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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第3講　幾何概型教案 理 新人教版 【xx年高考會(huì)這樣考】 以選擇題或填空題的形式考查與長度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對(duì)本內(nèi)容的熱點(diǎn)考法，特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點(diǎn)內(nèi)容．新課標(biāo)高考對(duì)幾何概型的要求較低，因此高考試卷中此類試題以低、中檔題為主． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，準(zhǔn)確理解幾何概型的意義、構(gòu)造出度量區(qū)域是用幾何概型求隨機(jī)事件概率的關(guān)鍵，復(fù)習(xí)時(shí)要多反思和多領(lǐng)悟，掌握方法要領(lǐng)．同時(shí)要加強(qiáng)與平面區(qū)域、空間幾何體、平面向量、函數(shù)結(jié)合等方面的訓(xùn)練． 基礎(chǔ)梳理 1．幾何概型 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型． 2．幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式 P(A)＝. 3．要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性． 一條規(guī)律 對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法． 兩種類型 (1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)． (2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)在線段[0,3]上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為(　　)． A. B. C. D．1 解析　點(diǎn)坐標(biāo)小于1的區(qū)間長度為1，故所求其概率為. 答案　B 2．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　以時(shí)間的長短進(jìn)行度量，故P＝＝. 答案　B 3．(xx衡陽模擬)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　)． 解析　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， ∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 答案　A 4.某人隨機(jī)地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為(　　)． A. B. C. D．以上全錯(cuò) 解析　設(shè)正三角形邊長為a，則外接圓半徑r＝a＝a， ∴所求概率P＝＝. 答案　B 5．在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為________． 解析　如圖，這是一個(gè)長度型的幾何概型題，所求概率P＝＝. 答案　　 考向一　與長度有關(guān)的幾何概型 【例1】?點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)．若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長度小于1的概率為________． [審題視點(diǎn)] 用劣弧的長度與圓周長的比值． 解析　 如右圖，設(shè)A、M、N為圓周的三等分點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)取在優(yōu)弧上時(shí)，對(duì)劣弧來說，其長度小于1，故其概率為. 答案　 將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解． 【訓(xùn)練1】 一只螞蟻在三邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為________． 解析　如圖，該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的長度為：1＋2＋3＝6，故所求概率為P＝＝. 答案　 考向二　與面積有關(guān)的幾何概型 【例2】?(xx華東師大附中模擬)設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． [審題視點(diǎn)] (1)為古典概型，利用列舉法求概率． (2)建立ab平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型． 解　設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”． 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率為P(A)＝＝. 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，利用公式可求． 【訓(xùn)練2】 (xx福建)如圖， 矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　S△ABE＝|AB||AD|，S矩形ABCD＝|AB||AD|. 故所求概率P＝＝. 答案　C 考向三　與角度、體積有關(guān)的幾何概型 【例3】?在Rt△ABC中，∠A＝30，過直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率． [審題視點(diǎn)] 如圖所示， 因?yàn)檫^一點(diǎn)作射線是均勻的，因而應(yīng)把在∠ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能的，基本事件是射線CM落在∠ACB內(nèi)任一處，使|AM|＞|AC|的概率只與∠BCC′的大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件． 解　設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|＞|AC|”．在AB上取點(diǎn)C′使|AC′|＝|AC|，因?yàn)椤鰽CC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝＝75， μA＝90－75＝15，μΩ＝90， 所以P(D)＝＝. 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測(cè)度”，如本例以角度為“測(cè)度”．因?yàn)樯渚€CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置是等可能的．若以長度為“測(cè)度”，就是錯(cuò)誤的，因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的． 【訓(xùn)練3】 (xx長沙模擬)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． 解析　點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A，則P(A)＝＝1－. 答案　1－ 　　 規(guī)范解答21——如何解決概率與函數(shù)的綜合問題 【問題研究】 所謂概率，就是某種事件發(fā)生的可能性的大小，而“事件”可以是日常生活中常見的例子，也可以是有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如以函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)為背景，設(shè)置概型，提出問題，考查考生綜合分析問題、解決問題的能力. 【解決方案】 首先認(rèn)真閱讀題目，把其中的有用信息向我們熟悉的知識(shí)方面轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，然后再利用概率的知識(shí)去解決. 【示例】? (本題滿分12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1. (1)設(shè)集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率； (2)設(shè)點(diǎn)(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)， 求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 本題以“二次函數(shù)的單調(diào)性”為背景，首先寫出事件發(fā)生所滿足的條件，在第(1)問中，給出了有限個(gè)數(shù)據(jù)，從而判斷是古典概型問題，利用列舉法寫出事件發(fā)生的總數(shù)以及滿足條件的事件發(fā)生的個(gè)數(shù)，再利用公式求之；第(2)問中，a和b有無限個(gè)數(shù)據(jù)，所以是幾何概型問題，首先計(jì)算事件發(fā)生的總數(shù)與滿足條件的事件發(fā)生的個(gè)數(shù)的測(cè)度，再利用公式求之． [解答示范] (1)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且≤1，即2b≤a.(2分) 若a＝1，則b＝－1； 若a＝2，則b＝－1或1； 若a＝3，則b＝－1或1. ∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1＋2＋2＝5.(5分) ∴所求事件的概率為＝.(6分) (2)由(1)，知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時(shí)， 函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，(8分) 依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? ，構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠郑? 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為，(10分) ∴所求事件的概率為P＝＝.(12分) 本題中先將f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2b≤a且a＞0，然后再聯(lián)系已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的逐步遷移，這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得考生注意，另外，對(duì)于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在某一區(qū)間[m，＋∞)上單調(diào)遞增的充要條件是 切勿漏掉a＞0. 【試一試】 已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0. (1)若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù)，求方程有兩正根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程沒有實(shí)根的概率． [嘗試解答]　(1)基本事件(a，b)共有36個(gè)，方程有正根等價(jià)于a－2＞0,16－b2＞0，Δ≥0， 即a＞2，－4＜b＜4，(a－2)2＋b2≥16. 設(shè)“方程有兩個(gè)正根”為事件A，則事件A包含的基本事件為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4個(gè)， 故所求的概率為P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}， 其面積為S(Ω)＝16， 設(shè)“方程無實(shí)根”為事件B，則構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)? B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2＜16}， 其面積為S(B)＝π42＝4π， 故所求的概率為P(B)＝＝