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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用》教案5 新人教A版必修4 一、教材分析 1、本單元的教學(xué)內(nèi)容的范圍 1.1 任意角的概念與弧度制 1.1.1角的概念的推廣 1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算 1.2 任意角的三角函數(shù) 1.2.1三角函數(shù)的定義 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線 1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1.2.4誘導(dǎo)公式 1.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.3.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.3.2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.3.3已知三角函數(shù)求值 2．本單元的教學(xué)內(nèi)容在模塊內(nèi)容體系中的地位和作用 （1）三角函數(shù)在高中課程中的地位和作用 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識(shí)，在數(shù)學(xué)（Ⅰ）中建立的函數(shù)概念以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究方法。主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)是概念、圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用；研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析。因此，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。本章所介紹的知識(shí)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是學(xué)習(xí)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)模型之一，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，又是研究自然界周期變化規(guī)律最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科聯(lián)系緊密。 （2）本章知識(shí)結(jié)構(gòu) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 任意角的三角函數(shù) 角度制與弧度制 任意角的概念 已知三角函數(shù)值求角 誘導(dǎo)公式 同角三角函數(shù)關(guān)系 扇形的弧長(zhǎng)與面積 3．本單元的教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo) 1）知識(shí)和技能目標(biāo) （1）任意角、弧度 　　 了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。 （2）三角函數(shù) ①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。 　 ② 借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。 　?、?借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸交點(diǎn)等）。 ④ 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ⑤ 結(jié)合具體實(shí)例，了解的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出的圖象，觀察參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象變化的影響。 ⑥會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。 2）過(guò)程與方法目標(biāo) ①用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)了解角的概念的推廣是解決現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中實(shí)際問(wèn)題的需要，通過(guò)對(duì)各種角的表示法的訓(xùn)練，提高分析、抽象、概括的能力。 ②正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，通過(guò)研究三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。 ③通過(guò)圖象變換的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析、理解問(wèn)題的能力；培養(yǎng)利用聯(lián)系、變化的辨證唯物主義觀點(diǎn)去分析問(wèn)題的能力。 ④結(jié)合有關(guān)內(nèi)容（如角度與弧度的換算，已知角求它的三角函數(shù)值，已知三角函數(shù)值求角）進(jìn)行算法的基本訓(xùn)練，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算器，計(jì)算機(jī)求函數(shù)值，作函數(shù)圖象，探索和解決問(wèn)題。 3）情感，態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo) ①通過(guò)對(duì)角的概念的推廣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；理解并認(rèn)識(shí)角度制與弧度制是辨證統(tǒng)一的，不是孤立的、割裂的。 ②通過(guò)對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的學(xué)習(xí)，揭示事物之間普遍聯(lián)系的規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。 ③通過(guò)圖象變換的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達(dá)到從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍。 4．本單元的教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)和難點(diǎn)分析 ①本單元教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，函數(shù)的圖象和正弦函數(shù)圖象的關(guān)系。 （2）本單元教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)：弧度制和周期函數(shù)的概念，正弦型函數(shù)的圖象變換，綜合運(yùn)用公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明等。 二、與本單元教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)的教學(xué)方法和教學(xué)方法概述 合理選用啟發(fā)式講授、探究性學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等多種教學(xué)方法，結(jié)合教材特點(diǎn)、學(xué)生基礎(chǔ)確定切合教學(xué)實(shí)際的教法。 三、本單元所需教學(xué)資源的概述 幾何畫板、Excel、scilab等輔助教學(xué)軟件、人教社網(wǎng)站，相關(guān)資料包（光盤、試題、等） 四、本單元學(xué)時(shí)建議 1.1 任意角的概念與弧度制 2課時(shí) 1.2 任意角的三角函數(shù) 7課時(shí) 1.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 6課時(shí) 本章小結(jié) 1課時(shí) （共計(jì)16學(xué)時(shí)，僅供參考） 1.1.1 角的概念的推廣——任意角、終邊相同的角、象限角 教學(xué)目標(biāo) 『知識(shí)與技能』 1． 認(rèn)識(shí)角擴(kuò)充的必要性，了解任意角的概念，與過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)的一些容易混淆的概念相區(qū)分； 2． 能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示終邊相同的角，體會(huì)終邊相同角的周期性； 3． 能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示象限角； 4． 