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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 回扣突破30練 第23練 概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值 理 一.題型考點對對練 1．（互斥事件的概率）甲、乙兩名同學(xué)參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.（古典概型）從數(shù)字1，2，3 ，4，5中，隨機(jī)抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于12的概率為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因為從數(shù)字1，2，3 ，4，5中，隨機(jī)抽取3個數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個三位數(shù)共有個，其中三個數(shù)字之和為的可能有，共種，故各位數(shù)字之和等于12的概率為，應(yīng)選答案A. 3.（幾何概型）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如輸入的值為1，輸出的值為，則在區(qū)間上隨機(jī)選取一個數(shù)， 的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得,第一次循環(huán)后， 第二次循環(huán)后， 第三次循環(huán)后， .故選. 4.（條件概率）小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件“4個人去的景點不相同”，事件“小趙獨自去一個景點”，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.（二項分布的分布列與期望）某廠有臺大型機(jī)器，在一個月中，一臺機(jī)器至多出現(xiàn)次故障，且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需名工人進(jìn)行維修．每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為． (1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不少于？ (2)已知一名工人每月只有維修臺機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人萬元的工資．每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，就使該廠產(chǎn)生萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有名工人．求該廠每月獲利的均值． 【解析】(1)一臺機(jī)器運行是否出現(xiàn)故障可看作一次實驗，在一次試驗中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件，則事件的概率為．該廠有臺機(jī)器就相當(dāng)于次獨立重復(fù)試驗，可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為，則， ，，，， 即的分布列為： X 0 1 2 3 4 設(shè)該廠有名工人，則“每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修”為，即，，，…，，這個互斥事件的和事件，則 0 1 2 3 4 ∵，∴至少要名工人，才能保證每臺機(jī)器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進(jìn)行維修的概率不少于． (2)設(shè)該廠獲利為萬元，則的所有右能取值為：18,13,8， ， ，．即的分布列為： 則．故該廠獲利的均值為． 6.（超幾何分布的分布列與期望）某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：萬盒）的數(shù)據(jù)如下表所示： （月份） 1 2 3 4 5 （萬盒） 4 4 5 6 6 （1）該同學(xué)為了求出關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計算出，試求出的值，并估計該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)； （2）若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從中隨機(jī)購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題.記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. （2）， ， ， ， ，其分布列為 0 1 2 3 ∴. 7.（與分布列、均值相關(guān)的綜合問題）某地政府?dāng)M在該地一水庫上建造一座水電站，用泄流水量發(fā)電．圖4是根據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X（單位：萬立方米）的頻率分布直方圖（不完整），已知，歷年中日泄流量在區(qū)間[30，60）的年平均天數(shù)為156，一年按364天計． （Ⅰ）請把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整； （Ⅱ）該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運行，但每30萬立方米的日泄流量才夠運行一臺發(fā)電機(jī)，如時才夠運行兩臺發(fā)電機(jī)，若運行一臺發(fā)電機(jī)，每天可獲利潤為4000元，若不運行，則該臺發(fā)電機(jī)每天虧損500元，以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率，以水電站日利潤的期望值為決策依據(jù)，問：為使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝多少臺發(fā)電機(jī)？ 【解析】（Ⅰ）在區(qū)間[30，60）的頻率為，，設(shè)在區(qū)間[0，30）上， ，則， ①若安裝1臺發(fā)電機(jī)，則Y的值為-500，4000，其分布列為 Y -500 4000 P E(Y)＝； ②若安裝2臺發(fā)電機(jī)，則Y的值為-1000，3500，8000，其分布列為 Y -1000 3500 8000 P E(Y)＝； ③若安裝3臺發(fā)電機(jī)，則Y的值為-1500，3000，7500，1xx，其分布列為 Y -1500 3000 7500 1xx P E(Y)＝；∵ ∴要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝3臺發(fā)電機(jī)． 