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2019-2020 年高考數(shù)學 回扣突破 30 練 第 26 練 極坐標與參數(shù)方程 理 一.題型考點對對練 1． （極坐標化為普通方程）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立 極坐標系.已知直線： 經(jīng)過點，曲線：. （Ⅰ）求直線和曲線的直角坐標方程； （Ⅱ）若點為曲線上任意一點，且點到直線的距離表示為，求的最小值. （Ⅱ）設，則點到直線的距離， 當時，. 2.（與圓的相關的極坐標方程解決方法）在直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為： ， （為參數(shù)） ，以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系. （1）求的極坐標方程； （2）射線與的異于原點的交點為，與的交點為，求. 【解析】 （1）將代入曲線的方程： ，可得曲線的極坐標方程為， 曲線的普通方程為，將代入，得到的極坐標方程為 （2）射線的極坐標方程為，與曲線的交點的極徑為 射線與曲線的交點的極徑滿足，解得 所以 3.（參數(shù)方程與極坐標方程互化）已知曲線： （為參數(shù)）和直線：（為參 數(shù)） ． （1）將曲線的方程化為普通方程； （2）設直線與曲線交于兩點，且為弦的中點，求弦所在的直線方程． （2）將代入， 整理得 ．由為的中點，則． ∴，即，故，即，所以所求的直線方程為． 4.（直線的參數(shù)方程中 t 的幾何意義應用）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） ，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲 線的極坐標方程為． （1）寫出曲線的直角坐標方程； （2）已知點的直角坐標為，直線與曲線相交于不同的兩點，求的取值范圍． ，則 . 5.（極坐標與參數(shù)方程的綜合應用）以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標 系，已知曲線的極坐標方程為，將曲線：（為參數(shù)） ，經(jīng)過伸縮變換后得到曲線. （1）求曲線的參數(shù)方程； （2）若點的曲線上運動，試求出到直線的距離的最小值. 【解析】 （1）將曲線：（為參數(shù)）化為，由伸縮變換化為 ，代入圓的方程得，即， 可得參數(shù)方程為（為參數(shù)）. （2）曲線的極坐標方程，化為直角坐標方程：，點到的距離 ，∴點到的距離的最小值為. 二.易錯問題糾錯練 6.（圓的極坐標方程應用不當至錯）在直角坐標系中，曲線，曲線為參數(shù)） ， 以坐標原點 為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求曲線的極坐標方程； （2）若射線分別交于兩點， 求的最大值. 【注意問題】根據(jù) 轉(zhuǎn)化即可． 7.（不明確直線的參數(shù)方程中的幾何意義至錯）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為 參數(shù)） ，若以該直角坐標系的原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極 坐標方程為. （Ⅰ）求直線與曲線的普通方程； （Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點，設，求的值. 【解析】 （Ⅰ）由得，∴直線的普通方程；由得，又∵， ∴曲線的普通方程為. （Ⅱ）設對應的參數(shù)為，將代入得，∴，∵直線的參數(shù)方程為可化為 ， ∴， ∴ . 【注意問題】直線 l 的參數(shù)方程為 ， ，整理可得，利用參數(shù)的幾何意義，求的值． 三.新題好題好好練 8.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） ，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為 . （Ⅰ）若直線與圓相切，求的值； （Ⅱ）若直線與曲線：（為參數(shù)）交于，兩點，點，求. 9.在極坐標系中，曲線，曲線 ，以極點為坐標原點，極軸為軸 正半軸建立直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） ． （1）求的直角坐標方程； （2）與交于不同四點，這四點在上的排列順次為，求的值． ，把 代入， 得：，即，故，所以. 10.已知直線的參數(shù)方程是 （是參數(shù)） ，圓的極坐標方程為． （1）求圓心的直角坐標； （2）由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值． 【解析】 （1）∵ ，∴ ， ∴圓的直角坐標方程為 ，即，∴圓心的直角坐標為. （2）直線上的點向圓引切線，則切線長為 ， ∴直線上的點向圓引的切線長的最小值為. 11.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標 方程為. （Ⅰ）求出圓的直角坐標方程； （Ⅱ）已知圓與軸相交于，兩點，直線：關于點對稱的直線為.若直線上存在點使得，求實 數(shù)的最大值. 12.已知直線 （為參數(shù)） ，曲線（為參數(shù)）. （1）設與相交于兩點，求； （2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點 是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值. 【解析】 （I）的普通方程為，的普通方程為聯(lián)立方程組