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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 7.6圓的方程(第二課時(shí))大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 圓的一般方程. （二）能力訓(xùn)練要求 1.掌握?qǐng)A的一般方程及一般方程的特點(diǎn)； 2.能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出圓心和半徑； 3.能用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程. （三）德育滲透目標(biāo) 1.滲透數(shù)形結(jié)合思想； 2.提高學(xué)生解題能力. ●教學(xué)重點(diǎn) 圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,方程形式特征： （1）x2和y2的系數(shù)相同，不等于0； （2）沒有xy這樣的二次項(xiàng). 圓心坐標(biāo)（）， 半徑R為. ●教學(xué)難點(diǎn) 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （1）當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（）; (2)當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形； (3)當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，方程表示一個(gè)圓. ●教學(xué)方法 討論法 與學(xué)生展開討論，從而使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下： ［生］以(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： (x-a)2+(y-b)2=r2. ［師］圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是很直觀地可求出圓心坐標(biāo)和半徑. 同學(xué)們是否想過將這一方程展開后會(huì)是什么樣子呢？ ［生］將上式展為： x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. ［師］由于a、b、r均為常數(shù). 不妨設(shè)，-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F, 則，此方程可寫成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 那么，是不是形如①的方程表示的曲線就是圓呢？ ［生甲］是. ［生乙］不是. ［生丙］不一定是. ［師］下面我們來討論一下. 首先，我們應(yīng)該明確.若形如①的方程表示的曲線是圓，那么由方程應(yīng)該可求出圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們可很快捷地求出圓心和半徑，此方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可互化與否也就意味著此方程表示的曲線是否一定是圓，我們將①的左邊配方，看情況如何？ ［生］配方后整理得： ② ［師］不難看出，此方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系. （1）當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，表示以（-，-）為圓心、為半徑的圓； （2）當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x=-，y=-，即只表示一個(gè)點(diǎn)（-，-）; （3）當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形. 綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓. 只有當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圓的方程稱為圓的一般方程. 圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于它明確地指出了圓心和半徑，而 一般方程突出了方程形式上的特點(diǎn)： （1）x2和y2的系數(shù)相同，且不等于0； （2）沒有xy這樣的二次項(xiàng). 但要注意：以上兩點(diǎn)是二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圓的必要條件，但不是充分條件. 看來，要想求出圓的一般方程，只要根據(jù)已知條件確定三個(gè)系數(shù)D、E、F就可以了. 下面，我們結(jié)合一些例題來探討如何確定圓的一般方程. ［例］求過三點(diǎn)O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo). 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程. 解：設(shè)所求的圓的方程為： x2+y2+Dx+Ey+F=0 ∵O、M、N在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D、E、F的三元一次方程組， 即 解此方程組，可得： F=0,D=-8,E=6. ∴所求圓的方程為： x2+y2-8x+6y=0 由r= 得r=5. 由 得圓心坐標(biāo)為（4，-3）. ［或?qū)2+y2-8x+6y=0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（x-4)2+(y+3)2=25,從而求出圓的半徑r=5，圓心坐標(biāo)為(4,-3).］ ［師］請(qǐng)同學(xué)們考慮如何先求出圓心坐標(biāo)和半徑，再求出圓的方程. ［生甲］設(shè)圓心坐標(biāo)P(x,y)，根據(jù)圓的定義，可得｜OP｜=｜PM｜=｜PN｜. 即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2 可解得P(4,-3)，｜OP｜=5 點(diǎn)P（4，-3）為圓心. 圓的半徑為5. ［生乙］先求出OM中點(diǎn)E（，），MN中點(diǎn)F（，），再寫出OM的垂直平分線PE的直線方程：y-=-（x-） ① MN的垂直平分線PF的直線方程： y-=-3(x-) ② 聯(lián)立①②得 解之得 則點(diǎn)P（4，-3）為PE、PF的交點(diǎn)，即為圓心，｜OP｜=5，即為圓的半徑. ［師］上述方法均完全正確，希望同學(xué)們都能積極思考. ［例］已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）距離的比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線. 分析：在求出曲線方程之前，很難確定曲線類型，所以應(yīng)按照求曲線方程的一般步驟先將曲線方程求出. 解：在給定的坐標(biāo)系里，設(shè)點(diǎn)M（x,y)是曲線上的任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)M屬于集合 P={M｜}. 即, 整理得：x2+y2+2x-3=0 所求曲線方程即為：x2+y2+2x-3=0. 將其左邊配方，得 (x+1)2+y2=4. ∴此曲線是以點(diǎn)C（-1，0）為圓心，2為半徑的圓.如圖所示： Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］回答： 1.下列方程各表示什么圖形？ （1）x2+y2=0; ［生甲］此方程表示一個(gè)點(diǎn)O（0，0）. （2）x2+y2-2x+4y-6=0; ［生乙］∵x2+y2-2x+4y-6=0 可化為:(x-1)2+(y+2)2=11 ∴此方程表示以點(diǎn)（1，-2）為圓心，為半徑的圓. （3）x2+y2+2ax-b2=0 ［生丙］∵x2+y2+2ax-b2=0 可化為：(x+a)2+y2=a2+b2 ∴此方程表示以(-a,0)為圓心，為半徑的圓. 2.求下列各圓的半徑和圓的坐標(biāo)： (1)x2+y2-6x=0即(x-3)2+y2=9 圓心為（3，0），半徑為3. (2)x2+y2+2by=0即x2+(y+b)2=b2 圓心為（0，-b），半徑為｜b｜. （3）x2+y2-2ax-y+3a2=0 即(x-a)2+(y-a)2=a2 圓心為(a, a),半徑為｜a｜. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先要掌握?qǐng)A的一般方程. 其次，還應(yīng)注意圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的互化問題. 最后，應(yīng)根據(jù)已知條件與圓的兩種形式的方程的不同特點(diǎn)靈活選取恰當(dāng)?shù)姆匠?，以便快捷解決相關(guān)問題. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P82習(xí)題7.6 5,6,7,8. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P79～81 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）何為圓的參數(shù)方程？ （2）怎樣確定圓的參數(shù)方程？ （3）圓的參數(shù)方程中的參數(shù)有何幾何意義？ （4）圓的參數(shù)方程與圓的普通方程如何互化？ ●板書設(shè)計(jì) 7.6.2 圓的方程（二） 一、圓的一般方程 二、例題講解 課時(shí)小結(jié) x2+y2+Dx+Ey+F=0 ［例1］ 當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)， ［例2］ 表示以() 為圓心， 為半徑的圓