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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 新人教A版 自主梳理 1．等差數(shù)列的有關(guān)定義 (1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第__2__項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的__差__等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號(hào)表示為_(kāi)_ an＋1－an＝d __________ (n∈N*，d為常數(shù))． (2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是__ A＝________，其中A叫做a，b的___等差中項(xiàng)_______． 2．等差數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式：an＝_ a1＋(n－1)d　_______，an＝am＋_ (n－m)d _______ (m，n∈N*)． (2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝_ na1＋d _________＝____________. 3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 4．等差數(shù)列的性質(zhì) (1) 若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，則有__am＋an＝ap＋a q ________， 特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，___ am＋an＝2ap ___________. (2) 若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為_(kāi)_2d ______ (3) 若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為_(kāi)_ md ____的等差數(shù)列. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列. (5) 等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為_(kāi)_遞增數(shù)列__________； 若d<0，則數(shù)列為_(kāi)___遞減數(shù)列______；若d＝0，則數(shù)列為_(kāi)__常數(shù)列_____． (6)等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列． (7)S2n－1＝(2n－1)an. (8)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝d.若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng)). 5.等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最______值；若a1<0，d>0，則Sn存在最______值. 大　小 6．方法與技巧 等差數(shù)列的判斷方法有： (1)定義法：an＋1－an＝d (d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (2)中項(xiàng)公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q (p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列． (5)在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可視具體情況而定． (6)在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解. 　 自我檢測(cè) 1．已知等差數(shù)列{an}中，a5＋a9－a7＝10，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則S13的值為 (　　) A．130 B．260 C．156 D．168 2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于 (　　) A．1 B. C．2 D．3 3設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則等于 (　　) A．1 B．－1 C．2 D. 4．若等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和S5＝25，且a2＝3，則a7等于 (　　) A．12 B．13 C．14 D．15 5．設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10＝S11，則a1等于(　　) A.18 B.20 C.22 D.24 6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝__24______. 7.有兩個(gè)等差數(shù)列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝___.12n－10_______. 8.已知兩個(gè)數(shù)列x，a1，a2，a3，y與x，b1，b2，y都是等差數(shù)列，且x≠y，則的值為_(kāi)______. 9．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，若＜－1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n＝(　　)． A．11 B．17 C．19 D．21 解析　由題意，可知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因?yàn)椋迹?，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差數(shù)列的性質(zhì)有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值時(shí)n＝19. 題型一　等差數(shù)列的基本量的計(jì)算 例1　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通項(xiàng)an； (2)若Sn＝242，求n. 解　(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程組　解得所以an＝2n＋10. (2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242. 得12n＋2＝242.解得n＝11或n＝－22(舍去)． 　設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0. (1)若S5＝5，求S6及a1； (2)求d的取值范圍. 解　(1)由題意知S6＝＝－3， a6＝S6－S5＝－8. 所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)方法一　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0. 因?yàn)殛P(guān)于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得d≤－2或d≥2. 方法二　∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8. 故d的取值范圍為d≤－2或d≥2. 探究提高　(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題. (2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法. 變式訓(xùn)練1　　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d (d≠0)，它的前10項(xiàng)和S10＝110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項(xiàng)公式an. 解　由題意，知 即 ∵d≠0，∴a1＝d.解得a1＝d＝2，∴an＝2n. 已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 從而an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 題型二　等差數(shù)列的判定或證明 例2　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝ (n∈N*). (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (1)證明　∵an＝2－ (n≥2，n∈N*)，bn＝. ∴n≥2時(shí)，bn－bn－1＝－＝－ ＝－＝1.又b1＝＝－. ∴數(shù)列{bn}是以－為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. (2)解　由(1)知，bn＝n－，則an＝1＋＝1＋， 設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù). ∴當(dāng)n＝3時(shí)，an取得最小值－1；當(dāng)n＝4時(shí)，an取得最大值3. 探究提高　1．證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，通常有兩種方法：(1)定義法：an＋1－an＝d；(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2.就本例而言，所用方法為定義法. 2．解選擇、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷． (1)通項(xiàng)法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即an＝An＋B，則{an}是等差數(shù)列． (2)前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常數(shù))，則{an}為等差數(shù)列． 3．