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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計2.2總體分布的估計互動課堂學(xué)案蘇教版必修3 疏導(dǎo)引導(dǎo) 1.頻率分布表 總體分布反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的頻率,由于總體很大或不便于獲得,因此我們可以利用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表. 疑難疏引 （1）在頻率分布表中,頻數(shù)是指落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù).頻率是各組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值. （2）編制頻率分布表的步驟如下： ①計算數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,算出了這個差就可以知道這組數(shù)據(jù)的變動范圍有多大. ②決定組數(shù)與組距.將這一批數(shù)據(jù)分組,目的是要描述數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,要根據(jù)數(shù)據(jù)的多少來確定分組的數(shù)目.一般來說,數(shù)據(jù)越多,分的組也越多；通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間. ③決定分點.要使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1組的下限略去或把第1組的起點稍減小一點. ④列頻率分布表.登記頻數(shù),計算頻率,列出頻率分布表. 頻率分布表能反映數(shù)據(jù)在某一范圍內(nèi)出現(xiàn)的可能性.如果這一范圍是由幾組數(shù)據(jù)組成的,則其出現(xiàn)的可能性為這幾組數(shù)據(jù)的頻率之和.在編制頻率分布表時,若題目已給出了組距和組數(shù),可以直接列出頻率分布表. （3）頻率分布表的優(yōu)點和缺點 頻率分布表的優(yōu)點是:能直接反映數(shù)據(jù)在各范圍內(nèi)的頻數(shù)和頻率；其缺點是:不能直觀地反映數(shù)據(jù)的頻率分布,分布表是否正確. 案例1 某班50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測驗,成績的分組及各組的頻數(shù)如下： ［40,50）,2；［50,60）,3；［60,70）,10；［70,80）,15；［80,90）,12；［90,100］,8. 列出樣本的頻率分布表. 【探究】 頻率分布表如下： 分 組 頻 數(shù) 頻 率 ［40,50） 2 0.04 ［50,60) 3 0.06 ［60,70) 10 0.2 ［70,80) 15 0.3 ［80,90) 12 0.24 ［90,100) 8 0.16 規(guī)律總結(jié) 頻率分布表有兩條較為明顯的性質(zhì)： ①各組的頻數(shù)之和為樣本數(shù)據(jù)的個數(shù). ②各組的頻率和為1. 2.頻率分布直方圖 頻率分布表雖然能體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,但它并不直觀,為了直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)個數(shù)的分布規(guī)律,我們需要畫頻率分布直方圖.在初中,我們學(xué)過如何繪制頻數(shù)直方圖,它能直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.同樣我們可以用直方圖來反映樣本的頻率分布規(guī)律.這種反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖,簡稱頻率直方圖. 疑難疏引 （1）繪制頻率分布直方圖的步驟 把橫軸分為若干段,每一段對應(yīng)一組的組距,然后以線段為底,作一個矩形,它的高等于該組的,作出一系列的矩形；每個矩形的面積恰好是該組的頻率,這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中各個小矩形的面積和等于1. 在這里,要特別注意縱軸表示. （2）頻率分布直方圖的兩種類型 用樣本頻率分布估計總體分布通常分兩種情況: ①當總體中的個體取不同數(shù)值很少時,其頻率分布表由所取的樣本的不同值及其相應(yīng)頻率表示,其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.條形圖中,縱軸表示的是頻率,條形圖的高為該組數(shù)據(jù)的頻率.但應(yīng)注意:“總體中的個體取不同數(shù)值很少”并不是指“總體中的個數(shù)很少.” 例如:拋擲硬幣的試驗中,盡管樣本的容量達到了72 088,但試驗結(jié)果只有兩種,即正面向上和反面向上.如果記“正面向上”的結(jié)果為0,記“反面向上”為1,則樣本中數(shù)據(jù)只有兩個取值.