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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》教案22 新人教A版必修1
導(dǎo)入新課
思路1.我們在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),利用了指數(shù)函數(shù)的圖象的特點(diǎn),并且是用類比和歸納的方法得出,在上節(jié)課的探究中我們知道,函數(shù)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1的圖象之間的關(guān)系,由其中的一個(gè)可得到另外兩個(gè)的圖象,那么,對(duì)y=ax與y=ax+m(a>0,m∈R)有著怎樣的關(guān)系呢?在理論上,含有指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是否具有奇偶性呢?這是我們本堂課研究的內(nèi)容.教師點(diǎn)出課題:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3）.
思路2.我們在第一章中,已學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì),特別是單調(diào)性和奇偶性是某些函數(shù)的重要特點(diǎn),我們剛剛學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù),嚴(yán)格地證明了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,便于我們在解題時(shí)應(yīng)用這些性質(zhì),在實(shí)際生活中,往往遇到的不單單是指數(shù)函數(shù),還有其他形式的函數(shù),有的是指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),我們需要研究它的單調(diào)性和奇偶性,這是我們面臨的問題也是我們本堂課要解決的問題——指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（3）.
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
(1)指數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)?
(2)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟有哪些?
(3)對(duì)復(fù)合函數(shù),如何證明函數(shù)的單調(diào)性?
(4)如何判斷函數(shù)的奇偶性,有哪些方法?
活動(dòng)：教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問,學(xué)生回答,積極交流,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生,學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容.
討論結(jié)果：(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a＞1及0＜a＜1這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：
a>1
0
0時(shí),y>1;x<0時(shí),00時(shí),01
（5）在R上是增函數(shù)
（5）在R上是減函數(shù)
(2)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：
①取值.即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值且x1＜x2.
②作差變形.即求f（x2）－f（x1）,通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形.
③定號(hào).根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號(hào)確定f（x2）－f（x1）的符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí),可以進(jìn)行分類討論.
④判斷.根據(jù)單調(diào)性定義作出結(jié)論.
(3)對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))可以總結(jié)為:
當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相同時(shí),復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))是增函數(shù);
當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性相異即不同時(shí),復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))是減函數(shù);
又簡稱為口訣“同增異減”.
(4)判斷函數(shù)的奇偶性:
一是利用定義法,即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再次是考察式子f(x)與f(-x)的關(guān)系,最后確定函數(shù)的奇偶性;
二是作出函數(shù)圖象或從已知圖象觀察,若圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱,則函數(shù)具有奇偶性.
應(yīng)用示例
思路1
例1在同一坐標(biāo)系下作出下列函數(shù)的圖象,并指出它們與指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象的關(guān)系.
(1)y=2x+1與y=2x+2;(2)y=2x-1與y=2x-2.
活動(dòng)：教師適當(dāng)時(shí)候點(diǎn)撥,學(xué)生回想作圖的方法和步驟,特別是指數(shù)函數(shù)圖象的作法,學(xué)生回答并到黑板上作圖,教師指點(diǎn)學(xué)生,列出對(duì)應(yīng)值表,抓住關(guān)鍵點(diǎn),特別是(0,1)點(diǎn),或用計(jì)算機(jī)作圖.
解：(1)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如圖2-1-2-12.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2x+1
0.25
0.5
1
2
4
8
16
2x+2
0.5
1
2
4
8
16
32
圖2-1-2-12
比較可知函數(shù)y=2x+1、y=2x+2與y=2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長度,就得到函數(shù)y=2x+1的圖象;將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向左平行移動(dòng)2個(gè)單位長度,就得到函數(shù)y=2x+2的圖象.
(2)列出函數(shù)數(shù)據(jù)表作出圖象如圖2-1-2-13
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2x-1
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4
2x-2
0.3125
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
圖2-1-2-13
比較可知函數(shù)y=2x-1、y=2x-2與y=2x的圖象的關(guān)系為：將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長度,就得到函數(shù)y=2x-1的圖象;將指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象向右平行移動(dòng)2個(gè)單位長度,就得到函數(shù)y=2x-2的圖象.
