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2019-2020年高二數(shù)學上 7.5 曲線的方程（二）優(yōu)秀教案 教學目的： 1．了解什么叫軌跡，并能根據(jù)所給的條件，選擇恰當?shù)闹苯亲鴺讼登笄€的軌跡方程，畫出方程所表示的曲線 2．在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，以及坐標法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學方法 3．培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質(zhì)，以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神 教學重點：求曲線方程的方法、步驟． 教學難點：定義中規(guī)定兩個關(guān)系（純粹性和完備性） 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教法分析： 第一課時概念強、思維量大、例題習題不多使用啟發(fā)方法符合學生的認知規(guī)律 第二、第三課時規(guī)律性強，題目多，可結(jié)合實際靈活采用教學方法．在探索一般性解題方法時，可采用發(fā)現(xiàn)法教學，在方法的應用及拓廣時，可采用歸納法；在訓練與反饋部分，則主要采用講練結(jié)合法進行 教學過程： 一、復習引入： 1．“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義： 在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性） (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．（完備性） 那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線 2．定義的理解：在領(lǐng)會定義時，要牢記關(guān)系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件．兩者滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性．只有符合關(guān)系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來研究，即幾何問題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法 二、講解新課： 1. 坐標法 在笛卡爾以前，人們對代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究，但是對于二元方程的研究較少，因為大家認識到二元方程的解都是不確定的 對于這種“不定方程”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認為研究它是沒有意義的，是不必要的。笛卡爾卻對對這個“沒有意義的課題”賦予了新的生命，他沒有把看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把看成是變量(從此，變量引入了數(shù)學)，讓連續(xù)地變，則對每一個確定的的值，一般來說都可以從方程算出相應的值(這就是函數(shù)思想的萌芽) 然后，他把這些點的集合便構(gòu)成了一條曲線C 由這樣得出的曲線C和方程有非常密切的關(guān)系：曲線上每一個點的一對坐標都是方程的一個實數(shù)解；反之，方程的每一個實數(shù)解對應的點都在曲線上 這就是說，曲線上的點集和方程的實數(shù)解集具有一一對應的關(guān)系 這個“一一對應”的關(guān)系導致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對曲線的研究 這種通過研究方程的性質(zhì)，間接地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標法（就是借助于坐標系研究幾何圖形的方法） 根據(jù)幾何圖形的特點，可以建立不同的坐標系 最常用的坐標系是直角坐標系和極坐標。在目前的中學階段只采用了直角坐標系 2．解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題 在數(shù)學中，用坐標法研究幾何圖形的知識形成的一門學科，叫解析幾何 它是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學學科，產(chǎn)生于十七世紀初期，法國數(shù)學家笛卡爾是解析幾何的奠基人 另一位法國數(shù)學家費馬也是解析幾何學的創(chuàng)立者 他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學史上具有劃時代的意義：一是在數(shù)學中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學開端的標志，為數(shù)學的應用開辟了廣闊的領(lǐng)域 3．平面解析幾何研究的主要問題 根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質(zhì) 本節(jié)主要通過例題的形式學習第一個問題，即如何求曲線的方程 小結(jié)時總結(jié)出求簡單的曲線方程的一般步驟 4．