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2019-2020年高中數(shù)學(xué)選修本(理科)導(dǎo)數(shù)的概念--瞬時(shí)速度 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度的概念. (二)能力訓(xùn)練要求 1.掌握用極限給瞬時(shí)速度下的精確的定義. 2.會(huì)運(yùn)用瞬時(shí)速度的定義，求物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度． 3.理解足夠小、足夠短的含義. (三)德育滲透目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力. 2.平均速度與瞬時(shí)速度是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的、辯證統(tǒng)一的思想． 3.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度. ●教學(xué)重點(diǎn) 知道了物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，用極限來定義物體的瞬時(shí)速度，學(xué)會(huì)求物體的瞬時(shí)速度. ●教學(xué)難點(diǎn) 理解物體的瞬時(shí)速度的定義. ●教學(xué)方法 啟發(fā)式 由高中物理上給瞬時(shí)速度下的定義，以及進(jìn)行直觀的描述，如何利用已學(xué)過的極限知識(shí)，進(jìn)行精確地刻劃呢？讓學(xué)生自己根據(jù)極限的定義，來定義物體的瞬時(shí)速度. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］我們物理中學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)了物體的瞬時(shí)速度的有關(guān)知識(shí)，現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)的角度重新來認(rèn)識(shí)一下瞬時(shí)速度. Ⅱ.講授新課 ［師］物理課本上瞬時(shí)速度是如何定義的？ ［生］運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過某一時(shí)刻(某一位置)的速度，叫做瞬時(shí)速度. ［師］那怎么來理解瞬時(shí)速度？物理課本上有具體的闡述嗎？ ［生］有，要確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度，從A點(diǎn)起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個(gè)平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點(diǎn)的瞬時(shí)速度. ［師］那一小段的位移AA1，有什么要求嗎？是不是越小越好？ ［生］是越小越好，當(dāng)位移足夠小時(shí)，物體在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點(diǎn)的瞬時(shí)速度了. ［師］我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時(shí)速度的知識(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用函數(shù)表示為s=s(t)，也叫做物體的運(yùn)動(dòng)方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個(gè)時(shí)刻t0，t0+Δt，現(xiàn)在問從t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是多少？ ［生］位移為s(t0+Δt)－s(t0) 平均速度為 (一邊講一邊老師板書) ［師］根據(jù)對瞬時(shí)速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，現(xiàn)在位移由時(shí)間t來表示，也就是說時(shí)間足夠短時(shí)，平均速度就等于瞬時(shí)速度.怎么來刻劃時(shí)間足夠短呢？現(xiàn)在是從t0到t0+ Δt，這段時(shí)間是Δt. ［生］時(shí)間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0. ［師］當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度就越接近于瞬時(shí)速度，用極限如何表示瞬時(shí)速度呢？ ［生］. ［師］所以當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度. ［板書］s=s(t). 從t0到t0+Δt的位移(位置增量) Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt稱時(shí)間增量) 平均速度 瞬時(shí)速度 ［師］下面我們用具體的例子來驗(yàn)證，比較一下. ［板書］物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程s=s(t)=gt2，其中位移單位m，時(shí)間單位s，g=9.8 m/s2. 求t=3這一時(shí)段的速度. 解：取一小段時(shí)間［3，3+Δt］ 位置改變量Δs=g(3+Δt)2－g32=(6+Δt)Δt 平均速度g(6+Δt) 瞬時(shí)速度 由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式得v=v0+at=gt=g3=3g=29.4 m/s (用兩種方法算結(jié)論是相同的) ［板書］ 1.物體的瞬時(shí)速度 如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物體在t到t+Δt這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)Δt→0時(shí)平均速度的極限，即 v=. 2.例題 已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)，(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)，(1)當(dāng)t=2， Δt=0.01時(shí)，求. (2)當(dāng)t=2，Δt=0.001時(shí)，求. (3)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度. ［師生共析］Δs即位移的改變量，Δt即時(shí)間的改變量，即平均速度，當(dāng)Δt越小，求出的越接近某時(shí)刻的速度. ［學(xué)生板演］ 解：∵=4t+2Δt ∴(1)當(dāng)t=2，Δt=0.01時(shí)， =42+20.01=8.02 cm/s (2)當(dāng)t=2，Δt=0.001時(shí)， =42+20.001=8.002 cm/s (3)v=(4t+2Δt)=4t=42=8 cm/s ［師］當(dāng)t=2，Δt=－0.01，Δt=－0.001…時(shí)，的值會(huì)怎樣？ (板書) 的值也趨近于t=2時(shí)的瞬時(shí)速度8. ∴Δt→0時(shí)=8 Ⅲ.課堂練習(xí) 1.一球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5時(shí)的瞬時(shí)速度，并與運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的結(jié)果進(jìn)行比較. ［分析］要運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式v=v0+at，首先要求出初速度v0與加速度a，可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程來求，自由滾下，v0=0， ∵s=t2，∴a=1，a=2. 解：①瞬時(shí)速度v=(10+Δt)=10 m/s. ②∵球沿斜面自由滾下，∴v0=0 m/s ∵a=1，∴a=2 m/s2 ∴瞬時(shí)速度v=2t=25=10 m/s ∴用兩種方法求得的結(jié)果相同. 2.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)，求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度，并與運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的結(jié)果進(jìn)行比較. 解：①瞬時(shí)速度v= =(8+2Δt)=8 cm/s ②∵s=2t2+3=s0+v0t+at2 ∴v0=0 cm/s ∵a=2， ∴a=4 cm/s2 ∴瞬時(shí)速度v=4t=42=8 cm/s. ∴用兩種方法求得的結(jié)果相同. ［師］求瞬時(shí)速度，也就轉(zhuǎn)化為求極限，瞬時(shí)速度我們是通過在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限來定義的，只要知道了物體的運(yùn)動(dòng)方程，代入公式就可以求出瞬時(shí)速度了，而要運(yùn)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式就要運(yùn)用一些物理中的一些簡單的知識(shí)了.運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來解決物理方面的問題，是不是方便多了.所以數(shù)學(xué)是用來解決其他一些學(xué)科，比如物理、化學(xué)等方面問題的一種工具，我們這一節(jié)課學(xué)的內(nèi)容以及上一節(jié)課學(xué)的是我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的一些實(shí)際背景. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) ［師］這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了什么？要記住什么？ ［生］這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的概念，它是用平均速度的極限來定義的，主要記住公式瞬時(shí)速度 v= Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本，P116，習(xí)題3.1 1、2 (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P113~114，3.導(dǎo)數(shù)的概念 2.預(yù)習(xí)提綱： (1)導(dǎo)數(shù)的概念、記法. (2)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法. (3)導(dǎo)函數(shù)的概念. (4)導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系. ●板書設(shè)計(jì) 導(dǎo)數(shù)的概念--瞬時(shí)速度 s=s(t). 從t0到t0+Δt的位移. 平均速度. 瞬時(shí)速度. 物體自由落體運(yùn)動(dòng). ①列表，極限求瞬時(shí)速度. ②由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式求物體的瞬時(shí)速度概念： 例題 已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)， (1)當(dāng)t=2，Δt=0.01，求，(2)當(dāng)t=2， Δt=0.001，求，(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度. 課堂練習(xí) 1.一球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程s=s(t)=t2(m/s)，求小球在t=5時(shí)的瞬時(shí)速度. 并用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的結(jié)果進(jìn)行比較. 2.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)(cm/s)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度，并用勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度公式求得的結(jié)果進(jìn)行比較. 課后作業(yè)