點(diǎn)評(píng)：類似地,我們得到y(tǒng)=ax與y=ax+m(a>0,a≠1,m∈R)之間的關(guān)系:
y=ax+m(a>0,m∈R)的圖象可以由y=ax的圖象變化而來.
當(dāng)m>0時(shí),y=ax的圖象向左移動(dòng)m個(gè)單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象;
當(dāng)m<0時(shí),y=ax的圖象向右移動(dòng)|m|個(gè)單位得到y(tǒng)=ax+m的圖象.
上述規(guī)律也簡稱為“左加右減”.
變式訓(xùn)練
為了得到函數(shù)y=2x-3-1的圖象,只需把函數(shù)y=2x的圖象( )
A.向右平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度
B.向左平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度
C.向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度
D.向左平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度
答案：B
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有些復(fù)合函數(shù)的圖象,常用變換方法作出.
例2已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
（1）求a,b的值；
（2）若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.
活動(dòng)：學(xué)生審題,考慮解題思路.求值一般是構(gòu)建方程,求取值范圍一般要轉(zhuǎn)化為不等式,如果有困難,教師可以提示,（1）從條件出發(fā),充分利用奇函數(shù)的性質(zhì),由于定義域?yàn)镽,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出f(x),轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式,利用恒成立問題再轉(zhuǎn)化.
（1）解：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),
所以f(0)=0,即=0b=1,
所以f(x)=;
又由f（1）=-f（-1）知=a=2.
（2）解法一：由（1）知f(x)==+,易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).
又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,
等價(jià)于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)為減函數(shù),由上式推得：
t2-2t>k-2t2,即對(duì)一切t∈R有3t2-2t-k>0,
從而判別式Δ=4+12k<0,
∴k<.
解法二：由（1）知f(x)=.
又由題設(shè)條件得<0,
即<0.
整理得>1,因底數(shù)2>1,故3t2-2t-k>0,
上式對(duì)一切t∈R均成立,從而判別式Δ=4+12k<0,即k<-.
點(diǎn)評(píng)：記住下列函數(shù)的增減性,對(duì)解題是十分有用的,若f(x)為增(減)函數(shù),則為減(增)函數(shù).
思路2
例1
設(shè)a>0,f(x)=在R上滿足f(-x)=f(x).
(1)求a的值;
(2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論,如果有困難,教師提示,引導(dǎo).
(1)求單獨(dú)一個(gè)字母的值,一般是轉(zhuǎn)化為方程,利用f(-x)=f(x)可建立方程.
(2)證明增減性一般用定義法,回憶定義法證明增減性的步驟,規(guī)范書寫的格式.
(1)解：依題意,對(duì)一切x∈R有f(-x)=f(x)成立,即+aex=.
所以=0對(duì)一切x∈R成立.由此可得=0,即a2=1.
又因?yàn)閍>0,所以a=1.
(2)證明:設(shè)00,x2>0,x2-x1>0,得x2+x1>0,>0,1<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在（0,+∞）上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng)：在已知等式f(-x)=f(x)成立的條件下,對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,求出a,也可用特殊值求解.證明函數(shù)的單調(diào)性,嚴(yán)格按定義寫出步驟,判斷過程盡量明顯直觀.
例2已知函數(shù)f(x)=3x,且x=a+2時(shí),f(x)=18,g(x)=3的定義域?yàn)椋?,1］.
(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間,確定其增減性并試用定義證明;
(3)求g(x)的值域.
解：(1)因?yàn)閒(x)=3x,且x=a+2時(shí)f(x)=18,
所以f(a+2)=3a+2=18.所以3a=2.
所以g(x)=3ax-4x=(3a)x-4x.
所以g(x)=2x-4x.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)椋?,1］,令t=2x,因?yàn)閤∈［0,1］時(shí),函數(shù)t=2x在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增,
所以t∈［1,2］,則g(t)=t-t2=-(t2-t)=-(t-)2+,t∈［1,2］.
因?yàn)楹瘮?shù)t=2x在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增,函數(shù)g(t)=t-t2在t∈［1,2］上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減.
