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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習 增分策略 第四篇 第2講 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1．求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根、被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏． 對抽象函數(shù)，只要對應(yīng)關(guān)系相同，括號里整體的取值范圍就完全相同． [問題1]　函數(shù)f(x)＝＋lg(1＋x)的定義域是__________________． 2．用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題． [問題2]　已知f(cos x)＝sin2x，則f(x)＝________. 3．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)． [問題3]　已知函數(shù)f(x)＝那么f()的值為________． 4．判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點對稱，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響． [問題4]　f(x)＝是________函數(shù)(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． 5．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“及”連接，或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． [問題5]　函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間為________________________________________． 6．弄清函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反． (2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)＝0. “f(0)＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件． [問題6]　設(shè)f(x)＝lg是奇函數(shù)，且在x＝0處有意義，則該函數(shù)為(　　) A．(－∞，＋∞)上的減函數(shù) B．(－∞，＋∞)上的增函數(shù) C．(－1,1)上的減函數(shù) D．(－1,1)上的增函數(shù) 7．求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)． (2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)． (3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)． (4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù)． (5)換元法(特別注意新元的范圍)． (6)分離常數(shù)法：適合于一次分式． [問題7]　函數(shù)y＝(x≥0)的值域為________． 8．函數(shù)圖象的幾種常見變換 (1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移——“上加下減”． (2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)對稱變換：①證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上； ②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱； ③函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0 (y軸)對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0(x軸)對稱． [問題8]　函數(shù)f(x)＝的圖象的對稱中心是________． 9．有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，則f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的周期T＝2a. [問題9]　對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x，都有f(x＋2)＝－，若當20且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 則loga(MN)＝logaM＋logaN， loga＝logaM－logaN， logaMn＝nlogaM， 對數(shù)換底公式：logaN＝. 推論：＝logaN；logab＝. (2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象恒過定點(0,1)，對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象恒過定點(1,0)． [問題11]　函數(shù)y＝|log2|x－1||的遞增區(qū)間是________________． 12．冪函數(shù)y＝xα(α∈R) (1)①若α＝1，則y＝x，圖象是直線． ②當α＝0時，y＝x0＝1(x≠0)圖象是除點(0,1)外的直線． ③當0<α<1時，圖象過(0,0)與(1,1)兩點，在第一象限內(nèi)是上凸的． ④當α>1時，在第一象限內(nèi)，圖象是下凸的． (2)增減性：①當α>0時，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝xα是增函數(shù)；②當α<0時，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝xα是減函數(shù)． [問題12]　函數(shù)f(x)＝x－x的零點個數(shù)為________． 13．函數(shù)與方程 (1)對于函數(shù)y＝f(x)，使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．事實上，函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根． (2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時這個c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立． [問題13]　已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函數(shù)y＝g(x)的圖象是一條連續(xù)曲線，則方程f(x)＝0在下面哪個區(qū)間內(nèi)必有實數(shù)根(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 14．求導(dǎo)數(shù)的方法 (1)基本導(dǎo)數(shù)公式：c′＝0 (c為常數(shù))；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)． (2)導(dǎo)數(shù)的四則運算：(uv)′＝u′v′； (uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)． (3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yx′＝y(tǒng)u′ux′. 如求f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù)，令u＝ax＋b，則 (f(ax＋b))′＝f′(u)a. [問題14]　f(x)＝e－2x，則f′(x)＝________. 15．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)． 注意：如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦如此． [問題15]　函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x－1在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 16．導(dǎo)數(shù)為零的點并不一定是極值點，例如：函數(shù)f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點． [問題16]　函數(shù)f(x)＝x4－x3的極值點是________． 17．定積分 運用微積分基本定理求定積分?f(x)dx值的關(guān)鍵是用求導(dǎo)公式逆向求出f(x)的原函數(shù)，應(yīng)熟練掌握以下幾個公式： ?xndx＝|， ?sin xdx＝－cos x|， ?cos xdx＝sin x|， ?dx＝ln x|(b>a>0)， ?axdx＝|. [問題17]　計算定積分?(x2＋sin x)dx＝________. 例1　函數(shù)y＝log(x2－5x＋6)的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________． 錯因分析　忽視對函數(shù)定義域的要求，漏掉條件x2－5x＋6>0. 解析　由x2－5x＋6＞0知{x|x＞3或x＜2}．令u＝x2－5x＋6，則u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數(shù)，∴y＝log(x2－5x＋6)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2)． 答案　(－∞，2) 易錯點2　分段函數(shù)意義理解不準確 例2　定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(2 016)的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 錯因分析　不理解分段函數(shù)的意義，誤認為應(yīng)將x＝2 016，代入log2(1－x)，或者認為得不到f(2 016)的值． 解析　f(2 016)＝f(2 015)－f(2 014)＝f(2 014)－f(2 013)－f(2 014)＝－f(2 013)＝f(2 010)＝f(0)＝0. 答案　B 例3　函數(shù)f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是________________． 錯因分析　只考慮分段函數(shù)各段上函數(shù)值變化情況，忽視對定義域的臨界點處函數(shù)值的要求． 