二.易錯問題糾錯練 8.（基本事件列舉重復(fù)或遺漏至錯）質(zhì)地均勻的正四面體表明分別印有0,1,2,3四個數(shù)字，某同學(xué)隨機(jī)的拋擲次正四面體2次，若正四面體與地面重合的表面數(shù)字分別記為，且兩次結(jié)果相互獨立，互不影響.記為事件，則事件發(fā)生的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)要求兩次點數(shù)情況進(jìn)行一一列舉，再考慮滿足事件A的情況。兩次點數(shù)分別為 ，共有16種情形，其中滿足題設(shè)條件的有，共6種情形，所以由古典概型的計算公式可得事件發(fā)生的概率為，應(yīng)選答案A。 【注意問題】根據(jù)要求兩次點數(shù)情況進(jìn)行一一列舉，再考慮滿足事件A的情況． 9.（辨別不清幾何概型和古典概型至錯）兩位同學(xué)約定下午5：30-6：00在圖書館見面，且他們在：30-6：00之間到達(dá)的時刻是等可能的，先到的同學(xué)須等待，15分鐘后還未見面便離開，則兩位同學(xué)能夠見面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 設(shè)甲、乙各在第分鐘和第分鐘到達(dá)，則樣本空間為 畫成圖為一正方形；會面的充要條件為，即事件A可以會面所對應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分，故由幾何概型公式知所求概率為面積之比，即，故選D. 【注意問題】因涉及兩人見面時間，故考慮到是幾何概型，建立坐標(biāo)系列出滿足條件的式子，計算出最終的概率． 10.（二項分布與超幾何分布混淆至錯）某高校數(shù)學(xué)系xx年高等代數(shù)試題有6個題庫，其中3個是新題庫（即沒有用過的題庫），3個是舊題庫（即至少用過一次的題庫），每次期末考試任意選擇2個題庫里的試題考試. （1）設(shè)xx年期末考試時選到的新題庫個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）已知xx年時用過的題庫都當(dāng)作舊題庫，求xx年期末考試時恰好到1個新題庫的概率． 【解析】（Ⅰ）的所有可能取值為0，1，2， 設(shè)“xx年期末考試時取到個新題庫（即）”為事件． 又因為6個題庫中，其中3個是新題庫，3個是舊題庫，所以； ；，所以的分布列為 0 1 2 P 的數(shù)學(xué)期望為． （Ⅱ）設(shè)“從6個題庫中任意取出2個題庫，恰好取到一個新題庫”為事件，則“xx年時恰好取到一個新題庫”就是事件，而事件互斥，所以． 所以xx年時恰好取到一個新題庫的概率為． 【注意問題】先確定隨機(jī)變量所有可能取值,再分別求對應(yīng)概率,列表可得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望． 三.新題好題好好練 11.現(xiàn)有一個不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1,2,2,3,3,3,的六個小球，他們除數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球記下號碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，則兩次取出小球所標(biāo)號碼不同的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 12.若命題：從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一；命題：在邊長為4的正方形內(nèi)任取一點，則的概率為，則下列命題是真命題的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為，即命題是錯誤，則是正確的；在邊長為4的正方形內(nèi)任取一點，若的概率為，即命題是正確的，故由符合命題的真假的判定規(guī)則可得答案 是正確的，應(yīng)選答案B。 13.集裝箱有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 14.在區(qū)間上任取實數(shù)，在區(qū)間上任取實數(shù)，使函數(shù)有兩個相異零點的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題設(shè)可得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，則，故由幾何概型的計算公式可得所求概率為，應(yīng)選答案A。 15.某學(xué)校高一、高二、高三三個年級共有300名教師，為調(diào)查他們的備課時間情況，通過分層抽樣獲得了20名教師一周的備課時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）． （1）試估計該校高三年級的教師人數(shù)； （2）從高一年級和高二年級抽出的教師中，各隨機(jī)選取一人，高一年級選出的人記為甲，高二年級班選出的人記為乙，假設(shè)所有教師的備課時間相對獨立，求該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的概率； （3）再從高一、高二、高三三個年級中各隨機(jī)抽取一名教師，他們該周的備課時間分別是8,9,10（單位：小時），這三個數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為，試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）． 所以 故； （3），， 三組總平均值，新加入的三個數(shù)的平均數(shù)為9，比小，故拉低了平均值，∴． 16.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對其化驗病毒來確定是否感染.下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分為兩組，每組三個，并將它們混合在一起化驗，若存在病毒，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個化驗，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒，則在另外一組中逐個進(jìn)行化驗. （1）求依據(jù)方案乙所需化驗恰好為2次的概率. （2）首次化驗化驗費為10元，第二次化驗化驗費為8元，第三次及其以后每次化驗費都是6元，列出方案甲所需化驗費用的分布列，并估計用方案甲平均需要體驗費多少元？ （2）設(shè)方案甲化驗的次數(shù)為，則可能的取值為1,2,3,4,5,對應(yīng)的化驗費用為元,則 ，， ，， 則其化驗費用的分布列為 所以（元）.所以甲方案平均需要化驗費元