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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 計數(shù)原理 第3講　二項式定理教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．能用計數(shù)原理證明二項式定理． 2．會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 二項式定理的核心是其展開式的通項公式，復(fù)習(xí)時要熟練掌握這個公式，注意二項式定理在解決有關(guān)組合數(shù)問題中的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式． 其中的系數(shù)C(r＝0,1，…，n)叫二項式系數(shù)． 式中的Can－rbr叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝Can－rbr. 2．二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n＋1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C. 3．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．即C＝C. (2)增減性與最大值： 二項式系數(shù)C，當(dāng)k＜時，二項式系數(shù)逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的； 當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項Cn取得最大值； 當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項Cn，Cn取得最大值． (3)各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 一個防范 運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負． 一個定理 二項式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識推導(dǎo)二項式定理．因此二項式定理是排列組合知識的發(fā)展和延續(xù)． 兩種應(yīng)用 (1)通項的應(yīng)用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等． (2)展開式的應(yīng)用：利用展開式①可證明與二項式系數(shù)有關(guān)的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計算等． 三條性質(zhì) (1)對稱性； (2)增減性； (3)各項二項式系數(shù)的和； 以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進行歸納總結(jié)． 雙基自測 1．(xx福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于(　　)． A．80 B．40 C．20 D．10 解析　Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr， 當(dāng)r＝2時，T3＝40x2. 答案　B 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝(　　)． A．45 B．55 C．70 D．80 解析　(1＋)5＝1＋5＋10()2＋10()3＋5()4＋()5＝41＋29 由已知條件a＝41，b＝29，則a＋b＝70. 答案　C 3．(人教A版教材習(xí)題改編)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為(　　)． A．9 B．8 C．7 D．6 解析　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8. 答案　B 4．(xx重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 解析　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr 由已知條件35C＝36C 即C＝3C ＝3 整理得n＝7 答案　B 5．(xx安徽)設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________. 解析　Tr＋1＝Cx21－r(－1)r＝(－1)rCx21－r 由題意知a10，a11分別是含x10和x11項的系數(shù)，所以a10＝－C，a11＝C， ∴a10＋a11＝C－C＝0. 答案　0 考向一　二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù) 【例1】?已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項． (1)求n； (2)求含x2的項的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項． [審題視點] 準確記住二項展開式的通項公式是解此類題的關(guān)鍵． 解　通項公式為Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx. (1)∵第6項為常數(shù)項， ∴r＝5時，有＝0，解得n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6)＝2， ∴x2的項的系數(shù)為C(－3)2＝405. (3)由題意知令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈Z，∴k應(yīng)為偶數(shù)，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3項，第6項，第9項為有理項，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2. 求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可． 【訓(xùn)練1】 (xx山東)若6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為________． 解析　二項式6展開式的通項公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，當(dāng)r＝2時，Tr＋1為常數(shù)項，即常數(shù)項是Ca，根據(jù)已知Ca＝60，解得a＝4. 答案　4 考向二　二項式定理中的賦值 【例2】?二項式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項式系數(shù)之和； (2)各項系數(shù)之和； (3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和． [審題視點] 此類問題要仔細觀察，對二項式中的變量正確賦值． 解　設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二項式系數(shù)之和為C＋C19＋C＋…＋C＝29. (2)各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1 (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59， 將兩式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即為所有奇數(shù)項系數(shù)之和． 二項式定理給出的是一個恒等式，對a，b賦予一些特定的值，是解決二項式問題的一種重要思想方法．賦值法是從函數(shù)的角度來應(yīng)用二項式定理，即函數(shù)f(a，b)＝(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.對a，b賦予一定的值，就能得到一個等式． 【訓(xùn)練2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解　令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(①＋②)2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 考向三　二項式的和與積 【例3】?(1＋2x)3(1－x)4展開式中x項的系數(shù)為________． [審題視點] 求多個二項式積的某項系數(shù)，要會轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式． 解析　(1＋2x)3(1－x)4展開式中的x項的系數(shù)為兩個因式相乘而得到，即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數(shù)項，它為C(2x)0C(－x)1＋C(2x)1C14(－x)0，其系數(shù)為C03C(－1)＋C2＝－4＋6＝2. 答案　2 對于求多個二項式的和或積的展開式中某項的 系數(shù)問題，要注意排列、組合知識的運用，還要注意有關(guān)指數(shù)的運算性質(zhì)．二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并其中的兩項或進行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解． 【訓(xùn)練3】 (xx廣東)x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 解析　原問題等價于求7的展開式中x3的系數(shù)，7的通項Tr＋1＝Cx7－rr＝(－2)rCx7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數(shù)為(－2)2C＝84，即x7的展開式中x4的系數(shù)為84. 答案　84 　　 難點突破23——排列組合在二項展開式中的應(yīng)用 (a＋b)n展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定． (1)次數(shù)的確定 從n個相同的a＋b中各取一個(a或b)乘起來，可以構(gòu)成展開式中的一項，展開式中項的形式是mapbq， 其中p∈N，q∈N，p＋q＝n. (2)項數(shù)的確定 滿足條件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)共n＋1組． 即將(a＋b)n展開共2n項，合并同類項后共n＋1項． (3)系數(shù)的確定 展開式中含apbq(p＋q＝n)項的系數(shù)為C(即p個a，q個b的排列數(shù))因此(a＋b)n展開式中的通項是 Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n) (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Cbn這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等． 【示例】? 若多項式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，則a9＝(　　)． A．9 B．10 C．－9 D．－10