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2019-2020年高中數(shù)學《指數(shù)與指數(shù)冪的運算》教案14（第三課時） 蘇教版必修1 導入新課 思路1. 同學們,既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù),又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù),這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù),那么它是否也和數(shù)的推廣一樣,到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴充過程,自然數(shù)到整數(shù),整數(shù)到分數(shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實數(shù).并且知道,在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中,增添的數(shù)是——實數(shù).對無理數(shù)指數(shù)冪,也是這樣擴充而來.既然如此,我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是:教師板書本堂課的課題(指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3))之無理數(shù)指數(shù)冪. 思路2. 同學們,在初中我們學習了函數(shù)的知識,對函數(shù)有了一個初步的了解,到了高中,我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學習,有了更深的理解,我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等,這些遠遠不能滿足我們的需要,隨著科學的發(fā)展,社會的進步,我們還要學習許多函數(shù),其中就有指數(shù)函數(shù),為了學習指數(shù)函數(shù)的知識,我們必須學習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),為此,我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪,因此我們本節(jié)課學習:指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪,教師板書本堂課的課題. 推進新課 新知探究 提出問題 ①我們知道=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是的什么近似值？ ②多媒體顯示以下圖表:同學們從上面的兩個表中,能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律? 的過剩近似值5 5的近似值 1.5 11.18033989 1.42 9.82935328 1.415 9.750851808 1.4143 9.73987262 1.41422 9.738618643 1.414214 9.738524602 1.4142136 9.738518332 1.41421357 9.738517862 1.414213563 9.73817752 5的近似值 的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 213 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 ③你能給上述思想起個名字嗎? ④一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢?如5,根據(jù)你學過的知識,能作出判斷并合理地解釋嗎? ⑤借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎? 活動：教師引導,學生回憶,教師提問,學生回答,積極交流,及時評價學生,學生有困惑時加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容: 問題①從近似值的分類來考慮,一方面從大于的方向,另一方面從小于的方向. 問題②對圖表的觀察一方面從上往下看,再一方面從左向右看,注意其關聯(lián). 問題③上述方法實際上是無限接近,最后是逼近. 問題④對問題給予大膽猜測,從數(shù)軸的觀點加以解釋. 問題⑤在③④的基礎上,推廣到一般的情形,即由特殊到一般. 討論結(jié)果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…這些數(shù)都小于,稱的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,這些數(shù)都大于,稱的過剩近似值. ②第一個表:從大于的方向逼近時,5就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5. 第二個表:從小于2的方向逼近時,5就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向逼近5. 從另一角度來看這個問題,在數(shù)軸上近似地表示這些點,數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以說從兩個方向無限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果,事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示5的點靠近,但這個點一定在數(shù)軸上,由此我們可得到的結(jié)論是5一定是一個實數(shù),即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5. 充分表明5是一個實數(shù). ③逼近思想,事實上里面含有極限的思想,這是以后要學的知識. ④根據(jù)②③我們可以推斷5是一個實數(shù),猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù). ⑤無理數(shù)指數(shù)冪的意義: 一般地,無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0,α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù). 也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù),并且它的結(jié)果是一個實數(shù),這樣指數(shù)概念又一次得到推廣,在數(shù)的擴充過程中,我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義,知道它是一個確定的實數(shù),結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪,那么,指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪. 提出問題 （1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時,必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)? （2）無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢? （3）你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎? 