能用集合和數(shù)學(xué)符號(hào)表示終邊滿足一定條件的角. 『過(guò)程與方法』 1. 通過(guò)角的概念的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)態(tài)與靜態(tài)數(shù)學(xué)觀的差異，進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)變換的作用； 2. 通過(guò)角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣讓學(xué)生體會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)科中，將概念的形式化、數(shù)量化的過(guò)程與方法，借此進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想、方法，這是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容； 『情感、態(tài)度和價(jià)值觀』 通過(guò)掌握角合成的算法，終邊相同角的表示方法及其推廣的過(guò)程與方法，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象化、形式化等學(xué)科特點(diǎn). 知識(shí)的重點(diǎn) 形成任意角（正角、負(fù)角、零角）、終邊相同的角、象限角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法和判定方法 知識(shí)的難點(diǎn) 終邊相同的角的概念、其符號(hào)表示、集合表示 教學(xué)方法 本節(jié)教學(xué)方法采用教師引導(dǎo)下的討論法，通過(guò)多媒體課件在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)就概念、就方法的不足之處，進(jìn)而探索新的方法，形成新的概念，突出數(shù)形結(jié)合思想與方法在概念形成與形式化、數(shù)量化過(guò)程中的作用，是一節(jié)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性、思想性比較強(qiáng)的課. 教學(xué)過(guò)程 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 情境引入 復(fù)習(xí)靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下，按圖形組合方式定義角. 復(fù)習(xí)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)下，按“圖形（旋轉(zhuǎn)）變換”的方式定義角. 『提問(wèn)』角是數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的基本圖形之一，按圖形組合的方式來(lái)看，角是由哪些基本的圖形組成的呢？ 『解答』有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角. 『提問(wèn)』不加任何描述條件，兩條共端點(diǎn)的射線組成幾個(gè)角？這兩個(gè)角之間有什么關(guān)系？它們的取值范圍是多少？ 『解答』兩個(gè)，和為360，0～360（大于等于0且小于360）. 『提問(wèn)』在圖上我們?nèi)绾螀^(qū)分這兩個(gè)角？ 『解答』標(biāo)示、添加描述條件等 『提示』『演示』 為了解決上述問(wèn)題，我們看另一種定義方式.即，一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的圖形叫做角. 『提問(wèn)』兩種定義方式有什么異同之處？ 『解答』 角 組合式 旋轉(zhuǎn)式 邊 兩條射線 一條射線，另一邊是其經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果 頂點(diǎn) 公共端點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)中心 個(gè)數(shù) 兩個(gè) ？ 范圍 0～360 ？ 『思考』在旋轉(zhuǎn)式定義方式下，我們會(huì)產(chǎn)生這樣的質(zhì)疑： 1． 一次旋轉(zhuǎn)而得的角有幾個(gè)？ 2． 兩條射線一次組合產(chǎn)生的兩個(gè)角，如何用旋轉(zhuǎn)的方式表示？ 3． 當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，如何描述旋轉(zhuǎn)量？ 發(fā)現(xiàn)靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下，按“圖形組合”的方式定義角的概念有很大的局限性. 比較兩種角的定義，發(fā)現(xiàn)差異，為角的概念的推廣做準(zhǔn)備 概念形成 任意角的概念 按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做正角； 按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角； 當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，叫做零角. 在畫圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角. 任意角的圖示方法 如圖(課本圖1－1)，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始邊，OB叫做∠AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作∠BOA. 顯然，當(dāng)我們用旋轉(zhuǎn)的方式定義角時(shí)，原有的角的范圍必須被擴(kuò)充. 一． 任意角的概念 我們用旋轉(zhuǎn)變換的觀點(diǎn)來(lái)擴(kuò)充角的概念，即解決旋轉(zhuǎn)變換的三個(gè)要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）對(duì)角的概念有什么影響？ （1） 旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么質(zhì)疑一中提到的問(wèn)題就可以解決了； （2） 旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)360，角度的絕對(duì)值可大于360.這樣質(zhì)疑二中的問(wèn)題就可以解決了； （3） 旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn). 『板書』『畫圖』 按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做正角； 按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角； 當(dāng)射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，叫做零角. 在畫圖時(shí)，常用帶箭頭的弧來(lái)表示旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量.旋轉(zhuǎn)生成的角，又常叫做轉(zhuǎn)角. 如圖(課本圖1－1)，射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所成的角，記作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始邊，OB叫做∠AOB的終邊.以O(shè)B為始邊，OA為終邊的角記作∠BOA. 例：∠AOB＝120，∠BOA＝－120. 以旋轉(zhuǎn)變換的要素為線索，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)式定義是如何擴(kuò)充角的概念的 應(yīng)用舉例 『例題』如圖（課本圖1－2），射線’OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量超過(guò)了周角，按照?qǐng)D中箭頭所指的方向和弧線表示的周數(shù)，可以表示角的度數(shù). 『練習(xí)』讀角練習(xí) 教師講解，學(xué)生練習(xí) 在實(shí)踐中鞏固所學(xué)概念 概念應(yīng)用 角的合成與運(yùn)算問(wèn)題 各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和. 二． 角的合成與運(yùn)算 『例題』課本P4 『小結(jié)』各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和. 根據(jù)已有的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果把度數(shù)相同的角看成是一個(gè)角，那么角和實(shí)數(shù)之間可以形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 于是，角的合成可以用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)表示. 