此時,該樣本的頻率分布表的幾何表示就為相應(yīng)的條形圖. ②當總體中個體取不同值較多,甚至無限時,對其頻率分布研究用到初中學(xué)過的整理樣本數(shù)據(jù)的知識,用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)的樣本的頻率分布. （3）頻率分布直方圖的優(yōu)點和缺點 頻率分布直方圖雖然能直觀體現(xiàn)數(shù)的分布規(guī)律,但要繪制頻率分布直方圖過程比較復(fù)雜,且它不能直接體現(xiàn)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布. 案例2 下表給出了從某校500名12歲的男生中用簡單隨機抽樣得出的120人的身高資料（單位：厘米） 區(qū)間界限 ［122,126） ［126,130） ［130,134） ［134,138） ［138,142） 人數(shù) 5 8 10 22 33 區(qū)間界限 ［142,146） ［146,150） ［150,154） ［154,158） 人數(shù) 20 11 6 5 （1）列出樣本的頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）估計身高低于134厘米的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比和身高在區(qū)間［134,146）（厘米）內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比. 【探究】（1）樣本頻率分布表： 分 組 頻 數(shù) 頻 率 ［122,126） 5 0.04 ［126,130) 8 0.07 ［130,134) 10 0.08 ［134,138) 22 0.18 ［138,142) 33 0.28 ［142,146) 20 0.17 ［146,150) 11 0.09 ［150,154) 6 0.05 ［154,158) 5 0.04 合計 120 1.00 （2）樣本的頻率分布直方圖如下圖所示. （3）樣本中身高低于134厘米的男生出現(xiàn)的頻率為≈0.19, ∴由樣本頻率可估計該校身高低于134厘米的男生占這500名12歲男生總數(shù)的19%. ∵樣本中身高在區(qū)間［134,146）（厘米）內(nèi)的男生出現(xiàn)的頻率為=0.625, ∴估計該校500名12歲男生中身高在區(qū)間［134,146）（厘米）內(nèi)的有62.5%. 規(guī)律總結(jié) 按要求制表、繪圖,并根據(jù)樣本的分布估計總體的分布時,要合理分組,并準確找出各組頻數(shù),而相應(yīng)頻率是通過求頻數(shù)與樣本容量的比計算出來的.本題已知條件已完成前期工作（即抽樣、分組、確定頻數(shù)）.制作頻率分布表,畫頻率分布直方圖,注意縱軸表示的不是頻率,而是頻率與組距之比.體會用樣本估計總體的統(tǒng)計思想方法. 3.頻率折線圖與總體分布的密度曲線 （1）頻率折線圖的定義 將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結(jié)起來,就可以得到一條折線,這條折線就是本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖. （2）頻率折線圖的畫法 頻率折線圖是在頻率分布直方圖的基礎(chǔ)上,取直方圖中各小矩形的上底邊的中點連結(jié)而成的.畫頻率折線圖時還應(yīng)注意:取值區(qū)間兩端點需分別向外延伸半個組距,以使折線首尾分別與橫軸相連. （3）頻率折線圖的優(yōu)點與缺點 頻率折線圖的優(yōu)點是它能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢,但它不能直接體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律. （4）總體分布的密度曲線 在畫頻率折線圖時,如果將樣本容量取得足夠大,分組的組距取得足夠小,這條折線將趨于一條曲線,這一曲線為總體的密度曲線,它能反映出總體分布規(guī)律. 疑難疏引 （1）總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域取值的規(guī)律,根據(jù)這條曲線,總體在（a,b）內(nèi)取值的百分率就是總體密度曲線與直線x=a,x=b及x軸所圍成的圖形的面積. （2）總體密度曲線呈中間高、兩邊低的“鐘”形分布,總體的數(shù)據(jù)大致呈對稱分布,并且大部分數(shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi). 4.莖葉圖 制作莖葉圖的方法是:當所給數(shù)據(jù)為一位數(shù)時,可將0作為莖葉較長的莖,而它本身作為葉；當所給數(shù)據(jù)為兩位數(shù)時,將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”,個位數(shù)字作為“葉”；當所給的數(shù)據(jù)為三位數(shù)時,可將百位和十位作為莖,而個位作為葉.莖相同的數(shù)據(jù)共用一個莖,莖按從小到大的順序從上到下排列,共用莖的葉一般要按從大到小(也可以從小到大)的順序同行排出.制作莖葉圖時,一般用一個豎線將莖葉隔開.由莖葉圖我們可以粗略地看出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的范圍.莖葉圖不但可以分析單組數(shù)據(jù),也可以對兩組數(shù)據(jù)進行對比.當列兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖時,它們可以共同用一個莖. 