活動：教師組織學生互助合作,交流探討,引導他們用反例說明問題,注意類比,歸納. 對問題（1）回顧我們學習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定,舉例說明. 對問題（2）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則,既然無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0,α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù),那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似,并且相通. 對問題（3）有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則,實數(shù)的運算法則自然就得到了. 討論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1還是-1就無法確定了,這樣就造成混亂,規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù),就不會再造成混亂. （2）因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù),所以能進行指數(shù)的運算,也能進行冪的運算,有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪.類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則: ①aras=ar+s(a>0,r,s都是無理數(shù)). ②(ar)s=ars(a>0,r,s都是無理數(shù)). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r是無理數(shù)). （3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后,指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪. 實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì): 對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì): ①aras=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 應用示例 思路1 例1利用函數(shù)計算器計算.（精確到0.001） （1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）. 活動：教師教會學生利用函數(shù)計算器計算,熟悉計算器的各鍵的功能,正確輸入各類數(shù),算出數(shù)值,對于（1）,可先按底數(shù)0.3,再按鍵,再按冪指數(shù)2.1,最后按,即可求得它的值； 對于（2）,先按底數(shù)3.14,再按鍵,再按負號鍵,再按3,最后按即可; 對于(3),先按底數(shù)3.1,再按鍵,再按34,最后按即可; 對于（4）,這種無理指數(shù)冪,可先按底數(shù)3,其次按鍵,再按鍵,再按3,最后按鍵.有時也可按或鍵,使用鍵上面的功能去運算. 學生可以相互交流,挖掘計算器的用途. 答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.1≈2.336;（4）≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟,感受現(xiàn)代技術的威力,逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值,若保留小數(shù)點后n位,只需看第（n+1）位能否進位即可. 例2求值或化簡. (1)(a>0,b>0); (2)()(a>0,b>0); (3). 活動：學生觀察,思考,所謂化簡,即若能化為常數(shù)則化為常數(shù),若不能化為常數(shù)則應使所化式子達到最簡,對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子,應該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,便于運算,教師有針對性地提示引導,對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪,要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì),對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式,應當統(tǒng)一起來,化為分數(shù)指數(shù)冪,對(3)有多重根號的式子,應先去根號,這里是二次根式,被開方數(shù)應湊完全平方,這樣,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并對學生作及時的評價,注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律. 解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=. 點評：根式的運算常常化成冪的運算進行,計算結(jié)果如沒有特殊要求,就用根式的形式來表示. (2)()=aabb=a0b0=. 點評：化簡這類式子一般有兩種辦法,一是首先用負指數(shù)冪的定義把負指數(shù)化成正指數(shù),另一個方法是采用分式的基本性質(zhì)把負指數(shù)化成正指數(shù). (3) = =-+2--2+ =0. 點評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù),千萬注意方根的性質(zhì)的運用. 例3已知x=(5-5),n∈N*,求(x+)n的值. 活動：學生思考,觀察題目的特點,從整體上看,應先化簡,然后再求值,要有預見性,5與5具有對稱性,它們的積是常數(shù)1,為我們解題提供了思路,教師引導學生考慮問題的思路,必要時給予提示. x2=(5-5)2=(5-250+5) =(5+2+5-4) =(5+5)2-1. 這時應看到 1+x2=1+(-5)2=(5+5)2, 這樣先算出1+x2,再算出,帶入即可. 解：將x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n, 所以(x+)n=［(5-5)+］n =［(5-5)+(5+5)］n=(5)n=5. 點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵,要深刻理解這種做法. 思路2 例1計算:(1); (2)125+()-2+343-(); (3)(-2xy)(3xy)； (4)(x-y)(x-y). 活動：學生觀察、思考,根式化成分數(shù)指數(shù),利用冪的運算性質(zhì)解題,另外要注意整體的意識,教師有針對性的提示引導,對(1)根式的運算常常化成冪的運算進行,對(2)充分利用指數(shù)冪的運算法則來進行,對(3)則要根據(jù)單項式乘法和冪的運算法則進行,對(4)要利用平方差公式先因式分解,并對學生作及時的評價. 