『練習(xí)』 1． 課本P7.練習(xí)A.5題 2． 課本P6練習(xí)A.2題（3） 讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 概念形成 如果當(dāng)角與角的始邊重合時(shí)，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角. 一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記 ， 當(dāng)k＝0時(shí)，兩個(gè)角相同. 終邊相同的角的集合形式： 設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為 如果我們固定角的始邊，因其終邊可以任意旋轉(zhuǎn)，故而可以構(gòu)成任意度數(shù)的角，而通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，這些角中有很多角的邊是重合的. 因此我們定義： 三． 終邊相同的角 1． 定義 如果當(dāng)角與角的始邊重合時(shí)，它們的終邊也重合，那么我們稱角與角是終邊相同的角. 2． 表示方法 『思考』終邊相同的角度數(shù)相等么？反之，度數(shù)相等的角終邊相同么？ 『解答』終邊相同的角度數(shù)不一定相等；而度數(shù)相等的角終邊一定相同？ 『思考』終邊相同的兩個(gè)角的度數(shù)有什么關(guān)系？ 『解答』終邊相同的兩個(gè)角的位置關(guān)系是——兩邊重合，數(shù)量關(guān)系是——差是360的整數(shù)倍. 『思考』設(shè)是終邊相同的兩個(gè)角，如何用符號(hào)語(yǔ)言表示其數(shù)量關(guān)系？ 『解答』，通過(guò)變形可以得到 『小結(jié)』一般地，如果是終邊相同的角，那么我們記 ， 當(dāng)k＝0時(shí)，兩個(gè)角相同. 『說(shuō)明』 我們來(lái)總結(jié)一下，如何把終邊相同的角的圖形變換特性轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系形式的. 從角的旋轉(zhuǎn)式定義看，終邊相同角的本質(zhì)特征是：每旋轉(zhuǎn)360的整數(shù)倍后兩角重合. 旋轉(zhuǎn)初值 整數(shù)k 形式化 旋轉(zhuǎn)次數(shù) 強(qiáng)調(diào)建立坐標(biāo)系的方法 360 單位旋轉(zhuǎn)量 3． 終邊相同的角的集合 設(shè)表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為 . 集合中的每一個(gè)元素都與的終邊相同，當(dāng)k＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)元素為. 定義終邊相同的角 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)終邊相同的角的表示方法 借助終邊相同的角的表示方法，研究旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想與方法 應(yīng)用舉例 1．寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并在0～360內(nèi)找出與它們終邊相同的角. （1）－150 （2）650 （3）－95015’ 2．課本P6.例4 教師講解，學(xué)生練習(xí) 在實(shí)踐中鞏固所學(xué)概念 概念推廣 從終邊相同的角的符號(hào)表示方法推出符號(hào)表示終邊滿足一定條件的角的方法 例如， ，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱. ※角與角－的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱等. 四．符號(hào)表示終邊滿足一定條件的角 『例題』已知，角＝45，角的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，寫出角的集合S. 『解答』 『思考』比較與角終邊相同的角的集合，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 『討論』 『小結(jié)』在中，表示旋轉(zhuǎn)初值，整數(shù)k表示旋轉(zhuǎn)次數(shù)，360表示單位旋轉(zhuǎn)量.改變這些常數(shù)，表示不同的旋轉(zhuǎn)過(guò)程.例如，表示角每次旋轉(zhuǎn)180，角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 『思考』類似地請(qǐng)你自己做一些探究. 『結(jié)論』表示角每次旋轉(zhuǎn)90，角與角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱. ※角與角－的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱等. 終邊相同的角的表示方法的推廣，即旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)量表示形式、數(shù)形結(jié)合的思想與方法的練習(xí)，這是本節(jié)的提升點(diǎn) 重點(diǎn)在于讓學(xué)生建立起圖形變換可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系式加以描述的觀念，并掌握具體方法 用探究所得的思想和方法解決新問(wèn)題 應(yīng)用舉例 『例題』課本P5.例3； 『練習(xí)』 1． 寫出終邊在y軸上的角的集合；（課本P7.練習(xí)B.1） 2． 寫出終邊在一、三象限角平分線上的角的集合.（課本P7.練習(xí)B.2） 3． 課本P7.練習(xí)B.3 教師講解，學(xué)生練習(xí) 在實(shí)踐中鞏固所學(xué)概念 概念推廣 平面內(nèi)任意一個(gè)角都可以通過(guò)移動(dòng)，使角的頂點(diǎn)和平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角. 五．象限角的概念 今后我們通常在平面直角坐標(biāo)系中討論角. 『定義』 平面內(nèi)任意一個(gè)角都可以通過(guò)移動(dòng)，使角的頂點(diǎn)和平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，角的始邊和x軸的正半軸重合，這時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角. 將任意角等概念與坐標(biāo)系相結(jié)合，為三角函數(shù)做準(zhǔn)備 應(yīng)用舉例 『例題』 1． 課本P7.練習(xí)A.4 2． 課本P7.練習(xí)B.4 3． 如果用數(shù)軸上的點(diǎn)表示角度，象限角所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如何分布？ 4． 新學(xué)案P1.例題2 教師講解，學(xué)生練習(xí) 第3題，進(jìn)一步明確終邊相同的角的周期性，為三角函數(shù)做準(zhǔn)備 總結(jié)回顧 1、 任意角的概念 2、 角的合成與運(yùn)算 3、 終邊相同的角的表示方法 4、 終邊滿足一定條件的角的表示方法 5、 象限角的概念與表示方法 教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧，簡(jiǎn)單繪制本節(jié)課的知識(shí)脈絡(luò)圖 本節(jié)課概念眾多，通過(guò)梳理脈絡(luò)，幫助學(xué)生鞏固知識(shí) 作業(yè) 新學(xué)案 A組、B組 下節(jié)課通過(guò)測(cè)驗(yàn)檢查作業(yè)落實(shí)情況 課后練習(xí)，鞏固所學(xué) 備注 本節(jié)所選例題超過(guò)課時(shí)限制，宜在實(shí)際操作中加以選擇 1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算 一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識(shí)目標(biāo)： （1）1弧度的角的定義；（2）弧度制的定義；（3）弧度與角度的換算；（4）角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（5）弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式。 2．能力目標(biāo)： （1）理解弧度的意義，能正確地進(jìn)行角度與弧度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；（2）了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式，扇形的面積公式；（4）會(huì)利用弧度解決某些實(shí)際問(wèn)題。 3．