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2019-2020年高中信息技術(shù) 全國(guó)青少年奧林匹克聯(lián)賽教案 分治法 分治算法的基本思想是將一個(gè)規(guī)模為N的問題分解為K個(gè)規(guī)模較小的子問題，這些子問題相互獨(dú)立且與原問題性質(zhì)相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。 分治法解題的一般步驟： （1）分解，將要解決的問題劃分成若干規(guī)模較小的同類問題； （2）求解，當(dāng)子問題劃分得足夠小時(shí)，用較簡(jiǎn)單的方法解決； （3）合并，按原問題的要求，將子問題的解逐層合并構(gòu)成原問題的解。 分治法應(yīng)用 例1、 比賽安排(noip1996) 設(shè)有2^n(n<=6)個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽,計(jì)劃在2^n-1天內(nèi)完成,每個(gè)隊(duì)每天進(jìn)行一場(chǎng)比賽。設(shè)計(jì)一個(gè)比賽的安排,使在2^n-1天內(nèi)每個(gè)隊(duì)都與不同的對(duì)手比賽。例如n=2時(shí)的比賽安排為: 隊(duì) 1 2 3 4 比賽 1-2 3-4 第一天 1-3 2-4 第二天 1-4 2-3 第三天 算法分析：此題很難直接給出結(jié)果，我們先將問題進(jìn)行分解，設(shè)m=2^n，將規(guī)模減半，如果n=3(即m=8),8個(gè)球隊(duì)的比賽，減半后變成4個(gè)球隊(duì)的比賽（m=4），4個(gè)球隊(duì)的比賽的安排方式還不是很明顯，再減半到兩個(gè)球隊(duì)的比賽(m=2)，兩個(gè)球隊(duì)的比賽安排方式很簡(jiǎn)單，只要讓兩個(gè)球隊(duì)直接進(jìn)行一場(chǎng)比賽即可： 1 2 2 1 分析兩個(gè)球隊(duì)的比賽的情況不難發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)對(duì)稱的方陣，我們把這個(gè)方陣分成4部分（即左上，右上，左下，右下），右上部分可由左上部分加1（即加m/2）得到，而右上與左下部分、左上與右下部分別相等。因此我們也可以把這個(gè)方陣看作是由M=1的方陣所成生的，同理可得M=4的方陣： 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 同理可由M=4方陣生成M=8的方陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4 1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 這樣就構(gòu)成了整個(gè)比賽的安排表。 在算法設(shè)計(jì)中，用數(shù)組a記錄2^n個(gè)球隊(duì)的循環(huán)比賽表，整個(gè)循環(huán)比賽表從最初的1*1方陣按上述規(guī)則生成2*2的方陣，再生成4*4的方陣，……直到生成出整個(gè)循環(huán)比賽表為止。變量h表示當(dāng)前方陣的大小,也就是要生成的下一個(gè)方陣的一半。 源程序： var i,j,h,m,n:integer; a:array[1..32,1..32]of integer; begin readln(n); m:=1;a[1,1]:=1;h:=1; for i:=1 to n do m:=m*2; repeat for i:=1 to h do for j:=1 to h do begin a[i,j+h]:=a[i,j]+h;{構(gòu)造右上角方陣} a[i+h,j]:=a[i,j+h];{構(gòu)造左下角方陣} a[i+h,j+h]:=a[i,j];{構(gòu)造右下角方陣} end; h:=h*2; until h=m; for i:=1 to m do begin for j:=1 to m do write(a[i,j]:4); writeln; end; end. 在分治算法中，若將原問題分解成兩個(gè)較小的子問題，我們稱之為二分法，由于二分法劃分簡(jiǎn)單，所以使用非常廣泛。使用二分法與使用枚舉法求解問題相比較，時(shí)間復(fù)雜度由O（N）降到O（log2N），在很多實(shí)際問題中，我們可以通過使用二分法，達(dá)到提高算法效率的目的，如下面的例子。 例2 一元三次方程求解（noipxxtg） 題目大意：給出一個(gè)一元三次方程f(x)=ax3+bx2+cx+d=0 ,求它的三個(gè)根。所有的根都在區(qū)間[-100，100]中，并保證方程有三個(gè)實(shí)根，且它們之間的差不小于1。 算法分析：在講解枚舉法時(shí)，我們討論了如何用枚舉法求解此題，但如果求解的精度進(jìn)一步提高，使用枚舉法就無能為力了，在此我們?cè)僖淮斡懻撊绾斡枚址ㄇ蠼獯祟}。 由題意知（i,i+1）中若有根，則只有一個(gè)根，我們枚舉根的值域中的每一個(gè)整數(shù)x(-100≤x≤100),設(shè)定搜索區(qū)間[x1，x2]，其中x1=x，x2=x+1。若： ⑴f(x1)=0，則確定x1為f(x)的根； ⑵f(x1)*f(x2)<0，則確定根x在區(qū)間[x1，x2]內(nèi)。 ⑶f(x1)*f(x2)>0，則確定根x不在區(qū)間[x1，x2]內(nèi)，設(shè)定[x2，x2+1]為下一個(gè)搜索區(qū)間； 若確定根x在區(qū)間[x1，x2]內(nèi)，采用二分法，將區(qū)間[x1，x2]分成左右兩個(gè)子區(qū)間：左子區(qū)間[x1，x]和右子區(qū)間[x，x2]（其中x=（x1+x2）/2）。如果f(x1)*f(x)≤0，則確定根在左區(qū)間[x1，x]內(nèi)，將x設(shè)為該區(qū)間的右界值（x2=x），繼續(xù)對(duì)左區(qū)間進(jìn)行對(duì)分；否則確定根在右區(qū)間[x，x2]內(nèi)，將x設(shè)為該區(qū)間的左界值（x1=x），繼續(xù)對(duì)右區(qū)間進(jìn)行對(duì)分； 上述對(duì)分過程一直進(jìn)行到區(qū)間的間距滿足精度要求為止（即x2-x1<0.005）。此時(shí)確定x1為f(x)的根。 源程序： {$N+} var x:integer; a,b,c,d,x1,x2,xx:extended; function f(x:extended):extended; begin f:=((a*x+b)*x+c)*x+d; end; begin read(a,b,c,d); for x:=-100 to 100 do begin x1:=x;x2:=x+1; if f(x1)=0 then write(x1:0:2, ) else if f(x1)*f(x2)<0 then begin while x2-x1>=0.005 do begin xx:=(x1+x2)/2; if f(x1)*f(xx)<=0 then x2:=xx else x1:=xx; end;{while} write(x1:0:2, ); end; {then} end;{for} end.