2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù).doc
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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第6講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 最新考綱 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用；2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象通過的特殊點；3.知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù). 知 識 梳 理 1．對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質與運算性質 (1)對數(shù)的性質 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)； ③零和負數(shù)沒有對數(shù)． (2)對數(shù)的運算性質(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)． (3)對數(shù)的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logablogbclogcd＝logad. 3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 a＞1 0＜a＜1 圖象 定義域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性質 (3)過點(1,0)，即x＝1時，y＝0 (4)當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0 (5)當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函數(shù) (7)在(0，＋∞)上是減函數(shù) 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“”) 精彩PPT展示 (1)loga(b＋c)＝logab＋logac() (2)log2x2＝2log2x() (3)函數(shù)y＝logx的定義域為{x|x＞}() (4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限．(√) 2．(xx四川卷)已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，則下列等式一定成立的是( ) A．d＝ac B．a(chǎn)＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 解析 由已知得b＝5a，b＝10c,5d＝10， ∴5a＝10c,5d＝10，同時取以10為底的對數(shù)可得， alg 5＝c，dlg 5＝1，∴＝，即a＝cd. 答案 B 3．(xx安徽卷)＋log3＋log3＝________. 解析?。玪og3＋log3＝＋log3＝－3＋log31＝3＋0＝. 答案 4．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________． 解析 函數(shù)f(x)的定義域為， 令t＝2x＋1(t>0)． 因為y＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)， t＝2x＋1在(－，＋∞)上為增函數(shù)， 所以函數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是. 答案 5．(人教A必修1P75B2改編)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析 當0＜a＜1時，loga＜logaa＝1， ∴0＜a＜； 當a＞1時，loga＜logaa＝1，∴a＞1. 答案 ∪(1，＋∞) 考點一 對數(shù)的運算 【例1】 (1)(log29)(log34)＝( ) A. B． C．2 D．4 (2)lg 25＋lg 2lg 50＋(lg 2)2＝________. 解析 (1)(log29)(log34)＝＝＝4. (2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)D (2)2 規(guī)律方法 在對數(shù)運算中，要熟練掌握對數(shù)式的定義，靈活使用對數(shù)的運算性質、換底公式和對數(shù)恒等式對式子進行恒等變形，多個對數(shù)式要盡量化成同底的形式． 【訓練1】 (1)設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于( ) A. B．10 C．20 D．100 (2)lg ＋lg 的值是________． 解析 (1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m， ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ∴m＝. (2)原式＝lg ＝lg 10＝1. 答案 (1)A (2)1 考點二 對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用 【例2】 (1)(xx福建卷)若函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是( ) (2)(xx石家莊模擬)設方程10x＝|lg(－x)|的兩個根分別為x1，x2，則( ) A．x1x2＜0 B．x1x2＝1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 解析 (1)由y＝logax的圖象可知loga3＝1，所以a＝3.對于選項A：y＝3－x＝x為減函數(shù)，A錯誤；對于選項B：y＝x3，顯然滿足條件；對于選項C：y＝(－x)3＝－x3在R上為減函數(shù)，C錯誤；對于選項D：y＝log3(－x)，當x＝－3時，y＝1，D錯誤．故選B. (2)構造函數(shù)y＝10x與y＝|lg(－x)|，并作出它們的圖象，如圖所示． 因為x1，x2是10x＝|lg(－x)|的兩個根，則兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標分別為x1，x2，不妨設x2＜－1，－1＜x1＜0，則10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因為10x2－10x1＜0，所以lg(x1x2)＜0， 即0＜x1x2＜1，故選D. 答案 (1)B (2)D 規(guī)律方法 在解決對數(shù)函數(shù)圖象的相關問題時，要注意：(1)底數(shù)a的值對函數(shù)圖象的影響；(2)增強數(shù)形結合的解題意識，使抽象問題具體化． 【訓練2】 已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是( ) A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1 C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1 解析 由函數(shù)圖象可知，f(x)在R上單調(diào)遞增，故a＞1.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1＜logab＜0，解得＜b＜1.綜上有0＜＜b＜1. 答案 A 考點三 對數(shù)函數(shù)的性質及其應用 【例3】 (1)設a＝log32，b＝log52，c＝log23，則( ) A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b (2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為( ) A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析 (1)∵＜2＜3,1＜2＜，3＞2，∴l(xiāng)og3＜log32＜log33，log51＜log5 2＜log5，log23＞log22， ∴＜a＜1,0＜b＜，c＞1，∴c＞a＞b. (2)令函數(shù)g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函數(shù)在(－∞，1]上遞減，則有即解得1≤a＜2，即a∈[1,2)，故選A. 答案 (1)D (2)A 規(guī)律方法 在解決與對數(shù)函數(shù)相關的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解．在利用單調(diào)性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件． 【訓練3】 (1)設a，b，c均為正數(shù)，且2a＝a，b＝b，c＝log2c，則( ) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c (2)設函數(shù)f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 解析 (1)∵a＞0，∴2a＞1，∴a＞1，∴0＜a＜. 