情感目標(biāo)： （1）使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者雖然單位不同，但是互相聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解；（2）使學(xué)生通過(guò)總結(jié)引入弧度制的好處，學(xué)會(huì)歸納、整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí)都會(huì)為我們解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)方便，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 重點(diǎn)：弧度的意義，弧度與角度的換算方法； 難點(diǎn)：理解弧度制與角度制的區(qū)別。 三、教學(xué)方法： 通過(guò)幾何畫板多媒體課件的演示，給學(xué)生以直觀的形象，使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性和可行性。從特殊到一般，是人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，讓學(xué)生從某一個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的情況開(kāi)始著手，更利于教學(xué)的開(kāi)展和學(xué)生思維的拓展，共同找出弧度與角度換算的方法。通過(guò)設(shè)置問(wèn)題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，使學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上更好地進(jìn)行合作交流。 四、教學(xué)過(guò)程： 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù) 學(xué) 引 入 1． 復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)角的概念。 2． 初中所學(xué)的角度制。 師：上節(jié)課我們把角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充，角分為幾類？（正角、負(fù)角、零角） 師：在初中幾何里，我們學(xué)習(xí)過(guò)角的度量，1度的角是怎樣定義的呢？ 答：周角的1/360為1度的角。 師：這種用角作單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)另一種在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中常用的度量角的制度——弧度制。（板書課題） 共同回顧角度制，從而為下面角度制與弧度制的比較埋下伏筆。 概念 形成 概 念 形 成 1． 圓心角、弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系： 在同心圓中，同一圓心角所對(duì)的弧與它所在圓的半徑的比值是一個(gè)常數(shù)，即 定值. 2． 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad。這種以弧度為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的時(shí)候，弧度二字或rad可以略去不寫。 3． 與角度制相比： (1)弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單位制，角度制是以“度”為單位來(lái)度量角的單位制；（2）1弧度是弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小，而1度是圓周的所對(duì)的圓心角的大?。唬?）弧度制是十進(jìn)制，而角度制是六十進(jìn)制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個(gè)與半徑無(wú)關(guān)的定值。 4． 公式：，表示的是在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角是 rad。 1． 角是由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中射線上的必然形成一條圓弧，不同的點(diǎn)所形成的圓弧的長(zhǎng)度是不同的，如圖所示，但都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓心角。 教師用多媒體演示，引導(dǎo)學(xué)生思考=定值，并與學(xué)生一起探究相等的原因：設(shè)，弧長(zhǎng)為，半徑為，則，可以看出，等式右端不含半徑，表示弧長(zhǎng)與半徑的比值跟半徑無(wú)關(guān)，只與的大小有關(guān)。 結(jié)論：可以用圓的半徑作單位去度量角。 2． 在給出弧度的定義之后，請(qǐng)同學(xué)們討論弧度制與角度制的區(qū)別和聯(lián)系，教師加以概括總結(jié)。 3． 用公式求圓心角時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)其結(jié)果是圓心角的弧度數(shù)，并要求學(xué)生掌握此公式的變形形式：和。 1．邊演示邊說(shuō)明，使學(xué)生通過(guò)圖像來(lái)獲取對(duì)新概念的直觀印象。 2．通過(guò)和學(xué)生一起探究，使學(xué)生明白新概念的由來(lái)，從而加深理解。 3．通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行類比、遷移和聯(lián)想，加深對(duì)概念的理解；通過(guò)分組討論，加強(qiáng)學(xué)生間的交流和合作，發(fā)揮他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。 4．由于在物理上計(jì)算角速度時(shí)要經(jīng)常用到此公式，因此要求學(xué)生掌握它及其兩個(gè)變形。 弧度制與角度制的換算 弧度制與角度制的換算 1． 用角度制和弧度制度量角，零角既是角，又是0 rad角，同一個(gè)非零角的度數(shù)和弧度數(shù)是不同的。 2． 周角的弧度數(shù)： rad 3． 換算公式： rad=, rad. 4．特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表 5．角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 6．把角度值換算為弧度值的一個(gè)“算法”： （1）給變量和圓周率的近似值賦值； （2）如果角度值是以“度、分、秒”形式給出，先把化為以“度”為單位的10進(jìn)制表示； （3）計(jì)算，得出的結(jié)果賦給變量； （4）計(jì)算，賦值給變量。 1． 由上面的公式可以計(jì)算給定弧長(zhǎng)和半徑的圓心角的弧度，請(qǐng)同學(xué)們考慮一下，人給一個(gè)角度時(shí)怎么換算成弧度呢？反過(guò)來(lái)又該怎么做呢？ 2． 先引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算周角的弧度數(shù)，在此基礎(chǔ)上再來(lái)考慮換算問(wèn)題，并和學(xué)生一起推導(dǎo)出兩個(gè)換算公式。補(bǔ)充負(fù)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。 3． 通過(guò)學(xué)生的實(shí)際計(jì)算和運(yùn)用，讓學(xué)生熟練掌握特殊角的角度和弧度的對(duì)應(yīng)表。 4． 同學(xué)分組討論一下角的集合與實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 答：一一對(duì)應(yīng)。 問(wèn)：在這兩種單位制下都是一一對(duì)應(yīng)嗎？ 由于每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（角度數(shù)或弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角和它對(duì)應(yīng)，因此，無(wú)論用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 5．根據(jù)上面的公式，帶領(lǐng)學(xué)生寫出由角度換算為弧度的算法，讓學(xué)生自己寫出由弧度換算角度的算法。 1．讓學(xué)生意識(shí)到相互轉(zhuǎn)換得必要性和重要性，激發(fā)學(xué)生積極思考問(wèn)題。 2．從特殊到一般，是人類認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律，讓學(xué)生從某一個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的情況開(kāi)始著手，更利于教學(xué)的開(kāi)展和學(xué)生思維的拓展。 3．觀察分析和小組討論相結(jié)合，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。 4．寫算法一方面訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，另一方面也為后面學(xué)習(xí)算法打下基礎(chǔ)。 典型例題 例1 （1）把化成弧 度（精確到0.001）； （2）把化成弧度（精確到）。 例2 把化成度。 