 設點P(x，y)是直線l上不同于P1的任意一點，根據經過兩點的斜率公式得 注意方程(1)與方程(2)的差異：點P1的坐標不滿足方程(1)而滿足方程(2)，因此，點P1不在方程(1)表示的圖形上而在方程(2)表示的圖形上，方程(1)不能稱作直線l的方程． 重復上面的過程，可以證明直線上每個點的坐標都是這個方程的解；對上面的過程逆推，可以證明以這個方程的解為坐標的點都在直線l上，所以這個方程就是過點P1、斜率為k的直線l的方程． 這個方程是由直線上一點和直線的斜率確定的，叫做直線方程的點斜式． 當直線的斜率為0時(圖1-25)，k=0，直線的方程是y=y1． 當直線的斜率為90時(圖1-26)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1． (二)斜截式 已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為b，求直線的方程． 這個問題，相當于給出了直線上一點(0，b)及直線的斜率k，求直線的方程，是點斜式方程的特殊情況，代入點斜式方程可得： y-b=k(x-0) 也就是 上面的方程叫做直線的斜截式方程．為什么叫斜截式方程？因為它是由直線的斜率和它在y軸上的截距確定的． 當k≠0時，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數中k和b的幾何意義就是分別表示直線的斜率和在y軸上的截距． (三)兩點式 已知直線l上的兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請同學們求直線l的方程． 當y1≠y2時，為了便于記憶，我們把方程改寫成 請同學們給這個方程命名：這個方程是由直線上兩點確定的，叫做直線的兩點式． 對兩點式方程要注意下面兩點：(1)方程只適用于與坐標軸不平行的直線，當直線與坐標軸平行(x1=x2或y1=y2)時，可直接寫出方程；(2)要記住兩點式方程，只要記住左邊就行了，右邊可由左邊見y就用x代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣． (四)截距式 例1　 已知直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a≠0，b≠0)，求直線l的方程． 此題由老師歸納成已知兩點求直線的方程問題，由學生自己完成． 解：因為直線l過A(a，0)和B(0，b)兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得 就是 學生也可能用先求斜率，然后用點斜式方程求得截距式． 引導學生給方程命名：這個方程是由直線在x軸和y軸上的截距確定的，叫做直線方程的截距式． 對截距式方程要注意下面三點：(1)如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程；(2)將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點常被用來作圖；(3)與坐標軸平行和過原點的直線不能用截距式表示． (五)例題 例2　 三角形的頂點是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(圖1-27)，求這個三角形三邊所在直線的方程． 本例題要在引導學生靈活選用方程形式、簡化運算上多下功夫． 解：直線AB的方程可由兩點式得： 即　 3x+8y+15=0 這就是直線AB的方程． BC的方程本來也可以用兩點式得到，為簡化計算，我們選用下面途徑： 由斜截式得： 即　 5x+3y-6=0． 這就是直線BC的方程． 由截距式方程得AC的方程是 即　 2x+5y+10=0． 這就是直線AC的方程． (六)課后小結 (1)直線方程的點斜式、斜截式、兩點式和截距式的命名都是可以顧名思義的，要會加以區(qū)別． (2)四種形式的方程要在熟記的基礎上靈活運用． (3)要注意四種形式方程的不適用范圍． 五、布置作業(yè) 1．(1.5練習第1題)寫出下列直線的點斜式方程，并畫出圖形： (1)經過點A(2，5)，斜率是4； (4)經過點D(0，3)，傾斜角是0； (5)經過點E(4，-2)，傾斜角是120． 解： 2．(1.5練習第2題)已知下列直線的點斜方程，試根據方程確定各直線經過的已知點、直線的斜率和傾斜角： 解： (1)(1，2)，k=1，α=45； (3)(1，-3)，k=-1，α=135； 3．(1.5練習第3題)寫出下列直線的斜截式方程： (2)傾斜角是135，y軸上的截距是3． 4．(1.5練習第4題)求過下列兩點的直線的兩點式方程，再化成截距式方程，并根據截距式方程作圖． (1)P1(2，1)、P2(0，-3)； (2)A(0，5)、B(5，0)； (3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解： (圖略) 六、板書設計