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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊 9.4《三階行列式》教案（3） 滬教版 一、教學(xué)內(nèi)容分析 三階行列式是二階行列式的后繼學(xué)習(xí)，也是后續(xù)教材學(xué)習(xí)中一個(gè)有力的工具．本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要圍繞三階行列式展開的對角線法則進(jìn)行，如何理解三階行列式展開的對角線法則和該法則的應(yīng)用是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容． 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 經(jīng)歷觀察、比較、分析、歸納的數(shù)學(xué)類比研究，從二階行列式的符號特征逐步形成三階行列式的符號特征，從二階行列式展開的對角線法則逐步內(nèi)化形成三階行列式展開的對角線法則，感悟類比思想方法在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用． 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 三階行列式展開的對角線法則、三階行列式展開的對角線法則形成的過程． 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 可以計(jì)算三階行列式值的計(jì)算器 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 三階行列式的概念 三階行列式展開的對角線法則 三階行列式的應(yīng)用 總結(jié) 二階行列式 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、情景引入 1．觀察 (1)觀察二階行列式的符號特征： (2)觀察二階行列式的展開式特征： 2．思考 (1)二階行列式算式的符號有哪些特征？ (2)你能總結(jié)一下二階行列式的展開式有哪些特征嗎？ [說明] (1)請學(xué)生觀察二階行列式的符號特征，主要是觀察二階行列式有幾個(gè)元素，這幾個(gè)元素怎么分布？從而可以類比得到三階行列式的符號特征． (2)請學(xué)生觀察和總結(jié)二階行列式的展開式特征，可以提示學(xué)生主要著力于以下幾個(gè)方面： ① 觀察二階行列式的展開式有幾項(xiàng)？ ② 二階行列式的展開式中每一項(xiàng)有幾個(gè)元素相乘；這幾個(gè)元素在行列式中的位置有什么要求嗎？ ③ 二階行列式的元素在其展開式中出現(xiàn)了幾次？每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)一樣嗎？ 二、學(xué)習(xí)新課 1．新課解析 【問題探討】 結(jié)合情景引入的兩個(gè)思考問題，教師可以設(shè)計(jì)一些更加細(xì)化的問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二階行列式的符號特征以及二階行列式的展開式特征，從而類比得到三階行列式相應(yīng)特征．比如教師可以設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問題： 問題一，通過學(xué)習(xí)和觀察，我們發(fā)現(xiàn)二階行列式就是表示四個(gè)數(shù)(或式)的特定算式，這四個(gè)數(shù)分布成兩行兩列的方陣，那么三階行列式符號應(yīng)該有怎么樣的特征呢？ 問題二，說出二階行列式的展開式有哪些特征？ (① 二階行列式的展開式共有兩項(xiàng)；② 二階行列式的展開式中每一項(xiàng)有兩個(gè)元素相乘；③ 相乘的兩個(gè)元素在行列式位于不同行不同列；④ 二階行列式的元素在其展開式中出現(xiàn)了一次，而且每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的．) 問題三，二階行列式展開式就是：主對角線的元素乘積減去副對角線的元素的乘積．我們可以根據(jù)二階行列式展開式的特征類比研究三階行列式按對角線展開后展開式應(yīng)該具有的特征．那么三階行列式的展開式中每一項(xiàng)有幾個(gè)元素相乘？對這些可以相乘的元素有什么要求？ (3個(gè)．這3個(gè)可以相乘的元素應(yīng)該位于不同行不同列．) 問題四，三階行列式的展開式的項(xiàng)中有哪些元素的乘積？二階行列式的元素在其展開式中出現(xiàn)了一次，而且每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的．那么，請你猜測一下在三階行列式的展開式中，每個(gè)元素應(yīng)該出現(xiàn)幾次呢？你猜測的依據(jù)是什么？ [說明] 二階行列式與三階行列式有必然的內(nèi)在聯(lián)系，上述各個(gè)問題的探討可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)三階行列式的概念，并能意識到三階行列式的展開式中必然會出現(xiàn)，，，，，．至于展開式中各項(xiàng)符號的確定，可以組織學(xué)生通過以下實(shí)驗(yàn)嘗試解決． 【實(shí)驗(yàn)探究】 【工作1】 請你對，，，，，，，，分別賦值： ______，______，______，______，______，______，______，______，______， 利用計(jì)算器，計(jì)算得：____________． 