若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可． 變式訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝ (n≥2)，a1＝2. ①求證：是等差數(shù)列； ②求an的表達(dá)式. ①證明　由Sn＝，得＝＝＋2， ∴－＝2，∴是以即為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列. ②解　由知＝＋(n－1)2＝2n－，∴Sn＝， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝； 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2不適合an， 故an＝ (2)已知數(shù)列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． ①求a2，a3的值． ②是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō) 解?、佟遖1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13， a3＝2a2＋23－1＝33. ②假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列． 設(shè)bn＝，由{bn}為等差數(shù)列，則有2b2＝b1＋b3. ∴2＝＋.∴＝＋， 解得λ＝－1. 事實(shí)上，bn＋1－bn＝－ ＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1. 綜上可知，存在實(shí)數(shù)λ＝－1，使得數(shù)列{}為首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列． 題型三　等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3　若一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)之和為34，最后5項(xiàng)之和為146，且所有項(xiàng)的和為360，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)． 解　方法一　設(shè)此等差數(shù)列為{an}共n項(xiàng)， 依題意有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，① an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146. ② 根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得 a5＋an－4＝a4＋an－3＝a3＋an－2＝a2＋an－1＝a1＋an. 將①②兩式相加，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋(a4＋an－3)＋(a5＋an－4)＝5(a1＋an)＝180， ∴a1＋an＝36. 由Sn＝＝＝360，得n＝20. 所以該等差數(shù)列有20項(xiàng)． 方法二　設(shè)此等差數(shù)列共有n項(xiàng)，首項(xiàng)為a1，公差為d， 則S5＝5a1＋d＝34，① Sn－Sn－5＝[＋na1]－[(n－5)a1＋d] ＝5a1＋(5n－15)d＝146.② ①②兩式相加可得10a1＋5(n－1)d＝180， ∴a1＋d＝18， 代入Sn＝na1＋d＝n＝360， 得18n＝360，∴n＝20. 所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng)． 變式訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列． (1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n； (2) 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)． 　解　(1) ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列， ∴S3n＝3(S2n－Sn)＝54. (2) 設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n－1 (n∈N*)，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n－1項(xiàng)，中間項(xiàng)為an，則 S奇＝＝nan＝44， S偶＝＝(n－1)an＝33， ∴＝.∴n＝4，an＝11. ∴數(shù)列的中間項(xiàng)為11，項(xiàng)數(shù)為7. 題型四　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用 例4　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值； (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n－25，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和. 解　(1)方法一　∵a1＝20，S10＝S15， ∴1020＋d＝1520＋d，∴d＝－. ∴an＝20＋(n－1)＝－n＋. ∴a13＝0，即當(dāng)n≤12時(shí)， an>0，n≥14時(shí)，an<0， ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為 S13＝S12＝1220＋＝130. 方法二　同方法一求得d＝－.∴Sn＝20n＋ ＝－n2＋n＝－2＋. ∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130. 方法三　同方法一得d＝－. 又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值.且最大值為S12＝S13＝130. (2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝41－25＝－21. 所以數(shù)列{an}是以－21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列. 令 由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6. 即數(shù)列{|an|}的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng)，公差為－4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|＝a7＝47－24＝3. 設(shè){|an|}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝＝ 點(diǎn)評(píng)：　求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法： 　若{an}是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)， (1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最大； (2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最?。? (3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求最值，注意n∈N*. 變式訓(xùn)練4 (1) 已知數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值． 解　方法一　∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差數(shù)列． 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3＝10，S6＝72， 得，∴. ∴an＝4n－2.則bn＝an－30＝2n－31. 解得≤n≤. ∵n∈N*，∴n＝15.∴{bn}前15項(xiàng)為負(fù)值. ∴S15最?。? 可知b1＝－29，d＝2， ∴S15＝＝－225. 方法二　同方法一求出bn＝2n－31. ∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225， ∴當(dāng)n＝15時(shí)，Sn有最小值，且最小值為－225. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1<0，S2 009＝0. ①求Sn的最小值及此時(shí)n的值；②求n的取值集合，使an≥Sn. 　解　方法一?、僭O(shè)公差為d，則由S2 009＝0?2 009a1＋d＝0 ?a1＋1 004d＝0， d＝－a1，a1＋an＝a1， ∴Sn＝(a1＋an)＝a1＝(2 009n－n2) ∵a1<0，n∈N*，∴當(dāng)n＝1 004或1 005時(shí)，Sn取最小值a1. ②an＝a1. Sn≤an?(2 009n－n2)≤a1. ∵a1<0，∴n2－2 011n＋2 010≤0， 即(n－1)(n－2 010)≤0，解得：1≤n≤2 010. 故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 010，n∈N*}. (3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝m，前m項(xiàng)和Sm＝n (m≠n)，求它的前m＋n項(xiàng) 的和Sm＋n. 解　方法一　設(shè){an}的公差為d， 則由Sn＝m，Sm＝n， 得 ②－①得(m－n)a1＋d＝n－m， ∵m≠n，∴a1＋d＝－1. ∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋d ＝(m＋n)＝－(m＋n). 方法二　設(shè)Sn＝An2＋Bn (n∈N*)， 則 ③－④得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m. ∵m≠n，∴A(m＋n)＋B＝－1， ∴A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)， ∴Sm＋n＝－(m＋n). 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（1） 一、選擇題 1．如果等差數(shù)列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝ (　　) A．