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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 9.4直線、圓的位置關(guān)系學(xué)案 理 蘇教版
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.在學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．
自主梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系有三種：________、________、________.
判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法：
①代數(shù)法：利用判別式Δ，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后，計算判別式Δ＝b2－4ac
②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：
d
r?________.
2．圓的切線方程
若圓的方程為x2＋y2＝r2，點P(x0，y0)在圓上，則過P點且與圓x2＋y2＝r2相切的切線方程為______________________．
注：點P必須在圓x2＋y2＝r2上．
經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上點P(x0，y0)的切線方程為________________________．
3．計算直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算．
(2)代數(shù)方法
運用韋達(dá)定理及弦長公式
AB＝|xA－xB|＝.
說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．
4．圓與圓的位置關(guān)系
(1)圓與圓的位置關(guān)系可分為五種：________、________、________、________、________.
判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法：
(幾何法)設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2 (r1≠r2)，則O1O2>r1＋r2________；O1O2＝r1＋r2________；|r1－r2|0)的公共弦的長為2，則a＝________.
6．已知點A是圓C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一點，A點關(guān)于直線x＋2y－1＝0的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a＝________.
7．設(shè)直線3x＋4y－5＝0與圓C1：x2＋y2＝4交于A，B兩點，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧上，則圓C2的半徑的最大值是________．
8．(xx全國Ⅰ改編)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為____________．
二、解答題(共42分)
9．(14分)圓x2＋y2＝8內(nèi)一點P(－1,2)，過點P的直線l的傾斜角為α，直線l交圓于A、B兩點．
(1)當(dāng)α＝時，求AB的長；
(2)當(dāng)弦AB被點P平分時，求直線l的方程．
10．(14分)自點A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程．
11．(14分)已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值時兩圓外切？
(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？
(3)m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．
學(xué)案48 直線、圓的位置關(guān)系
答案
自主梳理
1．相切 相交 相離 ①相交 相切 相離?、谙嘟弧∠嗲小∠嚯x 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 (2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我檢測
1. 2.x－y＋2＝0 3.2 4.2
5．x－y－3＝0
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)過點P作圓的切線有三種類型：
當(dāng)P在圓外時，有2條切線；
當(dāng)P在圓上時，有1條切線；
當(dāng)P在圓內(nèi)時，不存在．
(2)利用待定系數(shù)法設(shè)圓的切線方程時，一定要注意直線方程的存在性，有時要進(jìn)行恰當(dāng)分類．
(3)切線長的求法：
過圓C外一點P作圓C的切線，切點為M，半徑為R，
則PM＝.
解 (1)將圓C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時，設(shè)直線方程為y＝kx，
由＝，解得k＝2，得y＝(2)x.
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時，
設(shè)直線方程為x＋y－a＝0，
由＝，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直線方程為x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
綜上，圓的切線方程為y＝(2＋)x，或y＝(2－)x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由PO＝PM，
得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上．
當(dāng)PM取最小值時，即OP取得最小值，直線OP⊥l，
∴直線OP的方程為2x＋y＝0.
解方程組得點P的坐標(biāo)為.
變式遷移1 解 設(shè)圓切線方程為y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝，
∴k＝，另一條斜率不存在，方程為x＝2.
∴切線方程為x＝2和3x－4y＋6＝0.
圓心C為(1,1)，∴kPC＝＝2，
∴過兩切點的直線斜率為－，又x＝2與圓交于(2,1)，
∴過切點的直線為x＋2y－4＝0.
例2 解題導(dǎo)引 (1)有關(guān)圓的弦長的求法：
已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，點C到l的距離為d，圓的半徑為r.
方法一 代數(shù)法：弦長AB＝|x2－x1|
＝；
方法二 幾何法：弦長AB＝2.
(2)有關(guān)弦的中點問題：
圓心與弦的中點連線和已知直線垂直，利用這條性質(zhì)可確定某些等量關(guān)系．
解 (1)
如圖所示，AB＝4，取AB的中點D，連結(jié)CD，則CD⊥AB，連結(jié)AC、BC，
則AD＝2，AC＝4，
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.
由點C到直線AB的距離公式，得＝2，
解得k＝.
當(dāng)k＝時，直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，
此時方程為x＝0.
∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0.
(2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，
則CD⊥PD，即＝0，
(x＋2，y－6)(x，y－5)＝0，
化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
變式遷移2 (1)證明 由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直線kx－y－4k＋3＝0過定點P(4,3)．
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.
∴直線和圓總有兩個不同的交點．
(2)解 kPC＝＝－1.
可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短，因此過P點斜率為1的直線即為所求，其方程為y－3＝x－4，即x－y－1＝0.PC＝＝，
∴AB＝2＝2.
例3 解題導(dǎo)引 圓和圓的位置關(guān)系，從交點個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷，有時得不到確切的結(jié)論，通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手．
解 對于圓C1與圓C2的方程，經(jīng)配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果C1與C2外切，
則有＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)如果C1與C2內(nèi)含，
則有<3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
得－20，b2＋6b－9<0，
解得－3－30.
即直線AB的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.
變式遷移4 解 (1)∵直線l過點A(0,1)且斜率為k，
∴直線l的方程為y＝kx＋1.
將其代入圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由題意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4(1＋k2)7>0，
得
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