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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章《立體幾何初步》單元知識(shí)總結(jié)教案新課標(biāo)人教版必修2(B) 知識(shí)鏈接 空間幾何體 構(gòu)成幾何體的基本元素 平行投影與中心投影 柱，錐，臺(tái)，球的表面積和體積 柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征 直觀圖和三視圖的畫法 確定平面的條件 平面的基本性質(zhì) 空間平行直線及其傳遞性 點(diǎn)，線，面之間的位置關(guān)系 直線與平面平行的判定及性質(zhì) 空間中的平行關(guān)系 平面與平面平行的判定及性質(zhì) 直線與平面垂直的判定及性質(zhì) 空間中的垂直關(guān)系 平面與平面垂直的判定及性質(zhì) 點(diǎn)擊考點(diǎn) （1） 了解柱，錐，臺(tái)，球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。 （2） 能畫出簡單空間圖形的三視圖，能識(shí)別三視圖所表示的立體模型，并會(huì)用斜二測法畫出它們的直觀圖。 （3） 通過觀察用平行投影與中心投影這兩種方法畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。 （4） 理解柱，錐，臺(tái)，球的表面積及體積公式。 （5） 理解平面的基本性質(zhì)及確定平面的條件。 （6） 掌握空間直線與直線，直線與平面，平面與平面平行的判定及性質(zhì)。 （7） 掌握空間直線與平面，平面與平面垂直的判定及性質(zhì)。 名師導(dǎo)航 1.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （1） 空間幾何體 ①空間圖形直觀描述了空間形體的特征，我們一般用斜二測畫法來畫空間圖形的直觀圖。 ②空間圖形可以看作點(diǎn)的集合，用符號(hào)語言表述點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常用到集合的有關(guān)符號(hào)，要注意文字語言，符號(hào)語言，圖形語言的相互轉(zhuǎn)化。 ③柱，錐，臺(tái)，球是簡單的幾何體，同學(xué)們可用列表的方法對它們的定義，性質(zhì)，表面積及體積進(jìn)行歸納整理。 ④對于一個(gè)正棱臺(tái)，當(dāng)上底面擴(kuò)展為下底面的全等形時(shí)，就變?yōu)橐粋€(gè)直棱柱；當(dāng)上底面收縮為中心點(diǎn)時(shí)，就變?yōu)橐粋€(gè)正棱錐。由和，就可看出它們的側(cè)面積與體積公式的聯(lián)系。 （2） 點(diǎn)，線，面之間的位置關(guān)系 ①“確定平面”是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件，這種轉(zhuǎn)化最基本的就是三個(gè)公理。 ②空間中平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化：直線與直線平行 直線與平面平行 平面與平面平行。 ③空間中垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化：直線與直線垂直 直線與平面垂直 平面與平面垂直。 2.思想方法小結(jié) 在本章中需要用到的數(shù)學(xué)思想方法有：觀察法，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想等。主要是立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化等。 3.綜合例題分析 例1：如圖，P是ABC所在平面外一點(diǎn)，，，分別是，，的重心。 （1） 求證：平面平面ABC； P （2） 求：. 證明:(1) 連結(jié),,,設(shè), ,,則D,E,F分 別是BC,AC,AB的中點(diǎn),且 C A B 所以, , 且,, 所以 , 從而, 平面平面ABC. (2) 由平面幾何知識(shí)有，， 所以， . 點(diǎn)評(píng): (1)由線線平行 線面平行 面面平行,是證明平行問題的常用方法. (2)靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵。 例2：試證：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各面距離之和等于這個(gè)正四面體的高。 分析：如圖，設(shè)P為正四面體ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，AO為正四面體 A 的高，點(diǎn)P到各面的距離分別為 則 P B D C 即 正四面體各面是全等的正三角形 點(diǎn)評(píng)：多面體問題常用技巧有“割”“補(bǔ)”“等積變換”等，利用這些技巧可使問題化繁為易。 例3：圓臺(tái)的內(nèi)切球半徑為R，且圓臺(tái)的全面積和球面積之比為。求圓臺(tái)的上，下底面半徑（）。 解：如圖，設(shè)圓臺(tái)母線為， 則，由平面幾何知識(shí)得， 即 又 由題意得， 即 代入 得 ，，. 點(diǎn)評(píng): (1) 解組合體的關(guān)鍵是注意選擇合適的角度畫出示意圖，通過交點(diǎn)交線來研究問題，正確作出截面，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的,較常見的問題. (2) 軸截面在解決旋轉(zhuǎn)體問題中，有著相當(dāng)重要的作用. 例4．已知三棱錐中，，，⊥平面，， 分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且， （Ⅰ）求證：不論為何值，總有平面⊥平面； （Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，平面⊥平面？ 證（Ⅰ）∵平面，∴， ∵，且，∴平面， 又∵（）， ∴不論為何值，恒有，∴平面，平面， ∴不論為何值恒有平面⊥平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又要平面平面， ∴平面，∴， ∵，，， ∴， ∴，由得， ∴， 故當(dāng)時(shí)，平面平面． 點(diǎn)評(píng)：證明垂直和平行一樣，要注意線面與面面的轉(zhuǎn)化及立幾與平幾的轉(zhuǎn)化。 誤區(qū)莫入 （1） 幾何中的平面是沒有厚度且可以無限延展，因此，用平行四邊形表示平面時(shí)，必要時(shí)可以把它延展開來。如同畫直線一樣，直線是可以無限延展的，但在畫直線時(shí)，卻只畫出一條線段來表示。 （2） 平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定正確。如：“過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直”在空間就不正確。而有些命題推廣到空間還是正確，如：平行線的傳遞性及關(guān)于兩角相等的定理等。