例3 扇形AOB中，所對(duì)的圓心角是，半徑是50米，求的長(zhǎng)（精確到0.1米）。 例4 利用弧度制推導(dǎo)扇形面積公式其中是扇形的弧長(zhǎng)，是扇形的半徑。 例1、例2學(xué)生板書，教師指導(dǎo)。 例3、例4教師講解并板書，在解題步驟的規(guī)范性上為學(xué)生做好榜樣。 關(guān)于例4，請(qǐng)學(xué)生思考：把扇形面積公式和三角形面積公式進(jìn)行類比，你會(huì)產(chǎn)生什么聯(lián)想？ 通過(guò)例1和例2 讓學(xué)生掌握弧度和角度換算的方法，例3 是弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，例4是推導(dǎo)扇形面積公式，從而對(duì)相關(guān)問(wèn)題的解決提供工具。 歸納小結(jié) 1．1弧度的角和弧度制的定義； 2．弧度與角度的換算； 3．弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式。 讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲，教師歸納。 注重學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，發(fā)表本節(jié)課的體驗(yàn)和收獲。 布置作業(yè) 層次一：教材練習(xí)A，2，4，5。 層次二：教材練習(xí)B，4；習(xí)題1-1A，2。 層次一的題目要求所有學(xué)生完成，層次二的題目要求中等以上水平的學(xué)生完成。 通過(guò)分層作業(yè)，使不同層次的學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)。 附錄（表格和圖）： 度 弧度 1．2．1（第一課時(shí)）任意角的三角函數(shù)的定義（一） 一、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義. 2.理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù). 3.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域. 二、重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)的定義和定義域。 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)任意角三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 三、教學(xué)過(guò)程 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)引入 1.在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù): 教師提出問(wèn)題：初中是如何定義角的？ 師:前面我們對(duì)角的概念進(jìn)行了擴(kuò)充,并學(xué)習(xí)了弧度制,知道角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的,在這個(gè)基礎(chǔ)上,今天我們來(lái)研究任意角的三角函數(shù). 溫故知新 概念形成 1．用坐標(biāo)形式表示出中所學(xué)的銳角三角函數(shù) 設(shè)點(diǎn)P（x,y）是銳角終邊上的任意一點(diǎn)，記OP=r(r≠0), 則，， 2．任意角的三角函數(shù) 設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P(x,y) 則P與原點(diǎn)的距離根據(jù)三角形的相似知識(shí)得到均為定值。 比值叫做的正弦, 記作： 比值叫做的余弦, 記作： 比值叫做的正切, 記作： (4)角的其它三種三角函數(shù) 比值叫做的余切, 記作： 比值叫做的正割, 記作： 比值叫做的余割, 記作： 1. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為銳角的頂點(diǎn),以O(shè)x軸為角的始邊,則角的終邊落在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),若設(shè)點(diǎn)P(x,y)始終邊上的任意一點(diǎn),記OP=r(r≠0),試將角的三角函數(shù)用x,y,y表示出來(lái). 學(xué)生作圖,教師在此過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生在坐標(biāo)系中做出符合銳角三角函數(shù)定義要求的直角三角形.該過(guò)程中要適時(shí)指點(diǎn)學(xué)生,并加強(qiáng)學(xué)生與學(xué)生之間的討論與交流. 回答問(wèn)題:教師通過(guò)多媒體將此過(guò)程展示給學(xué)生,明確坐標(biāo)與三角函數(shù)的關(guān)系. 2. 教師提出問(wèn)題: 問(wèn)題1：根據(jù)剛才我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中討論的銳角三角函數(shù)，你能給出任意角的三角函數(shù)定義嗎? 由學(xué)生討論回答. 問(wèn)題2: 角的三角函數(shù)值不受終邊上的點(diǎn)P的位置的影響嗎？ 這是一個(gè)較有思考價(jià)值的問(wèn)題,教師要注意正確地引導(dǎo)和必要地提示,銳角三角函數(shù)的大小僅與銳角的大小有關(guān),與直角三角形的大小無(wú)關(guān),類似地-… 問(wèn)題3: 依據(jù)函數(shù)的定義，這幾個(gè)比值可以分別構(gòu)成函數(shù)嗎？若能構(gòu)成，他們的自變量是什么？x還是y？r還是？ 將初中定義的銳角三角函數(shù)放到坐標(biāo)系中的討論，指明研究函數(shù)問(wèn)題的工具，完成從三角形到坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化，為后面在直角坐標(biāo)系中定義任意角的三角函數(shù)搭建平臺(tái)。 2．通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行類比、遷移及聯(lián)想，樹(shù)立他們勇于探索的信心。通過(guò)討論，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性 概念深化 1。角是“任意角”，當(dāng)β=2kπ+α(k∈Z)時(shí)，β與α的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值都相等。 2．定義中只說(shuō)怎樣的比值叫做α的什么函數(shù)，并沒(méi)用說(shuō)α的終邊在什么位置（終邊在坐標(biāo)軸上的除外），即函數(shù)的定義與α的終邊位置無(wú)關(guān)。實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。 3．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù) 4．對(duì)于正弦函數(shù)sinα=，因?yàn)閞>0所以恒有意義，即α取任意實(shí)數(shù)，恒有意義，也就是說(shuō)sinα恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對(duì)于正切函數(shù)tanα=,因?yàn)閤=0時(shí)，無(wú)意義，即tanα無(wú)意義，又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí)，才有x=0，所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí)，恒有意義。 現(xiàn)將它們列表如下: 三角函數(shù) 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠kπ+,k∈Z } 對(duì)于第1到第3點(diǎn)教師要點(diǎn)撥,學(xué)生思考.對(duì)于第4點(diǎn)教師提出問(wèn)題:談到函數(shù),定義域要先行.在此,對(duì)三角函數(shù)的定義與要進(jìn)一步地明確,確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)就是任意角的三角函數(shù)的定義.三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù),如何去確定這些函數(shù)定義域?他們的定義域是什么? 由學(xué)生討論回答 1． 讓學(xué)生明確定義是對(duì)任意角而言的，OP是角的終邊，至于是轉(zhuǎn)了幾圈,安什么方向旋轉(zhuǎn)的不清楚,也只有這樣,才能說(shuō)明角是任意的. 2． 使學(xué)生明確任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:任意角的三角函數(shù)包含銳角三角函數(shù).實(shí)質(zhì)上銳角三角函數(shù)的定義與任意角的三角函數(shù)的定義是一致的,銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例.