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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第八章 8.6 圓錐曲線的應用教案 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 解析幾何在日常生活中應用廣泛，如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解決應用題的關鍵,而建立數(shù)學模型是實現(xiàn)應用問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化的常用方法.本節(jié)主要通過圓錐曲線在實際問題中的應用，說明數(shù)學建模的方法，理解函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想. 二、點擊雙基 1.一拋物線形拱橋，當水面離橋頂2 m時，水面寬4 m，若水面下降1 m時，則水面寬為（ ） A. m B.2 m C.4.5 m D.9 m 解析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意知，拋物線過點（2，-2）,∴4=2p2. ∴p=1.∴x2=-2y. 當y0=-3時，得x02=6. ∴水面寬為2|x0|=2. 答案：B 2.某拋物線形拱橋的跨度是20 m，拱高是4 m，在建橋時每隔4 m需用一柱支撐，其中最長的支柱是（ ） A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m 解析：建立適當坐標系，設拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意知其過定點（10，-4），代入x2=-2py,得p=. ∴x2=-25y.當x0=2時，y0=， ∴最長支柱長為4-|y0|=4-=3.84(m). 答案：B 3.天安門廣場，旗桿比華表高，在地面上，觀察它們頂端的仰角都相等的各點所在的曲線是( ) A.橢圓 B.圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線 解析：設旗桿高為m,華表高為n,m＞n.旗桿與華表的距離為2a,以旗桿與地面的交點和華表與地面的交點的連線段所在直線為x軸、垂直平分線為y軸建立直角坐標系.設曲線上任一點M(x,y),由題意=，即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+(m2-n2)a2=0. 答案：B 4.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點，已知燈口直徑是60 cm,燈深40 cm,則光源到反射鏡頂點的距離是________________ cm. 解析：設拋物線方程為y2=2px(p>0),點（40，30）在拋物線y2=2px上， ∴900=2p40. ∴p=. ∴=.因此，光源到反射鏡頂點的距離為 cm. 答案： 5.在相距1 400 m的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲音的時間相差3 s，已知聲速340 m/s.炮彈爆炸點所在曲線的方程為______________________________________________________. 解析：設M（x,y）為曲線上任一點，則|MA|-|MB|=3403=1 020<1 400. ∴M點軌跡為雙曲線，且a==510,c==700. ∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1 210190. ∴M點軌跡方程為-=1. 答案：-=1 誘思實例點撥 【例1】 設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點處，當此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時，經(jīng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為和,求該彗星與地球的最近距離. 剖析：本題的實際意義是求橢圓上一點到焦點的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解.同時，還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進行思考.仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時，彗星與地球的距離才達到最小值即為a-c，這樣把問題就轉(zhuǎn)化為求a、c或a-c. 解：建立如下圖所示直角坐標系，設地球位于焦點F（-c,0）處，橢圓的方程為+=1, 當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為π3時，由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=(或∠xFA′=). 作AB⊥Ox于B，則｜FB｜=｜FA｜=m, 故由橢圓的第二定義可得 兩式相減得m=m,∴a=2c. 代入①,得m=(4c-c)=c, ∴c=m. ∴a-c=c=m. 答:彗星與地球的最近距離為m萬千米. 講評：（1）在天體運行中，彗星繞恒星運行的軌道一般都是橢圓,而恒星正是它的一個焦點，該橢圓的兩個端點，一個是近地點,另一個則是遠地點，這兩點到恒星的距離一個是a-c,另一個是a+c. (2)以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.另外，數(shù)學應用問題的解決在數(shù)學化的過程中也要時刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識地訓練數(shù)學思維品質(zhì). 【例2】 某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處（如圖所示）.已知PA=100 m，PB=150 m,∠APB=60,試說明怎樣運土最省工. 剖析：首先抽象為數(shù)學問題，半圓中的點可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠. 顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設M是分界線上的任意一點.則有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜. 于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=150-100=50. 從而發(fā)現(xiàn)第三類點M滿足性質(zhì)：點M到點A與點B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程. 解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系xOy,設M(x,y)是沿AP、BP運土同樣遠的點，則 ｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜, ∴｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50. 在△PAB中，由余弦定理得｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2-2｜PA｜｜PB｜cos60=17 500, 且50＜｜AB｜.由雙曲線定義知M點在以A、B為焦點的雙曲線右支上，設此雙曲線方程為-=1(a＞0,b＞0). ∵ 解之得 ∴M點軌跡是-=1(x≥25)在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.于是運土時將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處最省工. 講評：（1）本題是不等量與等量關系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標系，利用點的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型（即分界線）從而確定出最優(yōu)化區(qū)域. （2）應用分類思想解題的一般步驟：①確定分類的對象；②進行合理的分類；③逐類逐級討論；④歸納各類結(jié)果. 【例3】 根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現(xiàn)要設計橫斷面為拋物線形的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a m，求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值. 剖析：根據(jù)問題的實際意義，卡車通過隧道時應以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2 m（即在橫斷面上距拱口中點2 m）處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過建立坐標系，確定出拋物線的方程后求得. 解：如圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標系，由題意可得拋物線的方程為x2=-2p(y-), ∵點A（-,0）在拋物線上, ∴(-)2=-2p(0-),得p=. ∴拋物線方程為x2=-a(y-). 取x=1.6+0.4=2,代入拋物線方程,得 22=-a(y-),y=. 由題意,令y＞3,得＞3, ∵a＞0,∴a2-12a-16＞0. ∴a＞6+2. 又∵a∈Z,∴a應取14，15，16，…. 答:滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14 m. 講評： 本題的解題過程可歸納為兩步:一是根據(jù)實際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點2 m處y的值;二是由y＞3通過解不等式，結(jié)合問題的實際意義和要求得到a的值，值得注意的是這種思路在與最佳方案有關的應用題中是常用的.