證明:設(shè)x1和x2是區(qū)間［0,1］上任意兩個(gè)值,且x11,所以函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù).而0.7<0.8,所以30.7<30.8.
(2)0.75-0.1與0.750.1的底數(shù)都是0.75,它們可以看成函數(shù)y=0.75x,當(dāng)x=-0.1和0.1時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?>0.75,所以函數(shù)y=0.75x在R上是減函數(shù).而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.
(3)1.012.7與1.013.5的底數(shù)都是1.01,它們可以看成函數(shù)y=1.01x,當(dāng)x=2.7和3.5時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?.01>1,所以函數(shù)y=1.01x在R上是增函數(shù).而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
(4)0.993.3與0.994.5的底數(shù)都是0.99,它們可以看成函數(shù)y=0.99x,當(dāng)x=3.3和4.5時(shí)的函數(shù)值；因?yàn)?.99<1,所以函數(shù)y=0.99x在R上是減函數(shù).而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.
8.(1)2m,2n可以看成函數(shù)y=2x,當(dāng)x=m和n時(shí)的函數(shù)值;因?yàn)?>1,所以函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù).因?yàn)?m<2n,所以mn.
(3)am,an可以看成函數(shù)y=ax,當(dāng)x=m和n時(shí)的函數(shù)值;因?yàn)?n.
(4)am,an可以看成函數(shù)y=ax,當(dāng)x=m和n時(shí)的函數(shù)值;因?yàn)閍>1,所以函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù).因?yàn)閍m>an,所以m>n.
點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
9.(1)死亡生物組織內(nèi)碳14的剩余量P與時(shí)間t的函數(shù)解析式為P=().
當(dāng)時(shí)間經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后,死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量為P=()=()9≈0.002.
答:當(dāng)時(shí)間經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后,死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量約為死亡前含量的2‰,因此,還能用一般的放射性探測器測到碳14的存在.
(2)設(shè)大約經(jīng)過t萬年后,用一般的放射性探測器測不到碳14,那么()<0.001,解得t>5.7.
答:大約經(jīng)過6萬年后,用一般的放射性探測器是測不到碳14的.
B組
1.當(dāng)0＜a＜1時(shí),
a2x-7＞a4x-12x-7＜4x－1x＞－3;
當(dāng)a＞1時(shí),
a2x-7＞a4x-12x－7＞4x－1x＜－3.
綜上,當(dāng)0＜a＜1時(shí),不等式的解集是{x|x＞－3}；
當(dāng)a＞1時(shí),不等式的解集是{x|x＜－3}.
2.分析:像這種條件求值,一般考慮整體的思想,同時(shí)觀察指數(shù)的特點(diǎn),要注重完全平方公式的運(yùn)用.
解：(1)設(shè)y=x+x,
那么y2=(x+x)2=x+x-1+2.
由于x+x-1=3,所以y=.
(2)設(shè)y=x2+x-2,
那么y=(x+x-1)2-2.
由于x+x-1=3,
所以y=7.
(3)設(shè)y=x2-x-2,
那么y=(x+x-1)(x-x-1),
而(x-x-1)2=x2-2+x-2=,
所以y=3.
點(diǎn)評(píng)：整體代入和平方差,完全平方公式的靈活運(yùn)用是解題的突破口.
3.解：已知本金為a元.
1期后的本利和為y1=a+ar=a(1+r),
2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,
3期后的本利和為y3=a(1+r)3,
…
x期后的本利和為y=a(1+r)x.
將a=1 000,r=0.022 5,x=5代入上式得
y=a(1+r)x=1 000(1+0.022 5)5=1 0001.02255≈1118.
答:本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式為y=a(1+r)x,5期后的本利和約為1 118元.
4.解：(1)因?yàn)閥1=y2,所以a3x+1=a-2x.
所以3x+1=-2x.
所以x=.
(2)因?yàn)閥1>y2,所以a3x+1>a-2x.所以當(dāng)a>1時(shí),3x+1>-2x.
所以x>.
所以當(dāng)0
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2020
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指數(shù)函數(shù)
及其
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