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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用》教案 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 1． 本小節(jié)的重點(diǎn)是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.教學(xué)時(shí)應(yīng)對(duì)書寫與表達(dá)提出嚴(yán)格的要求.尤其是在證明數(shù)或式的整除性時(shí)，更要注意說理清楚，并以此作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的一個(gè)抓手. 2． 本小節(jié)的難點(diǎn)是用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除性.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是在授課時(shí)要重點(diǎn)分析“補(bǔ)項(xiàng)法”的證明思路：通過補(bǔ)項(xiàng)為運(yùn)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件.不要讓學(xué)生單純機(jī)械地模仿.另外還常用作差方法，通過相減后，證明差能被某數(shù)（或某式）整除,再利用歸納假設(shè)可得當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式； 2．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)或式的整除； 3．進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟與數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì). 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)： 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除. 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 運(yùn)用與深化(例題解析、鞏固練習(xí)、課后習(xí)題) 數(shù)式整除 實(shí)例引入 等式證明 復(fù)習(xí)回顧 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 1．復(fù)習(xí)回顧： 用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟，是缺一不可的.如果只完成步驟（i）而缺少步驟（ii）不能說明命題對(duì)從n0開始的一切正整數(shù)n都成立. 如+1，當(dāng)n=0、1、2、3、4時(shí)都是素?cái)?shù)，而n=5時(shí)，+1=6416700417不是素?cái)?shù). 同樣只有步驟（ii）而缺少步驟（i），步驟（ii）的歸納假設(shè)就沒有根據(jù)，遞推就沒有基礎(chǔ)，就可能得出不正確的結(jié)論. 如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a為任何數(shù)） 2．講授新課: 用數(shù)學(xué)歸納證明等式 例1:用數(shù)學(xué)歸納法證明:14+27+310+…+n（3n+1）=n（n+1）2 例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1） [說明]上述兩例師生共同討論完成.完成兩例討論后向?qū)W生指出： (1)由于證明當(dāng)n=k+1等式成立時(shí)，需證明的結(jié)論形式是已知的，只要將原等式中的n換成k+1即得，因此學(xué)生在證明過程中，證明步驟必須完整，不能跳步驟；（2）有些等式證明題在證明當(dāng)n=k+1正確時(shí)，需用恒等變形，技巧較高，對(duì)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說完成很困難，這時(shí)可通過左、右邊的多項(xiàng)式乘法來完成. 如 求證：… （nN*）. 證明： （1） 當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1（4-1）=1等式成立. （2） 假設(shè)當(dāng)n=k（kN*）時(shí)等式成立，即, 則n=k+1時(shí)， 又 即等式成立. 由（1）（2）知，等式對(duì)任何nN*都成立. (3) 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式成立時(shí)，在逆推過程中應(yīng)注意等式左右的項(xiàng)數(shù)的變化.由當(dāng)n=k到n=k+1時(shí)項(xiàng)數(shù)的增加量可能多于一項(xiàng)，各項(xiàng)也因n的變化而變化,因此要根據(jù)等式的特點(diǎn)仔細(xì)分析項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)的變化情況. 例如：求證： （*）. 例3 （補(bǔ)充）在1與9之間插入2n-1個(gè)正數(shù)數(shù)，使1，，9成等比數(shù)列，在1與9之間又插入2n-1個(gè)正數(shù)，使1，，9成等差數(shù)列.設(shè)，, （1） 求、 （2） 設(shè)，是否存在最大自然數(shù)m，使對(duì)于nN*都有被m整除，試說明理由. 解：（1） （2） 當(dāng)n=1時(shí)，=64 當(dāng)n=2時(shí)，=320=564 當(dāng)n=3時(shí)，=3664 由此猜想：最大自然數(shù)m=64 用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想： 1.當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立; 2.假設(shè)當(dāng)n=k（kN*）時(shí)成立，即能被64整除， 則當(dāng)n=k+1時(shí)， 由歸納假設(shè)知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除. 由1、2知，能被64整除（nN*）. 又因?yàn)?，所以存在最大自然?shù)64，使能被64整除（nN*）. [說明]本例是較難的數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法的綜合題.在第（1）小題的解題過程中充分利用了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，起到了對(duì)等差、等比數(shù)列知識(shí)的復(fù)習(xí)作用.本例也可以先將等差、等比數(shù)列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可讓學(xué)生完成），同時(shí)本例的第（2）小題既復(fù)習(xí)了用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)式的整除性，又為進(jìn)一步掌握歸納—猜測(cè)—論證的問題提供了保證，是否選用本題教師可根據(jù)學(xué)校學(xué)生的實(shí)際數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平?jīng)Q定. 3.鞏固練習(xí): 練習(xí)7.6(2)1,2,3 4．課后習(xí)題： 習(xí)題7.5 A組 習(xí)題7.5 B組 5.課堂小結(jié): （1）本節(jié)中心內(nèi)容是數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關(guān)的命題； （2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明; 歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結(jié)論的推理方法，它屬于歸納推理.而數(shù)學(xué)歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是！ (3)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結(jié)；數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟： ①驗(yàn)證P()成立. ②假設(shè)P(k)成立(k∈N*且k≥)，推證P(k+1)成立. 數(shù)學(xué)歸納法的核心，是在驗(yàn)證P()正確的基礎(chǔ)上，證明P(n)的正確具有遞推性(n≥).第一步是遞推的基礎(chǔ)或起點(diǎn)，第二步是遞推的依據(jù).因此，兩步缺一不可，證明中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是關(guān)鍵. (4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想從這節(jié)課的學(xué)習(xí)中你有何感想？你能否體會(huì)到數(shù)學(xué)歸納法的魅力？ 六．教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題，等等．為此，我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)． 數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開始，到對(duì)不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試． 2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究?jī)?nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究． 3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件． 即n=k+1時(shí)等式也成立． 這是不正確的．因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為 以上理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向．