解析　若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有解之得a≤－；若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有解得1＜a≤， 故a的取值范圍是(－∞，－]∪(1，]． 答案　(－∞，－]∪(1，] 易錯點3　函數(shù)零點求解討論不全面 例4　函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個正實數(shù)零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1} C．(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1) 錯因分析　解本題易出現(xiàn)的錯誤有分類討論不全面、函數(shù)零點定理使用不當，如忽視對m＝0的討論，就會錯選C. 解析　當m＝0時，x＝為函數(shù)的零點；當m≠0時，若Δ＝0，即m＝1時，x＝1是函數(shù)唯一的零點，若Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點，這樣函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)零點等價于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個正根一個負根，即mf(0)＜0，即m＜0.故選B. 答案　B 易錯點4　混淆“過點”和“切點” 例5　求過曲線y＝3x－x3上的點(2，－2)的切線方程． 錯因分析　混淆過一點的切線和在一點處切線，錯誤認為(2，－2)一定是切點． 解　設(shè)切點為P(x0，y0)，則點P處的切線方程是 y－y0＝(3－3x)(x－x0)． ∵點A在切線上， ∴－2－y0＝(3－3x)(2－x0)．① 又∵點P在曲線C上， ∴y0＝3x0－x.② 由①、②，解得x0＝2或x0＝－1. 當x0＝2時，P點的坐標為(2，－2)， 切線方程是9x＋y－16＝0. 當x0＝－1時，P點的坐標為(－1，－2)， 切線方程是y＋2＝0. 綜上，過點A的曲線C的切線方程是：9x＋y－16＝0或y＋2＝0. 易錯點5　極值點條件不清 例6　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________. 錯因分析　把f′(x0)＝0作為x0為極值點的充要條件，沒有對a，b值進行驗證，導(dǎo)致增解． 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時，函數(shù)取得極值10，得 聯(lián)立①②得或 當a＝4，b＝－11時， f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 在x＝1兩側(cè)的符號相反，符合題意． 當a＝－3，b＝3時， f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側(cè)的符號相同， 所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去． 綜上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7. 答案　－7 易錯點6　函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系理解不準確 例7　函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 錯因分析　誤認為f′(x)＞0恒成立是f(x)在R上是增函數(shù)的必要條件，漏掉f′(x)＝0的情況． 解析　f(x)＝ax3－x2＋x－5的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3ax2－2x＋1， 由f′(x)≥0，得解得a≥. 答案　a≥ 易錯點7　計算定積分忽視細節(jié) 例8　?dx等于(　　) A．－2ln 2 B．2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2 錯題分析　本題易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是混淆求原函數(shù)和求導(dǎo)數(shù)的運算，誤認為原函數(shù)為y＝()′而找不到答案；二是記錯公式，把積分的上、下限顛倒導(dǎo)致計算失誤，而錯選C. 解析　因為(ln x)′＝，所以y＝的一個原函數(shù)是y＝ln x， 故?dx＝ln x|＝ln 4－ln 2＝ln 2，故選D. 答案　D 1．(xx北京)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 2．(xx山東)函數(shù)f(x)＝的定義域為(　　) A. B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 3．下列各式中錯誤的是(　　) A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6 C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4 4．a(chǎn)是f(x)＝2x－logx的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足(　　) A．f(x0)＝0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符號不確定 5．(xx天津)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 6．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是(　　) 7．(xx福建)已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù) C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域為[－1，＋∞) 8．若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)，且f(2)＝0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是________． 9．已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 10．(xx江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 11．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)． (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 　 　 12．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax)(a≠0，a∈R)，g(x)＝. (1)當a＝1時，記φ(x)＝f(x)－，求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 學(xué)生用書答案精析 2．函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 要點回扣 [問題1]　(－1,1)∪(1，＋∞) [問題2]　1－x2(x∈[－1,1]) [問題3]?。? [問題4]　奇 解析　由得定義域為(－1,0)∪(0,1)， f(x)＝＝. ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)． [問題5]　(－∞，0)，(0，＋∞) [問題6]　D　[由題意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0， 解得a＝－1， 故f(x)＝lg ，函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1)， 在此定義域內(nèi)f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 函數(shù)y1＝lg(1＋x)是增函數(shù)，函數(shù)y2＝lg(1－x)是減函數(shù)，故f(x)＝y(tǒng)1－y2是增函數(shù)．選D.] [問題7]　 解析　方法一　∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1， 解得≤y<1.∴其值域為y∈. 方法二　y＝1－，∵x≥0， ∴0<≤，∴y∈. [問題8]　(－1,2) [問題9]?。? [問題10]　 [問題11]　[0,1)，[2，＋∞) 解析　∵y＝ 作圖可知正確答案為[0,1)，[2，＋∞)． [問題12]　1 [問題13]　B　[f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4， ∴f(1)＝0＋31－4＝－1<0，f(2)＝23－4＝2>0. 又函數(shù)y＝g(x)的圖象是一條連續(xù)曲線， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點． 因此方程f(x)＝0在(1,2)內(nèi)必有實數(shù)根．] [問題14]?。?e－2x [問題15]　a≥ 解析　f(x)＝ax3－2x2＋x－1的導(dǎo)數(shù) f′(x)＝3ax2－4x＋1. 由f′(x)≥0，得 解得a≥.a＝時，f′(x)＝(2x－1)2≥0， 且只有x＝時，f′(x)＝0， ∴a＝符合題意． [問題16]　x＝1 [問題17]　 解析　?(x2＋sin x)dx＝＝. 查缺補漏 1．A　[A項，函數(shù)y＝在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故正確；B項，函數(shù)y＝(x－1)2在(－∞，1)上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)，故錯誤；C項，函數(shù)y＝2－x＝()x在R上為減函數(shù)，故錯誤；D項，函數(shù)y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，故錯誤．] 2．C　[由題意知 解得x>2或01時，兩個函數(shù)圖象的交點只有一個．所以實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． 10．(－，0) 解析　作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，則有 即解得－0且x≠1，所以φ′(x)>0. 故函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1，＋∞)． (2)因為ln(ax)≥對x≥1恒成立， 所以ln a＋ln x≥， 即ln a≥1－－ln x對x≥1恒成立． 令h(x)＝1－－ln x，則h′(x)＝－，因為x≥1，故h′(x)≤0.所以h(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞減， 由ln a≥h(x)max＝h(1)＝0，解得a≥1. 故實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．