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2019-2020年高中數學《向量的線性運算》教案9蘇教版必修4 教學目標： 掌握向量加法概念，結合物理學實際理解向量加法的意義，能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能作出已知兩向量的和向量，理解向量加法滿足交換律和結合律，表述兩個運算律的幾何意義，掌握有特殊位置關系的兩個向量的和，比如共線向量、共起點向量、共終點向量等. 教學重點： 向量加法的平行四邊形法則與三角形法則. 教學難點： 對向量加法定義的理解. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 上一節(jié)，我們一起學習了向量的有關概念，明確了向量的表示方法，了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，并接觸了這些概念的辨析判斷. 另外，向量和我們熟悉的數一樣可以進行加減運算，這一節(jié)，我們先學習向量的加法. Ⅱ.講授新課 我們先給出向量加法的定義 1.向量加法的定義 已知a，b，在平面內任取一點A，作＝a，＝b， 則向量叫做a與b的和，記作a＋b. 即a＋b＝＋＝. 求兩個向量和的運算叫向量的加法. 2.向量加法的三角形法則 在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則，運用這一法則時要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量. 3.向量加法的平行四邊形法則 如圖，由于平行四邊形對邊平行且相等，則可把向量b的起點由B移到A，即＝ ＝b，則： ＝＋＝＋ 即：在平面內過同一點A作＝a，＝b，則以AB、AD為鄰邊 構造平行四邊形ABCD，則以A為起點的對角線向量即a與b的和，這種方法即為向量加法的平行四邊形法則. 說明：上述兩種方法實質相同，但應用各有特色，三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點的兩向量求和，但兩共線向量求和時，則三角形法則較為合適. 4.向量加法所滿足的運算律 交換律：a＋b＝b＋a 結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 說明：運算律驗證引導學生完成. 下面我們通過例題來進一步熟悉向量加法的三角形法則與平行四邊形法則. ［例1］如圖，已知向量a，b，求作向量a＋b. 分析：此題可以應用三角形法則也可應用平行四邊形法則 求解，但應注意兩種法則的適用前提不同，若用三角形法則， 則應平移為兩向量首尾相接；若用平行四邊形法則，則應平移 為兩向量同起點情形. 作法一：設a＝，b＝，過點B作＝＝b， 則根據向量加法的三角形法則可得 ＝＋＝a＋b 作法二：過A作＝＝b，然后根據向量加法的 平行四邊形法則，以AB、AC作出的平行四邊形的對角 線＝a＋b. 評述：在求作兩已知向量的和向量時，對于向量加法 的三角形法則和平行四邊形法則，學生可根據具體情況靈 活運用. ［例2］一艘船從A點出發(fā)以2 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2 km/h，求船實際航行速度的大小與方向(用與流速間的夾角表示). 分析：速度是一個既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法. 解：如圖，設表示船向垂直于對岸行駛的速度，表示水流 的速度，以AD、AB作鄰邊作ABCD，則就是船實際航行的速度. 在Rt△ABC中，｜｜＝2，｜｜＝2， ∴｜｜＝ ＝＝4 ∵tanCAB＝＝，∴∠CAB＝60 答：船實際航行速度的大小為4 km/h，方向與流速間的夾角為60. 評述：此題說明在物理學中有關速度合成等問題可以運用向量的知識來解決. ［例3］試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 分析：要證明四邊形是平行四邊形，只要證明其中一組對邊平行且相等，由向量相等的定義可知，只需證明其中一組對邊對應的向量相等. 解析：已知ABCD是四邊形，對角線AC與BD交于O，AO=OC，DO=OB. 求證：ABCD是平行四邊形. 證明：如圖，由向量的加法法則， 有＝＋，＝＋. 又已知＝，＝. ∴＝. 這說明AB與DC平行且相等. 故ABCD是平行四邊形. Ⅲ.課堂練習 課本P63練習1，2，3，4. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，要求大家在理解向量加法定義的基礎上，掌握向量加法的三角形法則與平行四邊形法則，并了解向量加法在物理學中的應用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P68習題 1，2，3 向量的減法 教學目標： 掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行，掌握相反向量，能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量，了解向量方程，并會用幾何法解向量方程. 教學重點： 向量減法的三角形法則. 教學難點： 對向量減法定義的理解. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 上一節(jié)，我們一起學習了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四邊形法則與三角形法則，并進行了簡單應用. 