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2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修本(理科)2.1數(shù)學(xué)歸納法一 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力.能區(qū)分不完全歸納法與完全歸納法；學(xué)會(huì)由特殊到一般的思維方式. 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟. 3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的格式書寫. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析. 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. 學(xué)法指導(dǎo)： 數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)還要注意證明n=k+1命題成立時(shí)，必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件. 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 問(wèn)題1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問(wèn)怎么辦？ 方法一： 方法二： 特點(diǎn)： 問(wèn)題2：在數(shù)列中，，先算出a2，a3，a4.的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式. 解決以上兩個(gè)問(wèn)題用的都是 再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的兩個(gè)資料： 資料1: 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn).但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n=0，1，2，3，4時(shí)的值分別為3,5,17,257,65537作了驗(yàn)證后得到的. 18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了當(dāng)n=5時(shí)， =4 294 967 297=6 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè). 有人說(shuō)，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無(wú)法回答的.但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！ 資料2：f（n）=n2+n+41，當(dāng)n∈N時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？ f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61， f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131， f（10）=151，… f（39）=1 601. 但是f（40）=1 681=412是合數(shù) 算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說(shuō)世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說(shuō)歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來(lái). 對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明 . 用這種思想設(shè)計(jì)出來(lái)的，用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法. 二、學(xué)習(xí)內(nèi)容： 1.歸納法：. 特點(diǎn)： 2.不完全歸納法: 3.完全歸納法: 4.數(shù)學(xué)歸納法: 5.歸納法的基本思想： 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟： 三、例題： 用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n－1)d對(duì)一切n∈N*都成立. 例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n2. 四、課堂練習(xí)： 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n=. 五、小結(jié) ： (1)中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明;(3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結(jié)；(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想 . 六、課后作業(yè)： 1.對(duì)一切自然數(shù)n，猜出使成立的最小自然數(shù)t. 2.平面上有n條直線，其中無(wú)兩條平行，無(wú)三條共點(diǎn)， 問(wèn)：(1)這n條直線共有幾個(gè)交點(diǎn)f(n)？（ (2)這n條直線互相分割成多少條線段（或射線）？(條) (3)平面被這n條直線分割成多少塊區(qū)域？（） 3.已知數(shù)列｛an｝中，a1=, an+1=.求a2, a3, a4，猜測(cè)通項(xiàng)公式an 4.設(shè)數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a1=1，設(shè)Sn=a1+a2+……+an，若對(duì)自然數(shù)n總有Sn+1+Sn=( Sn+1－Sn)２ ，試推測(cè)用n表示Sn的關(guān)系式（S.