求簡單的曲線方程的一般步驟： （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點M的坐標； （2）寫出適合條件P的點M的集合； （3）用坐標表示條件P（M），列出方程; （4）化方程為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點 三、講解范例：選題意圖：考查求軌跡方程的基本方法 例１、設(shè)Ａ、Ｂ兩點的坐標是 (-1, -1)、(3,7),求線　 段ＡＢ的垂直平分線方程 . M A B 解：設(shè)M（x,y）是 線段AB的垂直平分線上任意一點，也就是點M屬于集合P={M||MA|=|MB|}由兩點間距離公式，點M所適合的條件 可表示為： 將上式兩邊平方，整理得 x+2y-7=0 （1） 證明：方程（1）是線段AB的垂直平分線的方程 1、由求解過程知，垂直平分線上點的坐標都是方程的解. 2、設(shè)(x1,y1)是方程（1）的解， x1+2y1-7=0 ，x1=7-2y1 點M到A、B的距離分別是|MA|= ，|MB|= ∴|MA|=|MB|，即M在線段AB的垂直平分線上 由(1)(2)知方程（1）是線段AB的垂直平分線的方程 例2 點M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點M的軌跡方程. 解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標軸，建立直角坐標系，如圖所示，設(shè)點M的坐標為，點M的軌跡就是到坐標軸的距離相等的點的集合 P=｛Ｍ｜｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜｝， 其中Q、R分別是點M到x軸、y軸的垂線的垂足 因為點M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標和橫坐標的絕對值，所以條件｜ＭＲ｜＝｜ＭＱ｜可寫成｜｜＝｜｜即=0 ① 下面證明①是所求軌跡的方程 (1)由求方程的過程可知，曲線上的點的坐標都是方程①的解； (2) 設(shè)點的坐標是方程①的解，那么＝０，即 ｜｜＝｜｜，而｜｜、｜｜正是點到縱軸、橫軸的距離，因此點到這兩條直線的距離相等，點是曲線上的點 由(1)(2)可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如圖所示. 點評：建立適當?shù)淖鴺讼的苁骨筌壽E方程的過程較簡單.所求方程的形式較“整齊” 例3 設(shè)A、B兩點的坐標是(1，0)、(-1,0),若，求動點M的軌跡方程 解：設(shè)M的坐標為，M屬于集合P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，點M所適合的條件可表示為 ， 整理后得 (≠1) 下面證明 (x≠1)是點M的軌跡方程 (1)由求方程的過程可知，M的坐標都是方程 (x≠1)的解； (2)設(shè)點的坐標是方程 (x≠1)的解， 即， ∴ 由上述證明可知，方程 (x≠1)是點M的軌跡方程 說明：所求的方程后面應加上條件ｘ≠１ 例4 已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一個點到A（0，2）的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程 分析：這條曲線是到A點的距離與其到軸的距離的差是2的點的集合或軌跡的一部分 解：設(shè)點是曲線上任意一點，MB⊥軸，垂足是B，那么點M屬于集合P={M｜｜MA｜-｜MB｜=2} 即 =2 整理得 , ∴ 因為曲線在軸的上方，所以y＞0，雖然原點O的坐標（0，0）是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應是： (≠0) 它的圖形是關(guān)于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點 例5 在△ABC中，已知頂點A(1，1)，B(3，6)且△ABC的面積等于3，求頂點的軌跡方程 解：設(shè)頂點的坐標為,作H⊥AB于H，則動點C屬于集合P=｛｜｝， ∵ ∴直線AB的方程是,即. ∴｜ＣＨ｜＝ 化簡，得｜-3｜=6,即-9=0或+3=0,這就是所求頂點的軌跡方程. 點評：頂點的軌跡方程，就是定直線AB的距離等于的動點的軌跡方程 例6 已知△ABC，，第三個頂點在曲線上移動，求△ABC的重心的軌跡方程 解：設(shè)△ABC的重心為，頂點的坐標為，由重心坐標公式得 代入得3 ，即為所求軌跡方程 說明：在這個問題中，動點與點之間有關(guān)系，寫出與之間的坐標關(guān)系，并用的坐標表示的坐標，而后代入的坐標所滿足的關(guān)系式化簡整理即得所求,這種方法叫相關(guān)點法 四、課堂練習： 1．求點P到點F（4，0）的距離比它到直線+5=0的距離小1的點的軌跡方程 解：設(shè)P為所求軌跡上任意一點， ∵點P到F的距離比它到直線+5=0的距離小1. 故點P到F（4，0）的距離與點P到直線+4=0的距離｜PD｜相等 ∴｜PF｜=｜PD｜ ∴=｜-(-4)｜ ∴ 2.過點P(2,4)作互相垂直的直線,，若交軸于A，交軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程 解法一：設(shè)M為所求軌跡上任一點， ∵M為AB中點，∴A（2,0),B(0,2), ∵⊥且,過點P（2，4），∴PA⊥PB ∴ ∵=(x≠1),= ∴ =-1 即 +2-5=0(≠1) 當=1時，A（2，0）、B（0，4）,此時AB中點M的坐標為（1，2），它也滿足方程+2-5=0. ∴所求點M的軌跡方程為+2-5=0 解法二：連結(jié)PM. 設(shè)M,則A（2,0),B(0,2) ∵⊥,∴△PAB為直角三角形 ∴｜PM｜=｜AB｜ 即 化簡：+2-5=0 ∴所求點M的軌跡方程為+2-5=0 五、小結(jié) ：求簡單的曲線方程的一般步驟 六、課后作業(yè)： 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：