所不同的是,銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的,任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的。 3． 讓學(xué)生掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。 應(yīng)用舉例 例1.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(2,-3)，求的六個(gè)三角函數(shù)值. 例2.求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值 （1）0 （2）π （3） 學(xué)生板演，教師對(duì)學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo) 讓學(xué)生鞏固六種三角函數(shù)概念，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用。 歸納小結(jié) 1。知識(shí)：三角函數(shù)的定義及其定義域 2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想；類比法。 讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)總結(jié)，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題中的作用 布置作業(yè) 層次一：教材練習(xí)A,1~3 層次二：教材習(xí)題1-2A,1,2 使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識(shí) 1．2．1（第二課時(shí)）任意角的三角函數(shù)的定義（二） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.理解并掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào). 2.理解并掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 教學(xué)重點(diǎn)：三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 教學(xué)難點(diǎn)：正確理解三角函數(shù)可看作以“實(shí)數(shù)”為自變量的函數(shù) 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過(guò)程： 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)引入 任意角的三角函數(shù)定義 教師提出問(wèn)題：任意角的三角函數(shù)是如何定義的？ 溫故知新，為新課引入埋下伏筆 概念的形成 1.設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y） 則P與原點(diǎn)的距離， 比值只與角的大小有關(guān). 2．三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)。 3．三角函數(shù)值的符號(hào)的討論 ①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）； ②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）； ③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）． 教師提出問(wèn)題：我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)比值中而x,y的正負(fù)是隨象限的變 化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定請(qǐng)同學(xué)們探討一下三角函數(shù)值的符號(hào)是如何？ 問(wèn)題2。你能否歸納出更易記憶的規(guī)律？ 學(xué)生甲：記憶法則： 第一象限全為正,二正三切四余弦. 學(xué)生乙： 為正 全正 為正 為正 學(xué)生丙： 教師點(diǎn)評(píng)： 由學(xué)生討論得出新的結(jié)論 應(yīng)用舉例 例1.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào) (1) cos260 (2) (3) tan(-67220’) (4) 例2.設(shè)sinθ<0且tanθ>0,確定θ是第幾象限的角。 例3填表：如表1 學(xué)生板演，教師對(duì)學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo) 讓學(xué)生鞏固六種三角函數(shù)的符號(hào)，感受三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)符號(hào)中的作用。 鞏固特殊三角函數(shù)值 表1 a 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 課堂練習(xí) 1.確定下列各式的符號(hào) (1)sin10cos240 (2)sin5+tan5 2. x取什么值時(shí),有意義? 3. 若三角形的兩內(nèi)角a，b滿足sinacosb0，則此三角形必為……（） A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能 4．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（） A: sina+cosa0 B: tana-sina0 C: cosa-cota0 D: cotacsca0 5．已知q是第三象限角且，問(wèn)是第幾象限角？ 6．已知，則q為第幾象限角？ 分析:由角所在象限分別判斷兩個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào),再確定各式的符號(hào) 分析：因?yàn)檎?、余弦函?shù)的定義域?yàn)镽，故只要考慮正切函數(shù)的定義域和分式的分母不能為零. B B ∴必為第二象限角 必為第二象限角 學(xué)生板演，教師對(duì)學(xué)生在解題思路和規(guī)范性方面進(jìn)行指導(dǎo) 復(fù)習(xí)這兩節(jié)課有關(guān)的知識(shí)內(nèi)容 歸納小結(jié) 本節(jié)課我們重點(diǎn)討論了,三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，確定函數(shù)值的符號(hào)，這個(gè)內(nèi)容是我們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)總結(jié)，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題中的作用 布置作業(yè) 層次一：教材練習(xí)A,4教材練習(xí)B,3,4 層次二：教材練習(xí)B,5 使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)知識(shí) 1.2.2單位圓與三角函數(shù)線 一、教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)目標(biāo)：?jiǎn)挝粓A、有向線段的概念；正弦線、余弦線、正切線。 2.能力目標(biāo)：理解并掌握單位圓、有向線段的概念，正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來(lái)，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái)。 3.情感目標(biāo)：通過(guò)三角函數(shù)的幾何表示，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，拓展思維空間。 二、重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)正確地用三角函數(shù)線表示任意角的三角函數(shù)值。 難點(diǎn)正確地用與單位圓有關(guān)的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)值。 三、教學(xué)方法 講授法 講清楚單位圓、有向線段的概念，本節(jié)內(nèi)容中的有向線段與坐標(biāo)軸是平行的，讓學(xué)生弄清楚線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向之間的對(duì)應(yīng)，以及線段的數(shù)量與三角函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)。對(duì)理解正弦線、余弦線、正切線是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵所在。 四、教學(xué)過(guò)程 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的 定義以及三角函數(shù)在各象限內(nèi) 的符號(hào)。