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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點難點講解 奇偶性與單調(diào)性（二）教案 舊人教版
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識.
●難點磁場
(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.
●案例探究
［例1］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.
命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.
知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.
錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域.
技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進行集合運算和求最值.
解：由且x≠0,故0
3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,綜上得2f(0)對所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.
命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬★★★★★題目.
知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.
錯解分析：考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法.
技巧與方法：主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.
解：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，且在［0，+∞)上是增函數(shù)，∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.
設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在［0，1］上的最小值為正.
∴當(dāng)<0,即m<0時，g(0)=2m－2>0m>1與m<0不符；
當(dāng)0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－2>0
4－21,即m>2時，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2
綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.
●錦囊妙計
本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：
(1)運用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.
(2)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應(yīng)用題中的最值問題.
●殲滅難點訓(xùn)練
一、選擇題
1.(★★★★)設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)等于( )
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
2.(★★★★)已知定義域為(－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是( )
A.(2，3) B.(3，)
C.(2，4) D.(－2，3)
二、填空題
3.(★★★★)若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.
4.(★★★★)如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________.
三、解答題
5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.
6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函數(shù)，
(1)求a的值；
(2)求f(x)的反函數(shù)f－1(x);
(3)對任意給定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.
7.(★★★★)定義在(－∞,4］上的減函數(shù)f(x)滿足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)對任意x∈R都成立，求實數(shù)m的取值范圍.
8.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.
(1)試求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)問函數(shù)f(x)圖象上是否存在關(guān)于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
參考答案
難點磁場
解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).
又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，
∴f(x)在(－∞,0）上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0
∴不等式可化為log2(x2+5x+4)≥2 ①
或log2(x2+5x+4)≤－2 ②
由①得x2+5x+4≥4
∴x≤－5或x≥0 ③
由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④
由③④得原不等式的解集為
{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}
殲滅難點訓(xùn)練
一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=
f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.
答案：B
2.解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.
∴f(a－3)＜f(a2－9).
∴ ∴a∈(2,3).
答案：A
二、3.解析：由題意可知：xf(x)＜0
∴x∈(－3,0)∪(0,3)
答案：(－3，0）∪(0，3）
4.解析：∵f(x)為R上的奇函數(shù)
∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函數(shù)且－>
－>－1.
∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).
答案：f()＜f()＜f(1)
三、5.解：函數(shù)f(x)在(－∞,0）上是增函數(shù)，設(shè)x1＜x2＜0,因為f(x)是偶函數(shù)，所以
f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假設(shè)可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上是增函數(shù).
6.解：(1）a=1.
(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1.
(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴當(dāng)0＜k＜2時，不等式解集為{x|1－k＜x＜1;當(dāng)k≥2時，不等式解集為{x|－1＜x＜1.
7.解：，對x∈R恒成立,
∴m∈［,3］∪{}.
8.解：(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x),即
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.
(2)設(shè)存在一點(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于(1，0）的對稱點(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，則
消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1.
∴y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1－,－2)關(guān)于(1，0)對稱.
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