又∵b＞0，∴0＜b＜1，∴0＜b＜1，∴＜b＜1. 又∵c＞0，∴l(xiāng)og2c＞0，∴c＞1， ∴0＜a＜＜b＜1＜c，故選A. (2)由題意可得 或 解得a＞1或－1＜a＜0. 答案 (1)A (2)C [思想方法] 1．研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，要注意底數(shù)a＞1和0＜a＜1的兩種不同情況．有些復雜的問題，借助于函數(shù)圖象來解決，就變得簡單了，這是數(shù)形結合思想的重要體現(xiàn)． 2．利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決． 3．多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定． [易錯防范] 1．在運算性質logaMn＝nlogaM中，要特別注意條件，在無M＞0的條件下應為logaMn＝nloga|M|(n∈N＋，且n為偶數(shù))． 2．解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．設a，b，c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是( ) A．logablogcb＝logca B．logablogca＝logcb C．loga(bc)＝logablogac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 解析 logablogca＝logab＝＝logcb，故選B. 答案 B 2．(xx鄭州一模)函數(shù)y＝lg|x－1|的圖象是( ) 解析 當x＝1時，函數(shù)無意義，故排除B，D.又當x＝2或0時，y＝0，所以A項符合題意． 答案 A 3．(xx安徽卷)設a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，則( ) A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b 解析 由3＜7＜9得log33＜log37＜log39，∴1＜a＜2，由21.1＞21＝2得b＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c＜1，因此c＜a＜b，故選B. 答案 B 4．函數(shù)f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( ) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(0，) D．(3，＋∞) 解析 由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3為增函數(shù)，∴若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)＝logau必為增函數(shù)，因此a＞1.又y＝ax－3在[1,3]上恒為正，∴a－3＞0，即a＞3，故選D. 答案 D 5．(xx長春質檢)已知函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則( ) A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2) 解析 因為f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．又函數(shù)f(x)＝loga|x|為偶函數(shù)，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)． 答案 B 二、填空題 6．(xx陜西卷)已知4a＝2，lg x＝a，則x＝________. 解析 ∵4a＝2，∴a＝log42＝， ∴l(xiāng)g x＝，∴x＝＝. 答案 7．函數(shù)y＝ (3x－a)的定義域是，則a＝______. 解析 要使函數(shù)有意義，則3x－a＞0，即x＞， ∴＝，∴a＝2. 答案 2 8．(xx淄博一模)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝log2x，則滿足不等式f(x)＞0的x的取值范圍是________． 解析 由題意知y＝f(x)的圖象如圖所示， 則f(x)＞0的x的取值范圍為(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案 (－1,0)∪(1，＋∞) 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝lg， (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (3)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 解 (1)要使f(x)有意義，需滿足＞0， 即或解得－1＜x＜1，故函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)． (2)由(1)知f(x)的定義域為(－1,1)，關于坐標原點對稱，又f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)． (3)由(1)知f(x)的定義域為(－1,1)．設－1＜x1＜x2＜1，則f(x1)－f(x2)＝lg－lg＝lg＝lg. ∵－1＜x1＜x2＜1，∴1－x1x2＋x2－x1＞1－x1x2－(x2－x1)＝(1＋x1)(1－x2)＞0， ∴＞1， ∴l(xiāng)g＞0， 即f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)． 10．設x∈[2,8]時，函數(shù)f(x)＝loga(ax)loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值． 解 由題意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2) ＝＝2－. 當f(x)取最小值－時，logax＝－. 又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)． ∵f(x)是關于logax的二次函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)的最大值必在x＝2或x＝8時取得． 若2－＝1，則a＝2－， 此時f(x)取得最小值時，x＝－ ＝?[2,8]，舍去． 若2－＝1，則a＝， 此時f(x)取得最小值時，x＝－ ＝2∈[2,8]，符合題意， ∴a＝. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 11．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝( ) A．1 B． C．－1 D．－ 解析 由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，因為4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f＝－＝－1. 答案 C 12．當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是( ) A. B． C．(1，) D．(，2) 解析 由題意得，當0＜a＜1時，要使得4x＜logax，即當0＜x≤時，函數(shù)y＝4x的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的下方． 又當x＝時，4＝2，即函數(shù)y＝4x的圖象過點，把點代入函數(shù)y＝logax，得a＝，若函數(shù)y＝4x的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的下方，則需＜a＜1(如圖所示)． 當a＞1時，不符合題意，舍去． 所以實數(shù)a的取值范圍是. 答案 B 13．(xx湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，則ab的取值范圍是________． 解析 由題意可知ln＋ln＝0， 即ln＝0，從而＝1，化簡得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋， 又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜， 故0＜－2＋＜. 答案 14．已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2. (1)求f＋f的值； (2)當x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由． 解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2 ＝log21＝0.∴f＋f＝0. (2)f(x)的定義域為(－1,1)， ∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)， 當x1
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