由三角函數(shù)的定義我 們知道對(duì)于角的各種三角 函數(shù)我們都用比值來(lái)表示，或 者說(shuō)用數(shù)來(lái)表示。 今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、 正切函數(shù)的另一種表示方法--- 幾何表示法。先看日常生活中 的一個(gè)實(shí)例：觀覽車在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò) 程中，座椅離地面的高度隨著 轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化，高度 與轉(zhuǎn)動(dòng)角度的關(guān)系如何？ 生：三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)在 各象限內(nèi)的符號(hào)。 通過(guò)復(fù)習(xí)再用實(shí) 例導(dǎo)出今天要學(xué) 習(xí)的正弦、余弦、 正切函數(shù)的另一 種表示方法---幾 何表示法，即正 弦線、余弦線、 正切線. 預(yù)備知識(shí) 1. 單位圓概念 2. 有向線段概念 師：把半徑為1的圓叫做單位圓。 生：半徑為1中的“1”的單位是什 么 師：“半徑為1”中的“1”指的是1 個(gè)單位長(zhǎng)，可以是1cm、1dm、1m、 1km等，都是1個(gè)單位長(zhǎng)。即單位 圓的半徑是1（個(gè)單位長(zhǎng)） 師：帶有方向的線段叫有向線段。 注：有向線段的數(shù)值由其長(zhǎng)度大小和方向來(lái)決定。 單位圓概念的深刻把握。 正弦線、余弦線、正切線的定義 實(shí)例的解決 師： 邊作圖邊敘述 以觀覽車轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為軸，以轉(zhuǎn)輪半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)P為轉(zhuǎn)輪邊緣上一點(diǎn)（考慮點(diǎn)P在不同象限的情況），它表示轉(zhuǎn)椅的位置，記為角XOP 其中 生：利用單位圓有向線段概念及正弦函數(shù)的定義可知 把有向線段OM、ON、AT（即向量）分別叫做角的余弦線、正弦線和正切線。 師：當(dāng)點(diǎn)P在二、三、四象限的情況時(shí)，教師畫出圖，引導(dǎo)學(xué)生找正弦線、余弦線、正切線。 （2） （3） （4） 通過(guò)實(shí)例引出正弦線、余弦線、正切線的定義 正弦線、余弦線、正切線的應(yīng)用 1.分別作出、、的正弦線、余弦線、正切線。 2.比較大?。? 和 和 和 3.已知,求。 學(xué)生作答 正弦線、余弦線、正切線的強(qiáng)化訓(xùn)練。 歸納小結(jié) 給定任意一個(gè)角能在單位圓中作出它的正弦線、余弦線、正切線 師：三角函數(shù)線的位置 生：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直的有向線段；余弦線在軸上；正切線在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上。三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。 師：三角函數(shù)線的方向 生：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)有指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與終邊（或其反向延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)。 師：三角函數(shù)線的正負(fù)，即三條有向線段的正負(fù)。 生：凡與軸或軸同向的為正值，反向的為負(fù)值。 特殊情況： ①當(dāng)角的終邊在軸上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，點(diǎn)T與點(diǎn)A重合，這是正弦線與正切線都變成了一點(diǎn)，數(shù)量為零，而余弦線OM=1或-1。 ②當(dāng)角的終邊在軸上時(shí)，正弦線MP=1或-1余弦線變成了一點(diǎn)，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在。 讓學(xué)生明確本節(jié)課的重點(diǎn)和要達(dá)到的要求。 布置作業(yè) 1.必修4:P21練習(xí)A、練習(xí)B。 2.課后思考題： 必修4：P21探索與研究 對(duì)本節(jié)內(nèi)容及時(shí)鞏固 1.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 教學(xué)目標(biāo)： ⒈理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，會(huì)用解方程組的通法求三角函數(shù)值； 2．培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過(guò)程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而提高邏輯推理能力． 3．通過(guò)對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的學(xué)習(xí)，揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。 教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用(求值、化簡(jiǎn)、恒等式證明) 教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)系式在解題中的靈活運(yùn)用和對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng). 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)方法： 本節(jié)主要涉及到兩個(gè)公式，均由三角函數(shù)定義和勾股定理推出．在教學(xué)過(guò)程中，要注意引導(dǎo)學(xué)生理解每個(gè)公式，懂得公式的來(lái)龍去脈，并能靈活運(yùn)用。要給學(xué)生提供展示自己思路的平臺(tái)，營(yíng)造自主探究解決問(wèn)題的環(huán)境，把鼓勵(lì)帶進(jìn)課堂，把方法帶進(jìn)課堂，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用． 教學(xué)過(guò)程： 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù) 習(xí) 引 入 復(fù)習(xí)單位圓和三角函數(shù)線；三角函數(shù)定義和勾股定理 教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答 推出 這兩個(gè)最基本的關(guān)系式。 關(guān) 系 式 的 深 化 理 解 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： “同角”的概念與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如： 當(dāng)我們知道一個(gè)角的某一三角函數(shù)值時(shí)，利用這兩個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式和三角函數(shù)定義，就可求出這個(gè)角的其余三角函數(shù)值。此外，還可用它們化簡(jiǎn)三角函數(shù)式和證明三角恒等式。當(dāng)然，上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立 提問(wèn)： 1．何謂“同角”？ 2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的作用，它可以用來(lái)解決哪些問(wèn)題？ 3．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解題的注意事項(xiàng)？ 更好地理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及功能。 應(yīng) 用 舉 例 例1 已知，并且是第二象限角，求的其他三角函數(shù)值． 分析：由平方關(guān)系可求cos的值，由已知條件和cos的值可以求tan的值，進(jìn)而用倒數(shù)關(guān)系求得cot的值． 解：∵sin2α+cos2α=1，是第二象限角 例2．已知，求sin、tan的值． 分析：∵cosα＜0　　∴是第二或第三象限角．因此要對(duì)所在象限分類． 當(dāng)是第二象限角時(shí)， 當(dāng)是第三象限時(shí)， 例3 已知 例4 化簡(jiǎn)：. 例5化簡(jiǎn)： 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)合理利用公式，明確化簡(jiǎn)的基本要求，盡量化為最簡(jiǎn)形式。 例6求證： （1） （2） （3） 分析：思路1．