【工作2】 填寫下表： 號 符 項(xiàng) 積 乘 各 號 序 = _____ = _____ = _____ = _____ = _____ = _____ 各項(xiàng)之和 猜想1 猜想2 猜想3 … … 【工作3】 由上述計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)三階行列式按對角線展開后展開式應(yīng)該是：____________________________________． [說明] (1)以上實(shí)驗(yàn)主要由學(xué)生合作完成，實(shí)驗(yàn)的目的主要是讓學(xué)生經(jīng)歷猜想預(yù)測、實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)、獲得新知的過程； (2)為了便于研究，教師應(yīng)該提示學(xué)生在完成工作(1)時(shí)，，，，，，，，，應(yīng)該分別賦不同的值，而且不要賦為0； (3)教師可以將學(xué)生分成數(shù)個(gè)學(xué)習(xí)小組，合作實(shí)驗(yàn)研究，并交流研究結(jié)果，最后由教師總結(jié)； (4)通過上述研究，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)： ； (5) 三元一次方程組經(jīng)消元后，得： 因而發(fā)現(xiàn)是符合引入該記號的實(shí)際意義的。 但這個(gè)展開式比較復(fù)雜，教師可以組織學(xué)生討論：你覺得怎樣記憶這個(gè)展開式最好？并逐漸引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如下記憶方法： 如圖，用紅線連接的三個(gè)元素的乘積取“﹢”，用黑線連接的三個(gè)元素的乘積取“﹣”，而這六個(gè)結(jié)果的代數(shù)和就是三階行列式的展開式．這種展開方法叫做三階行列式展開的對角線法則． 2．例題解析 例題1. 用對角線法則展開行列式： (1) (2) (3) 例題2. 把下面的算式寫成一個(gè)三階行列式： (1) (2) 解：(1) (2) [說明] 本例題主要是考查學(xué)生的逆向思維能力，同時(shí)為例題3做好準(zhǔn)備工作．對照三階行列式的展開式，學(xué)生可以寫出正確結(jié)論，但要注意這是兩個(gè)開放性問題，答案并不唯一． 例題3. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，求的面積． [說明] (1)本例題的答案不唯一，除了上述的結(jié)果之外，還可以是，等等； (2)由的面積可知，、、三點(diǎn)共線的充分必要條件為； (3)仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)并不能當(dāng)公式應(yīng)用，原因是行列式的值可能為負(fù)數(shù)．事實(shí)上，當(dāng)位于線段下方時(shí)，該行列式的值就是負(fù)數(shù)．的面積公式應(yīng)該是： 3．問題拓展 比較例題1的三個(gè)行列式，你可以得到些什么樣的結(jié)論？你能證明這些結(jié)論嗎？ 〖參考〗 (1)將一個(gè)三階行列式的行(列)變?yōu)榱?行)所得到的新三階行列式與原行列式相等； (2)交換一個(gè)三階行列式的兩行(或列)，行列式改變符號． [說明] 設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題基于兩方面考慮：一，本問題的解答有助于學(xué)生理解為什么例題2和例題3的答案不唯一；二，新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師“尊重學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平和差異”，不同的學(xué)生對數(shù)學(xué)的需要也不同．因此，我們教師的教學(xué)內(nèi)容不僅要滿足學(xué)生對知識的基礎(chǔ)性需求，而且還有滿足學(xué)生對知識的發(fā)展性需求． 三、鞏固練習(xí) 教材第96頁，練習(xí)9.4（1）． 四、課堂小結(jié) 1、三階行列式的概念； 2、三階行列式展開的對角線法則． 五、作業(yè)布置 根據(jù)學(xué)生的具體情況，對習(xí)題冊中的問題進(jìn)行增減． 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是三階行列式的概念和三階行列式展開的對角線法則．從內(nèi)容上看，這部分知識概念性特別強(qiáng)，如果僅僅按照課本內(nèi)容講授，容易讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)的枯燥乏味，對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是無益的，學(xué)生也很難感受到數(shù)學(xué)的魅力所在．新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡，過程比結(jié)果重要，能力比知識重要．考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過二階行列式的概念和二階行列式展開的對角線法則，我把本節(jié)課的教學(xué)模式設(shè)計(jì)為從學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際知識水平和能力水平出發(fā)，通過深究二階行列式的特征，類比研究三階行列式，讓學(xué)生體會類比思想方法在數(shù)學(xué)研究中的作用，感悟數(shù)學(xué)的無窮魅力．誠然，三階行列式展開的對角線法則比二階行列式展開的對角線法則要復(fù)雜的多，但兩者之間并不是毫無聯(lián)系，所以本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)該著力研究二階行列式展開的對角線法則的特征，并引導(dǎo)學(xué)生將這種特征逐漸遷移到三階行列式展開的對角線法則中．