14 B．21 C．28 D．35 2．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為 (　　) A．14 B．15 C．16 D．17 4．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足S20＝S40，下列結(jié)論中正確的是 (　　) A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0 5．設(shè)數(shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝10，b1＝90，a2＋b2＝100，那么數(shù)列{an＋bn}的第2 012項(xiàng)的值是 (　　) A.85 B.90 C.95 D.100 6．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，則數(shù)列{bn}的前9項(xiàng)和等于________． [解析] 由? ∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a3n＝9n， ∴數(shù)列{bn}的前9項(xiàng)和為S9＝9＝405. 二、填空題 7．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝___15_____. 8．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝__10______. 9．在數(shù)列{an}中，若點(diǎn)(n，an)在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,3)的定直線l上，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9＝____27____. 三、解答題 10．設(shè){an}是一個(gè)公差為d (d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10＝110，且a＝a1a4. (1)證明：a1＝d； (2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1) 證明　∵{an}是等差數(shù)列，∴a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，又a＝a1a4， 于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a＋2a1d＋d2＝a＋3a1d (d≠0)．化簡(jiǎn)得a1＝d (2)解　由條件S10＝110和S10＝10a1＋d，得到10a1＋45d＝110. 由(1)知，a1＝d，代入上式得55d＝110， 故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n. 因此，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N* 11．已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝ (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得a1＝3，d＝2 由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝， 所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)) (2)因?yàn)閍n＝2n＋1，所以a－1＝4n(n＋1)， 因此bn＝＝ 故Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝＝. 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝ 12．在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)． (1)證明數(shù)列{}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)； (3)若λan＋≥λ對(duì)任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． (1)證明　將3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)． 所以數(shù)列{}為以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列 (2)解　由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝ (3)解　若λan＋≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立， 即＋3n＋1≥λ對(duì)n≥2的整數(shù)恒成立． 整理得λ≤ (9分) 令cn＝ cn＋1－cn＝－＝. 因?yàn)閚≥2，所以cn＋1－cn>0， 即數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c2最小，c2＝. 所以λ的取值范圍為(－∞，] 　　　　　　　　 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（2） 一、選擇題 1.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于 (　　) A.31 B.32 C.33 D.34 2.數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a10＝33，a2＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S20－2S10等于(　　) A.40 B.200 C.400 D.20 3設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k等于(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 4.已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差數(shù)列，則a11等于 (　　) A.0 B. C. D. 5.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0 (n≥2)，則S2n－1－4n等于(　　) A.－2 B.0 C.1 D.2 6．已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．D　[解析] ＝＝＝＝＝7＋，所以當(dāng)n＝1,2,3,5,11時(shí)滿足． 二、填空題 7 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝__15______. 8. 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且6S5－5S3＝5，則a4＝________. 9. 等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n＋1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)__75_____. 10. 設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為_(kāi)_______. 三、解答題 11.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn2＋qn (p、q∈R，且p、q為常數(shù)). (1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列. (1)解　an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q， 要使{an}是等差數(shù)列，則2pn＋p＋q應(yīng)是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以只有2p＝0， 即p＝0. 故當(dāng)p＝0，q∈R時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列. (2)證明　∵an＋1－an＝2pn＋p＋q， ∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q， ∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p為一個(gè)常數(shù).∴{an＋1－an}是等差數(shù)列. 12．在等差數(shù)列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n項(xiàng)和為Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， ∵a16＋a17＋a18＝3a17＝－36，∴a17＝－12，∴d＝＝3， ∴an＝a9＋(n－9)d＝3n－63， an＋1＝3n－60， 令，得20≤n≤21，∴S20＝S21＝－630， ∴n＝20或21時(shí)，Sn最小且最小值為－630. (2)由(1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)． 當(dāng)n≤21時(shí)，Tn＝－Sn＝－n2＋n. 當(dāng)n>21時(shí)，Tn＝Sn－2S21＝n2－n＋1 260. 綜上，Tn＝. 13.已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，a2a3＝45，a1＋a5＝18. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝ (n∈N*)，是否存在一個(gè)非零常數(shù)c，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解　(1)由題設(shè)知，{an}是等差數(shù)列，且公差d>0，則由 得 解得　∴an＝4n－3 (n∈N*). (2)由bn＝＝＝， ∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. ∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列. 即存在一個(gè)非零常數(shù)c＝－，使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.