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2019-2020年高中數(shù)學第一章坐標系1.2.2極坐標和直角坐標的互化課時提升作業(yè)含解析新人教A版選修 一、選擇題(每小題6分,共18分) 1.(xx西安高二檢測)若M點的極坐標為,則M點的直角坐標是　 (　　) A.(-,1) B.(-,-1) C.(,-1) D.(,1) 【解析】選A.由公式得M點的直角坐標為(-,1). 【補償訓練】在極坐標系中,以極點為坐標原點,極軸為x軸正半軸,建立直角坐標系,點M的直角坐標是　(　　) A.(2,1)　 B.(,1) 　C.(1,)　 D.(1,2) 【解析】選B.根據(jù)直角坐標和極坐標的互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得點M的直角坐標為(,1). 2.設點P對應的復數(shù)為-3+3i,以原點為極點,實軸正半軸為極軸建立極坐標系,則點P的極坐標為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選A.因為點P對應的復數(shù)為-3+3i,則點P的直角坐標為(-3,3),點P到原點的距離r=3,且點P在第二象限的平分線上,故極角等于,故點P的極坐標為. 3.若點M的極坐標為(5,θ),且tanθ=-,<θ<π,則點M的直角坐標為　 (　　) A.(3,4) B.(4,3) C.(-4,3) D.(-3,4) 【解析】選D.因為tanθ=-,<θ<π.所以cosθ=-,sinθ=,所以x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,故點M的直角坐標為(-3,4). 【補償訓練】在極坐標系中,A(3,3π),B,則=　(　　) A.5　　　　 B.6　　　 　C.7　　 　　D.8 【解析】選C.由公式將點A(3,3π),B分別化為直角坐標為A(-3,0), B, ==7. 二、填空題(每小題6分,共12分) 4.已知兩點的極坐標A,B,則直線AB的傾斜角為________. 【解析】點A,B的直角坐標分別為(0,3),, 故kAB==-, 故直線AB的傾斜角為. 答案: 5.以極坐標系中的點為圓心,2為半徑的圓的直角坐標方程是________. 【解析】設點C在直角坐標系中的坐標為(m,n),可得m=2cos=0,n=2sin=2, 所以點C的直角坐標為(0,2), 結合圓C的半徑R=2, 根據(jù)圓的標準方程,得圓C的方程為x2+(y-2)2=4. 答案:x2+(y-2)2=4 三、解答題(每小題10分,共30分) 6.在極坐標系中,已知三點M,N(2,0),P.判斷M,N,P三點是否共線?說明理由. 【解析】將極坐標M,N(2,0),P分別化為直角坐標,得M(1,-),N(2,0),P(3,). 方法一:因為kMN=kPN=, 所以M,N,P三點共線. 方法二:因為==(1,). 所以∥, 所以M,N,P三點共線. 7.極坐標系中,已知O是極點,A,B. (1)求|AB|. (2)判斷△AOB的形狀. 【解析】(1)由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ求得點A,B的直角坐標分別為A(-3,-3),B(0,-3),得|AB|=3. (2)由上述得,直線AB平行于x軸, ∠OBA=,∠OAB=. 所以△AOB是直角三角形,其中∠OAB=. 8.已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=60,AB,BC,CD,AD的中點分別為E,F,G,H,以菱形的中心為極點O與原點,OA的方向為極軸方向與x軸正方向,建立極坐標系與平面直角坐標系,如圖,限定ρ≥0,θ∈[0,2π). (1)求點E,F,G,H的極坐標與直角坐標. (2)判斷四邊形EFGH的形狀. 【解析】(1)由于菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=60, 所以OB=1,OA=,菱形的頂點的直角坐標分別為A(,0),B(0,1),C(-,0), D(0,-1), 所以菱形各邊中點的直角坐標分別為 E,F,G, H,菱形各邊中點的極坐標分別為 E,F,G,H. (2)由上述菱形各邊中點的直角坐標,得 ==(-,0),∥, 故四邊形EFGH為平行四邊形, 又=(0,1),=0,故⊥, 所以平行四邊形EFGH為矩形. 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(xx上饒高二檢測)點M的直角坐標是(3,),則點M的極坐標可能為 　(　　) A. B. C. D. 【解析】選B.ρ==2,tanθ==, 又θ的終邊過點(3,), 所以θ=, 所以M. 2.(xx大慶高二檢測)已知定點P,將極點移至O′處,極軸方向不變,則點P的新的極坐標為　(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 【解析】選C.設點P的新的極坐標為(ρ,θ),如圖. 則|OO′|=2,又|OP|=4,∠POO′=-=, 在△OPO′中,ρ2=(2)2+42-224cos=4, 故ρ=2,又=, 所以sin∠OPO′=2=, 所以∠OPO′=,所以θ=+=, 故點P的新的極坐標為. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.將向量=(-1,)繞原點逆時針旋轉120得到向量的直角坐標為__________. 【解析】由于M(-1,)的極坐標為,繞極點(即原點)逆時針旋轉120得到的點的極坐標為,化為直角坐標為(-1,-),即為所求. 答案:(-1,-) 4.在極坐標系中,O是極點,點A,B,則點O到AB所在直線的距離是________. 【解題指南】求出點A,B的直角坐標,寫出直線的方程,利用點到直線的距離公式求距離. 【解析】點A,B的直角坐標分別為(2,2), , 則直線AB的方程為=, 即(4-3)x-(4+3)y+24=0,則點O到直線AB的距離為 =. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.(xx海口高二檢測)在極坐標系中,若點A,B. (1)求|AB|. (2)求△AOB的面積(O為極點). 【解析】如圖所示 (1)∠AOB=-=. 所以|AB|2=32+(4)2-234cos=93. 所以|AB|=. (2)S△AOB=OAOBsin∠AOB=34=3. 6.已知點M的極坐標為,極點O′在直角坐標系xOy中的直角坐標為(2,3),極軸平行于x軸,極軸的方向與x軸的正方向相同,兩坐標系的長度單位相同,求點M的直角坐標. 【解題指南】以極點為原點,建立新的直角坐標系,建立點的新直角坐標與原直角坐標的關系求解. 【解析】以極點O′為坐標原點,極軸方向為x′軸正方向, 建立新直角坐標系x′O′y′,設點M的新直角坐標為(x′,y′),于是x′=4cos=2,y′=4sin=2,由O′(x′,y′)=O′(0,0),O′(x,y)=O′(2,3), 易得O′(x′,y′)與O′(x,y)的關系為于是點M(x,y)為所以點M的直角坐標為(2+2,5).