解：(1) =()+()+(0.062 5)+1- =()2+()+(0.5)+ =++0.5+ =5; (2)125+()-2+343-() =(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3) =5+2-2(-1)+7-3 =25+4+7-3=33; (3)(-2xy)(3xy)=(-23)(xxyy) ==-6xy =; (4)(x-y)(x-y)=((x)2-(y)2)(x-y) =(x+y)(x-y)(x-y) =x+y. 點評：在指數(shù)運算中,一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式. 例2化簡下列各式: (1); (2)(a3+a-3)(a3-a-3)［(a4+a-4+1)(a-a-1)］. 活動：學生觀察式子的特點,特別是指數(shù)的特點,教師引導學生考慮題目的思路,這兩題要注意分解因式,特別是立方和和立方差公式的應用,對有困難的學生及時提示:對(1)考查x2與x的關系可知x2=(x)3,立方關系就出來了,公式便可運用,對(2)先利用平方差,再利用冪的乘方轉(zhuǎn)化為立方差,再分解因式,組織學生討論交流. 解：(1)原式= = ==; (2)原式=［(a3)2-(a-3)2］［(a4+a-4+1)(a-a-1)］ ====a+a-1. 點評：注意立方和立方差公式在分數(shù)指數(shù)冪當中的應用,因為二項和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而對立方和立方差公式卻一般不易觀察到,a=(a)3還容易看出,對其中夾雜的數(shù)字m可以化為maa=m,需認真對待,要在做題中不斷地提高靈活運用這些公式的能力. 知能訓練 課本P59習題2.1A組 3. 利用投影儀投射下列補充練習: 1.化簡:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的結(jié)果是( ) A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2) 分析:根據(jù)本題的特點,注意到它的整體性,特別是指數(shù)的規(guī)律性,我們可以進行適當?shù)淖冃? 因為(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2), 依次類推,所以==(1-2)-1. 答案：A 2.計算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.52-4. 解：原式=()+100+()-3+49=+100+-3++=100. 3.計算(a≥1). 解：原式=(a≥1). 本題可以繼續(xù)向下做,去掉絕對值,作為思考留作課下練習. 4.設a>0,x=(a-a),則(x+)n的值為_______. 分析:從整體上看,應先化簡,然后再求值,這時應看到 解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2. 這樣先算出1+x2,再算出, 將x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2. 所以(x+)n=［(a-a)+(a+a)2］n =［(a-a)+(a+a)］n=a. 答案：a 拓展提升 參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程,請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義. 活動：教師引導學生回顧無理數(shù)指數(shù)冪5的意義的過程,利用計算器計算出3的近似值,取它的過剩近似值和不足近似值,根據(jù)這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意義,學生合作交流,在投影儀上展示自己的探究結(jié)果. 解：3=1.73205080…,取它的過剩近似值和不足近似值如下表. 的過剩近似值 的過剩近似值 的不足近似值 的不足近似值 1.8 3.482202253 1.7 3.249009585 1.74 3.340351678 1.73 3.317278183 1.733 3.324183446 1.731 3.319578342 1.7321 3.32211036 1.7319 3.321649849 1.73206 3.32xx252 1.73204 3.3219722 1.73xx 3.321997529 1.732049 3.321992923 1.7320509 3.321997298 1.7320507 3.321996838 1.73205081 3.321997019 1.73205079 3.321997045 我們把用2作底數(shù),的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的一列數(shù) 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同樣把用2作底數(shù), 的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù): 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不難看出的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多,即3的近似值精確度越高,以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α會越來越趨近于同一個數(shù),我們把這個數(shù)記為. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8. 也就是說是一個實數(shù),=3.321 997 …也可以這樣解釋: 當3的過剩近似值從大于的方向逼近時,的近似值從大于的方向逼近； 當3的不足近似值從小于的方向逼近時,的近似值從小于的方向逼近. 所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述規(guī)律變化的結(jié)果,即≈3.321 997. 課堂小結(jié) (1)無理指數(shù)冪的意義. 一般地,無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0,α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù). (2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì): 對任意的實數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì): ①aras=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). (3)逼近的思想,體會無限接近的含義. 作業(yè) 課本P60習題2.1 B組 2. 設計感想 無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充,教學中要讓學生通過多媒體的演示,理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義,教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索,自己得出結(jié)論,加深對概念的理解,本堂課內(nèi)容較為抽象,又不能進行推理,只能通過多媒體的教學手段,讓學生體會,特別是逼近的思想、類比的思想,多作練習,提高學生理解問題、分析問題的能力.