莖葉圖的優(yōu)點和缺點： 莖葉圖的優(yōu)點是:所有信息都可以從莖葉圖中得到體現(xiàn),而且莖葉圖便于記錄和表示；它既可以分析單組數(shù)據(jù),也可以對兩組數(shù)據(jù)進行比較. 莖葉圖的缺點是:莖葉圖不方便表示位數(shù)在三位以上的數(shù)據(jù). 案例3 某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽的得分情況如下： 甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50. 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51. （1）畫出甲、乙兩名運動員得分數(shù)據(jù)的莖葉圖； （2）根據(jù)莖葉圖分析甲、乙兩運動員的水平. 【探究】當所給數(shù)據(jù)為兩位數(shù)時，將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”.當列兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖時，它們可以共同用一個莖. 【解析】按照作莖葉圖的方法首先畫出莖葉圖，然后分析. （1）作出莖葉圖如下圖所示： （2）由上面的莖葉圖可以看出，甲運動員的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是36；乙運動員的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是26.因此甲運動員的發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙運動員好. 規(guī)律總結(jié) 在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以保留所有信息，而且還可以隨時記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便. 畫莖葉圖的步驟如下： （1）將每個數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分，此例中莖為十位上的數(shù)字，葉為個位上的數(shù)字. （2）將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左（右）側(cè). （3）將各數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右（左）側(cè). （4）當數(shù)據(jù)是由整數(shù)部分和小數(shù)部分組成時，可以把整數(shù)部分作為莖，小數(shù)部分作為葉. （5）比較時從數(shù)據(jù)分布的對稱性、中位數(shù)、穩(wěn)定性等幾個方面來比較. 活學(xué)巧用 1.在用樣本頻率估計總體分布的過程中,下列說法中正確的是（ ） A.總體容量越大,估計越精確 B.總體容量越小,估計越精確 C.樣本容量越大,估計越精確 D.樣本容量越小,估計越精確 解析：總體分布是指總體取值的分布規(guī)律,這種分布我們一般是不知道的.用樣本去估計總體,是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想,對于不易知道的總體分布,常常用樣本的頻率分布對它進行估計.樣本的容量越大,這種估計就越精確.用樣本估計的思想就是用部分考察全體、用離散考察連續(xù)、用有限考察無限的思想,是用觀察測量值來探究客觀規(guī)律的一種重要的基本思想. 答案：C 2.一個容量為80的樣本最大值是140,最小值是51,組距是10,則可以分成（ ） A.10組 B.9組 C.8組 D.7組 解析：極差=140-51=89, ∵==8.9不為整數(shù). ∴組數(shù)應(yīng)為9. 答案：B 3.已知樣本：10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,12,9,11,11,9,10,11,12.那么頻率為0.2的范圍是（ ） A.5.5—7.5 B.7.5—9.5 C.9.5—11.5 D.11.5—13.5 解析：只要列出頻率分布表,就可找到答案,頻率分布表如下： 分 組 頻率累計 頻 數(shù) 頻 率 5.5—7.5 2 0.1 7.5—9.5 6 0.3 9.5—11.5 8 0.4 11.5—13.5 4 0.2 合計 0 從表中可以知道頻率為0.2的范圍是11.5—13.5. 答案：D 4.在頻率分布直方圖中,各個矩形的面積表示（ ） A.落在相應(yīng)各組的數(shù)據(jù)的頻數(shù) B.相應(yīng)各組的頻率 C.該樣本所分成的組數(shù) D.該樣本的樣本容量 解析：在頻率分布直方圖中,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示. 答案：B 5.觀察新生嬰兒的體重,其頻率分布直方圖如下圖所示,則新生嬰兒的體重在［2 700,3 000］的頻率為（ ） A.0.001 B.0.01 C.0.003 D.0.3 解析：本題考查總體分布的頻率分布直方圖.由圖可知：頻率=組距,易知：=0.001,組距=3 000-2 700=300,∴頻率=0.001300=0.3. 答案：D 6.