這一節(jié)，我們來繼續(xù)學習向量的減法. Ⅱ.講授新課 1.向量減法的定義 向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b). 求兩個向量差的運算，叫向量的減法. 說明：(1)與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量； (2)零向量的相反向量仍是零向量； (3)任一向量和它相反向量的和是零向量. ［師］從向量減法的定義中，我們可以體會到向量減法與向量加法的內在聯系. 2.向量減法的三角形法則 以平面內的一點作為起點作a，b，則兩向量終點的連線段，并指向a終點的向量表示a－b. 說明：向量減法可以轉化為向量加法，如圖b與a－b首尾 相接，根據向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a 即a－b＝. 下面我們通過例題來熟悉向量減法的三角形法則的應用. ［例1］如圖，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d. 分析：根據向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個 同起點的向量. 作法：如圖，在平面內任取一點O，作＝a，＝b， ＝c，＝d. 作，，則＝a－b，＝c－d ［例2］判斷題 (1)若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b的方向必與a、b之一的方向相同. (2)三角形ABC中，必有＋＋＝0. (3)若＋＋＝0，則A、B、C三點是一個三角形的三頂點. (4)｜a＋b｜≥｜a－b｜. 分析：(1)a與b方向相同，則a＋b的方向與a和b方向都相同；若a與b方向相反，則有可能a與b互為相反向量，此時a＋b＝0的方向不確定，說與a、b之一方向相同不妥. (2)由向量加法法則＋＝，與是互為相反向量，所以有上述結論. (3)因為當A、B、C三點共線時也有＋＋＝0，而此時構不成三角形. (4)當a與b不共線時，｜a＋b｜與｜a－b｜分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，其大小不定. 當a、b為非零向量共線時，同向則有｜a＋b｜＞｜a－b｜，異向則有｜a＋b｜＜｜a－b｜； 當a、b中有零向量時，｜a＋b｜＝｜a－b｜. 綜上所述，只有(2)正確. ［例3］化簡－＋－. 解：原式＝＋－＝－＝0 ［例4］化簡＋＋＋. 解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝ Ⅲ.課堂練習 課本P65練習1，2，3，4，5，6. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，要求大家在理解向量減法定義的基礎上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當的應用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P68習題 4，8，11 向量、向量的加減法 1．下列關于零向量的說法中，錯誤的是 （ ） A.零向量長度為0 B.零向量是沒有方向的 C.零向量的方向是任意的 D.零向量與任一向量平行 2．下列命題中，正確的是 （ ） A.若|a|＝|b|，則a＝b B.若|a|＞|b|，則a＞b C.若a＝b，則a∥b D.若|a|＝1，則a＝1 3．當|a|＝|b|，且a與b不共線時，a＋b與a－b的關系為 （ ） A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 4．如右圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，則與向量 相等的向量有 . 5．已知||＝10，||＝7，|則||的取值范圍為 . 6．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60. 則|a＋b|＝ ，|a－b|＝ . 7．化簡＋＋－－＝ . 8．判斷以下說法是否正確. （1）向量a與b共線，b與c共線，則a與c共線. （ ） （2）任意兩個非零的相等向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點. （ ） （3）向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上. （ ） （4）向量a與b平行，則a與b的方向相同. （ ） （5）長度相等且起點相同的兩個向量，其終點必相同. （ ） 9．已知兩個力F1、F2的方向互相垂直，且它們的合力F大小為10 N，與力F1的夾角為60，求力F1與F2的大小. 10．一架飛機從A地按北偏西30方向飛行300 km，到達B地，然后向C地飛行，設C地恰在A北偏東60，且距A 100 km處，求飛機從B地向C地飛行的方向和B、C兩地的距離. 向量、向量的加減法答案 1．B 2．C 3．B 4．，， 5．［3，17］ 6．4 4 7． 8．（1）錯誤 （2）錯誤 （3）錯誤 （4）錯誤 （5）錯誤 9．F1，F2分別為5 N和5 N 10．解：∵BC＝＝200，sinB＝＝∴B＝30，∴飛機從B以南偏東60的方向向C地飛行.