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2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第31講 不等式性質及證明教案 新人教版 一．課標要求： 1．不等關系 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景； 2．基本不等式：（a,b≥0） ①探索并了解基本不等式的證明過程； ②會用基本不等式解決簡單的最大（?。﹩栴}。 二．命題走向 不等式歷來是高考的重點內容。對于本將來講，考察有關不等式性質的基礎知識、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力。本將內容在復習時，要在思想方法上下功夫。 預測xx年的高考命題趨勢： 1．從題型上來看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質與函數、三角結合起來綜合考察不等式的性質、函數單調性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數的不等式的證明、求解為主； 2．利用基本不等式解決像函數的單調性或解決有關最值問題是考察的重點和熱點，應加強訓練。 三．要點精講 1．不等式的性質 比較兩實數大小的方法——求差比較法 ； ； 。 定理1：若，則；若，則．即。 說明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。 定理2：若，且，則。 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數；定理2稱不等式的傳遞性。 定理3：若，則。 說明：（1）不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向； （2）定理3的證明相當于比較與的大小，采用的是求差比較法； （3）定理3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。 定理3推論：若。 說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式。 定理4．如果且，那么；如果且，那么。 推論1：如果且，那么。 說明：（1）不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。 推論2：如果， 那么 。 定理5：如果，那么 。 2．基本不等式 定理1：如果，那么（當且僅當時取“”）。 說明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強調取“”的條件。 定理2：如果是正數，那么（當且僅當時取“=”） 說明：（1）這個定理適用的范圍：；（2）我們稱的算術平均數，稱的幾何平均數。即：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 3．常用的證明不等式的方法 （1）比較法 比較法證明不等式的一般步驟：作差—變形—判斷—結論；為了判斷作差后的符號，有時要把這個差變形為一個常數，或者變形為一個常數與一個或幾個平方和的形式，也可變形為幾個因式的積的形式，以便判斷其正負。 （2）綜合法 利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法；利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件。 綜合法證明不等式的邏輯關系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論。 （3）分析法 證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。 （1）“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“執(zhí)果索因”； （2）綜合過程有時正好是分析過程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程。 四．典例解析 題型1：考查不等式性質的題目 例1．（1）（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） （2）（06江蘇，8）設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恒成立的是 （A）　　?。˙） （C）　　　　　 （D） 解析：（1）答案：A；顯然，但無法判斷與的大??； （2）運用排除法，C選項，當a－b<0時不成立，運用公式一定要注意公式成立的條件，如果，如果a,b是正數，那么 點評：本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結合選擇支，才能得出正確的結論。 例2．（1）（xx京春文，1）設a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下列結論中正確的是（ ） A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D. （2）（xx上海理，15）若a（b+）2均不能成立 D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立 解析：（1）答案：A；∵a>b，c>d，∴a+c>b+d； （2）答案：B 解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴。 故不成立。 ∵a|b|，∴故不成立。由此可選B。 另外，A中成立.C與D中（a+）2>（b+）2成立。 其證明如下：∵a|b+|， 故（a+）2>（b+）2。 點評：本題考查不等式的基本性質。 題型2：基本不等式 例3．（06浙江理，7）“a＞b＞0”是“ab＜”的（ ） (A)充分而不必要條件 　　　　　 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件　　　　　　 (D)既不允分也不必要條件 解析：A；中參數的取值不只是指可以取非負數。均值不等式滿足。 點評：該題考察了基本不等式中的易錯點。 例4．（1）（xx京春）若實數a、b滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ） A.18 B.6 C.2 D.2 （2）（xx全國，7）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則（ ） A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q 解析：（1）答案：B；3a+3b≥2=6，當且僅當a=b=1時取等號。故3a+3b的最小值是6； （2）答案：B；∵lga＞lgb＞0，∴（lga＋lgb）＞，即Q＞P， 又∵a＞b＞1，∴， ∴（lga＋lgb）， 即R＞Q，∴有P＜Q＜R，選B。 點評：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號成立的條件。 題型3：不等式的證明 例5．已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)≥。 證法一： (分析綜合法） 欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0， 即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8 ∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證。 證法二： (均值代換法) 設a=+t1，b=+t2。 ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜， 顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立。 證法三：(比較法) ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤， 證法四：(綜合法) ∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤， 。 證法五：(三角代換法) ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)， 點評：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證。 例6．求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。 