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機調(diào)查了50名學(xué)生,得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù),結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時間為（ ） A.0.6小時 B.0.9小時 C.1.0小時 D.1.5小時 解析：=0.9. 答案：B 7.對50臺某種電子設(shè)備的壽命逐臺進行測試,得到下列數(shù)據(jù)（單位：小時） 910,1 220,1 280,20,2 330,900,860,1 450, 1 220,550,160,2 020,1 590,1 730,490,1 620, 560,530,500,240,1 280,60,190,290,740,1 160,220,910, 40,1 410,3 650,3 410,70,510,1 270,610,310,220,370,60,1 750,890,790,1 280,570,760,50,1 530,1 860,1 280. (1)列出樣本的頻率分布表； （2）畫出頻率分布直方圖； （3）根據(jù)所得結(jié)果估計,壽命小于2 500小時的百分比約是多少？ 解析：（1）頻率分布表如下： 組號 范圍 頻數(shù) 頻率 1 ［0,500］ 16 0.32 2 ［500,1 000］ 14 0.28 3 ［1 000,1 500］ 10 0.20 4 ［1 500,2 000］ 6 0.12 5 ［2 000,2 500］ 2 0.04 6 ［2 500,3 000］ 0 0.00 7 ［3 000,3 500］ 1 0.02 8 ［3 500,4 000］ 1 0.02 合計 50 1.00 （2）頻率分布直方圖如下圖所示. （3）觀察上圖表知,小于2 500小時的約占96%. 8.在案例2中,怎樣畫出頻率分布折線圖呢？ 解析：把頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點用線段連接起來,就得到頻率分布折線圖如下. 9.對于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系,下列說法中正確的是（ ） A.頻率分布折線圖與總體密度曲線無關(guān) B.頻率分布折線圖就是總體密度曲線 C.樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線 D.如果樣本容量無限增大,分組的組距無限減小,那么頻率分布折線圖就會無限接近于總體密度曲線 解析：因為如果樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布折線圖就會無限地接近于一條光滑曲線,這條曲線就是總體密度曲線. 答案：D 點評：頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布. （1）頻率分布直方圖中縱軸表示,頻率=. （2）頻率分布表中各組中的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組中頻率之和等于1. （3）頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種不同形式,前者準確,后者直觀. （4）頻率分布折線圖依賴于頻率分布直方圖. （5）總體密度曲線是總體中個體數(shù)較多,樣本容量很大,樣本分組數(shù)很多,這時頻率分布折線圖接近于一條光滑曲線. 10.某公司職工的月工資表如下： 職務(wù) 董事長 副董事長 董事 總經(jīng)理 經(jīng)理 管理員 職工 人數(shù) 1 1 2 1 5 3 20 工資 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 （1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)； （2）假設(shè)副董事長的工資從5 000元提升到20 000元,董事長的工資從5 500元提升到30 000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（精確到元） （3）你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司職工的工資水平？結(jié)合此問題談一談人的看法. 解析：（1）平均數(shù)是2 090元,中位數(shù)是1 500元,眾數(shù)是1 500元. （2）平均數(shù)是3 288元,中位數(shù)是1 500元,眾數(shù)是1 500元. （3）在這個問題中,中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平.因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個公司職工的工資水平. 11.甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測試成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑? 甲組 76 90 84 86 81 87 86 82 85 83 乙組 82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 用莖葉圖表示兩小組的成績,并判斷哪個小組的成績更整齊一些. 解：莖葉圖表示如下： 容易看出甲組成績較集中,即甲組成績更整齊一些. 點評：用莖葉圖分析數(shù)據(jù)直觀、清晰,所有信息都可以從這個莖葉圖中得到.