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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程第1講 坐標系教案 理 選修4-4 第1講　坐標系 【xx年高考會這樣考】 考查極坐標與直角坐標的互化以及有關(guān)圓的極坐標問題． 【復習指導】 復習本講時，要抓住極坐標與直角坐標互化公式這個關(guān)鍵點，這樣就可以把極坐標問題轉(zhuǎn)化為直角坐標問題解決，同時復習以基礎(chǔ)知識、基本方法為主. 基礎(chǔ)梳理 1．極坐標系的概念 在平面上取一個定點O叫做極點；自點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系(如圖)．設(shè)M是平面上的任一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． 2．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則或 3．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 4．圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos_θ； (3)當圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin_θ. 雙基自測 1．點P的直角坐標為(－，)，那么它的極坐標可表示為________． 解析　直接利用極坐標與直角坐標的互化公式． 答案　 2．若曲線的極坐標方程為ρ＝2sin θ＋4cos θ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為________． 解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 答案　x2＋y2－4x－2y＝0 3．(xx西安五校一模)在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極坐標為________． 解析　ρ＝2sin θ的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐標方程為x＝－1，聯(lián)立方程，得解得即兩曲線的交點為(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此這兩條曲線的交點的極坐標為. 答案　 4．在極坐標系中，直線l的方程為ρsin θ＝3，則點到直線l的距離為________． 解析　∵直線l的極坐標方程可化為y＝3，點化為直角坐標為(，1)， ∴點到直線l的距離為2. 答案　2 5．(xx廣州調(diào)研)在極坐標系中，直線ρsin＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________． 解析　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化為x＋y－2＝0.圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長公式得：2 ＝2 ＝4. 答案　4 考向一　極坐標和直角坐標的互化 【例1】?(xx廣州測試(二))設(shè)點A的極坐標為，直線l過點A且與極軸所成的角為，則直線l的極坐標方程為________________． [審題視點] 先求直角坐標系下的直線方程再轉(zhuǎn)化極坐標方程． 解析　∵點A的極坐標為，∴點A的平面直角坐標為(，1)，又∵直線l過點A且與極軸所成的角為，∴直線l的方程為y－1＝(x－)tan ，即x－y－2＝0，∴直線l的極坐標方程為ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理為ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1. 答案　ρcos＝1或ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1. (1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一． (2)在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍．要注意轉(zhuǎn)化的等價性． 【訓練1】 (xx佛山檢測)在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是________． 解析　由極坐標與直角坐標的互化公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)可得，ρcos θ＝1, ρsin θ＝－，解得ρ＝2，θ＝2kπ－(k∈Z)，故點P的極坐標為(k∈Z)． 答案　(k∈Z) 考向二　圓的極坐標方程的應用 【例2】?(xx廣州測試)在極坐標系中，若過點(1,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cos θ于A、B兩點，則|AB|＝________. [審題視點] 先將直線與曲線的極坐標方程化為普通方程，再利用圓的知識求|AB|. 解析　注意到在極坐標系中，過點(1,0)且與極軸垂直的直線的直角坐標方程是x＝1，曲線ρ＝4cos θ的直角坐標方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圓心(2,0)到直線x＝1的距離等于1，因此|AB|＝2＝2. 答案　2 解決此類問題的關(guān)鍵還是將極坐標方程化為直角坐標方程． 【訓練2】 (xx深圳調(diào)研)在極坐標系中，P，Q是曲線C：ρ＝4sin θ上任意兩點，則線段PQ長度的最大值為________． 解析　由曲線C：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲線C：ρ＝4sin θ在直角坐標系下表示的是以點(0,2)為圓心、以2為半徑的圓，易知該圓上的任意兩點間的距離的最大值即是圓的直徑長，因此線段PQ長度的最大值是4. 答案　4 考向三　極坐標方程的綜合應用 【例3】?如圖，在圓心的極坐標為A(4,0)，半徑為4的圓中，求過極點O的弦的中點的軌跡． [審題視點] 在圓上任取一點P(ρ0，θ0)，建立P點與P的中點M的關(guān)系即可． 解　設(shè)M(ρ，θ)是所求軌跡上任意一點．連接OM并延長交圓A于點P(ρ0，θ0)，則有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圓心為(4,0)，半徑為4的圓的極坐標方程為ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求軌跡方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓． 求軌跡的方法與普通方程的方法相同，但本部分只要求簡單的軌跡求法． 【訓練3】 從極點O作直線與另一直線ρcos θ＝4相交于點M，在OM上取一點P，使|OM||OP|＝12，求點P的軌跡方程． 解　設(shè)動點P的坐標為(ρ，θ)，則M(ρ0，θ)． ∵|OM||OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝. 又M在直線ρcos θ＝4上，∴cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ.這就是點P的軌跡方程． 高考中極坐標問題的求解策略 從近兩年新課標高考試題可以看出，高考對該部分重點考查極坐標與直角坐標的互化以及圓的極坐標問題，但各省市的要求不盡相同． 【示例1】? (xx安徽)在極坐標系中，點到圓ρ＝2cos θ的圓心的距離為 (　　)． A．2 B. C. D. 【示例2】? (xx廣東)在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cos θ＋sin θ) ＝1與ρ(sin θ－cos θ)＝1的交點的極坐標為________．