分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應進行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜＝，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的 其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，顯然這是不對的。 除了解法一經常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數a滿足不等關系，a≥f(x)，則amin=f(x)max 若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉化。 解法一：由于a的值為正數，將已知不等式兩邊平方， 得：x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)， ① ∴x，y＞0，∴x+y≥2， ② 當且僅當x=y時，②中有等號成立。 比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1， ∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是。 解法二：設 ∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當x=y時“=”成立)， ∴≤1，的最大值是1。 從而可知，u的最大值為， 又由已知，得a≥u，∴a的最小值為， 解法三：∵y＞0， ∴原不等式可化為+1≤a， 設=tanθ，θ∈(0，)。 ∴tanθ+1≤a，即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)， ③ 又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=)。 由③式可知a的最小值為。 點評：本題考查不等式證明、求最值函數思想、以及學生邏輯分析能力。該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現(xiàn)出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數思想和重要不等式等求得最值。 題型4：不等式證明的應用 例7．（06浙江理，20）已知函數f(x)=x+ x，數列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖） . 求證：當n時，(Ⅰ)x（Ⅱ）。 證明：（I）因為 所以曲線在處的切線斜率 因為過和兩點的直線斜率是 所以. （II）因為函數當時單調遞增， 而， 所以，即 因此 又因為令則 因為所以 因此故 點評：本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力。 例8．（xx江蘇，22）已知a＞0，函數f（x）＝ax－bx2。 （1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2； （2）當b＞1時，證明：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2； （3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件。 （Ⅰ）證明：依設，對任意x∈R，都有f（x）≤1， ∵f（x）＝， ∴≤1，∵a＞0，b＞0，∴a≤2． （Ⅱ）證明：必要性：對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1－1≤f（x），據此可以推出－1≤f（1）， 即a－b≥－1，∴a≥b－1； 對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因為b＞1，可以推出f（）≤1，即a－1≤1，∴a≤2； ∴b－1≤a≤2． 充分性：因為b＞1，a≥b－1，對任意x∈［0，1］， 可以推出：ax－bx2≥b（x－x2）－x≥－x≥－1，即ax－bx2≥－1； 因為b＞1，a≤2，對任意x∈［0，1］， 可以推出ax－bx2≤2x－bx2≤1， 即ax－bx2≤1。 ∴－1≤f（x）≤1。 綜上，當b＞1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是b－1≤a≤2． （Ⅲ）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］： f（x）＝ax－bx2≥－b≥－1，即f（x）≥－1； f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b＋1， a≤b＋1f（x）≤（b＋1）x－bx2≤1，即f（x）≤1。 所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b＋1． 22.解：原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2。 當a=a2時，a=0或a=1，x∈，當a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 當a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴當a＜0時a＜x＜a2，當0＜a＜1時，a2＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a2，當a=0或a=1時，x∈。 點評：此題考查不等式的證明及分類討論思想。 題型5：課標創(chuàng)新題 例9．（06上海理，12）三個同學對問題“關于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路。 甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”； 乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”； 丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”； 參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值范圍是 。 答案：a≤10。 點評：該題通過設置情景，將不等式知識蘊含在一個對話情景里面，考查學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力。 例10．（06湖南文，20）在m（m≥2）個不同數的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞Pj（即前面某數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數。 （Ⅰ）求a4、a5，并寫出an的表達式； （Ⅱ）令，證明，n=1,2,…。 解?。á瘢┯梢阎?，。 （Ⅱ）因為， 所以. 又因為， 所以　　　　　　　　　　　　　 =。 綜上，。 點評：該題創(chuàng)意新，知識復合到位，能很好的反映當前的高考趨勢。 五．思維總結 1．不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。 （1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述：如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證； （2）綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。 2．不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。 證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯(lián)系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。 3．幾個重要不等式 （1） （2）（當僅當a=b時取等號） （3）如果a,b都是正數，那么 （當僅當a=b時取等號） 最值定理：若則： 如果P是定值, 那么當x=y時，S的值最??；如果S是定值, 那么當x=y時，P的值最大； 注意：前提：“一正、二定、三相等”，如果沒有滿足前提，則應根據題目創(chuàng)設情境；還要注意選擇恰當的公式；“和定 積最大，積定 和最小”，可用來求最值；均值不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等的條件是否一致。 （當僅當a=b=c時取等號）； （當僅當a=b時取等號）。