把左邊分子分母同乘以，再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以（1+sinx）先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果；思路6：由乘積式轉(zhuǎn)化為比例式；思路7：用綜合法． 證法1：左邊=右邊， ∴原等式成立 證法2：左邊=＝ ＝右邊 證法3： ∵， ∴ 證法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0， ∴ = ＝＝1， ∴． ∴左邊=右邊 ∴原等式成立． 證法6：∵＝＝＝ ∴． 證法7：∵， ∴= 例1可讓學(xué)生自己解決 例2可讓學(xué)生討論解決 學(xué)生獨(dú)立完成，并交流不同解法，比較優(yōu)劣。 提問(wèn)：你怎樣理解化簡(jiǎn)？ 證明恒等式有哪些途徑？ 由學(xué)生完成證明，展示不同證法，可能的證法除課本給出的以外，左側(cè)還給出了一些證法，供參考。 結(jié)合例6，由學(xué)生總結(jié)證明三角恒等式的常用方法。教師在證明思路和解題規(guī)范上給予指導(dǎo)。 例1是已知一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的其余各三角函數(shù)值的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 體現(xiàn)分類討論的思想，比較與例1 的異同。 體現(xiàn)方程的思想 展示不同的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力和思辯的能力。 體會(huì)如何運(yùn)用公式化簡(jiǎn)，明確化簡(jiǎn)的目標(biāo)。 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡(jiǎn)的最基本解題原則。 通過(guò)討論探究，培養(yǎng)發(fā)散思維，提高綜合運(yùn)用知識(shí)思考、解決問(wèn)題的能力。 體驗(yàn)證明的過(guò)程就是通過(guò)化簡(jiǎn)與消去等式兩邊差異來(lái)促成統(tǒng)一。 小 結(jié) 1． 理解同角的含義 2． 掌握公式及公式的變形 3． 靈活應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)和證明。 4． 本節(jié)課在思想方法上的收獲 師生共同完成 關(guān)注學(xué)生的自主體驗(yàn)，總結(jié)反思本節(jié)課在知識(shí)、方法上的體驗(yàn)、收獲。 作 業(yè) 層次一：課本P25 A組 層次二：課本P25 B組 鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容 1.2.4（第一課時(shí)） 誘導(dǎo)公式 教學(xué)目標(biāo)： 1． 借助單位圓的直觀性探索正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并掌握其應(yīng)用； 2． 經(jīng)歷由幾何特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的分析問(wèn)題能力；通過(guò)獨(dú)立探討公式，培養(yǎng)抽象概括能力；了解對(duì)稱變換思想在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，初步形成用對(duì)稱變換思想思考問(wèn)題的習(xí)慣。 3． 揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想 教學(xué)重點(diǎn)：誘導(dǎo)公式(一)、（二）的探究、推導(dǎo)及利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和恒等式的證明。 教學(xué)難點(diǎn)：在單位圓中對(duì)所討論角與a角終邊位置關(guān)系特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性提出研究方法 教學(xué)方法與學(xué)習(xí)指導(dǎo)策略建議 這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，建議主要以師生互動(dòng)為主。多給學(xué)生一些感性認(rèn)識(shí)，通過(guò)討論、辨析獲得對(duì)知識(shí)更深層次的理解。 教學(xué)過(guò)程： 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù) 習(xí) 引 入 復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線 直角坐標(biāo)系中，的終邊相同，由三角函數(shù)的定義，它們的三角函數(shù)值相等，即公式（一）： 指出結(jié)構(gòu)特征和作用： 這組公式可以統(tǒng)一概括為的形式，其特征是：等號(hào)兩邊是同名函數(shù)，且符號(hào)都為正 由這組公式還可以看出，三角函數(shù)是“多對(duì)一”的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，明確了這一點(diǎn)，為今后學(xué)習(xí)函數(shù)的周期性打下基礎(chǔ) 誘導(dǎo)公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0―360之間角的正弦、余弦、正切 例1 求下列各三角函數(shù)值： 教師運(yùn)用多媒體展示三角函數(shù)的定義、單位圓與三角函數(shù)線 共同探討公式（一）的結(jié)構(gòu)特征和作用 由教師提問(wèn)，學(xué)生相互交流，教師糾正、完善。 由學(xué)生完成 如何求的三角函數(shù)值呢？ 共同回顧，為新課做準(zhǔn)備。 理性地把握公式 體會(huì)誘導(dǎo)公式的作用。 將問(wèn)題一般化,轉(zhuǎn)化為探索與的三角函數(shù)間關(guān)系 概 念 形 成 與 深 化 引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓和三角函數(shù)線從中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形這兩個(gè)重要的幾何性質(zhì)出發(fā)，探尋所求角與角終邊的位置關(guān)系，得到函數(shù)值之間關(guān)系。如圖，點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱．已知。 拓展延伸：如何利用對(duì)稱變換思想研究與的三角函數(shù)間關(guān)系？ 討論交流：談?wù)勀銓?duì)研究誘導(dǎo)公式的思想方法的認(rèn)識(shí)。 給學(xué)生思考、研究的時(shí)間，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)所求角與角終邊的位置關(guān)系，得到函數(shù)值之間關(guān)系。 鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，教師做適當(dāng)點(diǎn)撥。 師生適當(dāng)討論交流，解決不了的問(wèn)題可留做課后思考。 使學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)的合成與對(duì)稱之間的關(guān)系 讓學(xué)生經(jīng)歷由幾何直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)過(guò)程，體驗(yàn)如何把角的終邊具有的特定位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關(guān)系，了解對(duì)稱變換思想在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。 應(yīng) 用 舉 例 例2 求下列各三角函數(shù)值： （例題答案參考課本） 學(xué)生獨(dú)立完成，并交流解題心得。 解題關(guān)鍵是找出題中各角與銳角的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值。 歸 納 小 結(jié) 1．誘導(dǎo)公式溝通了任意角三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值以及終邊有特殊位置關(guān)系的角的三角函數(shù)值之間的聯(lián)系．在求任意角的三角函數(shù)值，解決有關(guān)的三角變換等方面有重要的作用． 2．誘導(dǎo)公式（一）、（二）的內(nèi)容、 3．研究誘導(dǎo)公式的思想方法 師生共同總結(jié)、交流、完善 讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，養(yǎng)成自己歸納、總結(jié)的習(xí)慣，重視數(shù)學(xué)思想方法在分析解決問(wèn)題中的應(yīng)用。 布 置 作 業(yè) 課本P27 A 學(xué)生獨(dú)立完成 鞏固所學(xué)知識(shí)、方法。 1.2.4 （第二課時(shí)）角與的三角函數(shù)關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) 要求學(xué)生掌握誘導(dǎo)