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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.4《全稱量詞與存在量詞》教案 新人教A版選修2-1 教學(xué)目標(biāo)：了解量詞在日常生活中和數(shù)學(xué)命題中的作用，正確區(qū)分全稱量詞和存在量詞的概念，并能準(zhǔn)確使用和理解兩類量詞。 教學(xué)重點(diǎn)：理解全稱量詞、存在量詞的概念區(qū)別； 教學(xué)難點(diǎn)：正確使用全稱命題、存在性命題； 課 型：新授課 教學(xué)手段：多媒體 教學(xué)過(guò)程： 一、創(chuàng)設(shè)情境 在前面的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們?cè)?jīng)遇到過(guò)一類重要的問(wèn)題：給含有“至多、至少、有一個(gè)┅┅”等量詞的命題進(jìn)行否定，確定它們的非命題。大家都曾感到困惑和無(wú)助，今天我們將專門學(xué)習(xí)和討論這類問(wèn)題，以解心中的郁結(jié)。 問(wèn)題1：請(qǐng)你給下列劃?rùn)M線的地方填上適當(dāng)?shù)脑~ ①一 紙；②一 牛；③一 狗；④一 馬；⑤一 人家；⑥一 小船 ①?gòu)垻陬^③條④匹⑤戶⑥葉 什么是量詞？這些表示人、事物或動(dòng)作的單位的詞稱為量詞。漢語(yǔ)的物量詞紛繁復(fù)雜，又有兼表形象特征的作用，選用時(shí)主要應(yīng)該講求形象性，同時(shí)要遵從習(xí)慣性，并注意靈活性。不遵守量詞使用的這些原則，就會(huì)鬧出“一匹?！薄耙活^狗”“一只魚(yú)”的笑話來(lái)。 二、活動(dòng)嘗試 所有已知人類語(yǔ)言都使用量化，即使是那些沒(méi)有完整的數(shù)字系統(tǒng)的語(yǔ)言，量詞是人們相互交往的重要詞語(yǔ)。我們今天研究的量詞不是究其語(yǔ)境和使用習(xí)慣問(wèn)題，而是更多的給予它數(shù)學(xué)的意境。 問(wèn)題2：下列命題中含有哪些量詞？ （1）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x，都有x2≥0； （2）存在實(shí)數(shù)x，滿足x2≥0； （3）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理數(shù)x，使得x2－2＝0成立； （5）對(duì)于任何自然數(shù)n，有一個(gè)自然數(shù)s 使得 s = n n； （6）有一個(gè)自然數(shù)s 使得對(duì)于所有自然數(shù)n，有 s = n n； 上述命題中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全體和部分的量詞。 三、師生探究 命題中除了主詞、謂詞、聯(lián)詞以外，還有量詞。命題的量詞，表示的是主詞數(shù)量的概念。在謂詞邏輯中，量詞被分為兩類：一類是全稱量詞，另一類是存在量詞。 全稱量詞：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表達(dá)的邏輯為：“對(duì)宇宙間的所有事物x來(lái)說(shuō)，x都是F?！崩洌骸八械聂~(yú)都會(huì)游泳?！? 存在量詞：如“有”、“有的”、“有些”等。其表達(dá)的邏輯為：“宇宙間至少有一個(gè)事物x，x是F?！崩洌骸坝械墓こ處熓枪と顺錾怼！? 含有量詞的命題通常包括單稱命題、特稱命題和全稱命題三種。 單稱命題：其公式為“（這個(gè)）S是P”。例句：“這件事是我經(jīng)辦的。”單稱命題表示個(gè)體，一般不需要量詞標(biāo)志，有時(shí)會(huì)用“這個(gè)”“某個(gè)”等。在三段論中是作為全稱命題來(lái)處理的。 全稱命題：其公式為“所有S是P”。例句：“所有產(chǎn)品都是一等品”。全稱命題，可以用全稱量詞，也可以用“都”等副詞、“人人”等主語(yǔ)重復(fù)的形式來(lái)表達(dá)，甚至有時(shí)可以沒(méi)有任何的量詞標(biāo)志，如“人類是有智慧的?！? 特稱命題：其公式為“有的S是P”。例句：“大多數(shù)學(xué)生星期天休息”。特稱命題使用存在量詞，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、 “一般”、“只是有些”等。含有存在性量詞的命題也稱存在性命題。 問(wèn)題3：判斷下列命題是全稱命題，還是存在性命題？ （1）方程2x=5只有一解； （2）凡是質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)； （3）方程2x2＋1=0有實(shí)數(shù)根； （4）沒(méi)有一個(gè)無(wú)理數(shù)不是實(shí)數(shù)； （5）如果兩直線不相交，則這兩條直線平行； （6）集合A∩B是集合A的子集； 分析：（1）存在性命題；（2）全稱命題；（3）存在性命題；（4）全稱命題；（5）全稱命題；（6）全稱命題； 四、數(shù)學(xué)理論 1．開(kāi)語(yǔ)句：語(yǔ)句中含有變量x或y，在沒(méi)有給定這些變量的值之前，是無(wú)法確定語(yǔ)句真假的．這種含有變量的語(yǔ)句叫做開(kāi)語(yǔ)句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0. 2．表示個(gè)體常項(xiàng)或變項(xiàng)之間數(shù)量關(guān)系的詞為量詞。量詞可分兩種： (1) 全稱量詞 日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“一切的”，“所有的”，“每一個(gè)”，“任意的”，“凡”，“都”等詞可統(tǒng)稱為全稱量詞，記作、等，表示個(gè)體域里的所有個(gè)體。 (2) 存在量詞 日常生活和數(shù)學(xué)中所用的“存在”，“有一個(gè)”，“有的”，“至少有一個(gè)”等詞統(tǒng)稱為存在量詞，記作，等，表示個(gè)體域里有的個(gè)體。 3．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，含有存在量詞的命題稱為存在性稱命題。 全稱命題的格式：“對(duì)M中的所有x，p(x)”的命題，記為: 存在性命題的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命題，記為: 注：全稱量詞就是“任意”，寫(xiě)成上下顛倒過(guò)來(lái)的大寫(xiě)字母A，實(shí)際上就是英語(yǔ)"any"中的首字母。存在量詞就是“存在”、“有”，寫(xiě)成左右反過(guò)來(lái)的大寫(xiě)字母E，實(shí)際上就是英語(yǔ)"exist"中的首字母。存在量詞的“否”就是全稱量詞。 五、鞏固運(yùn)用 例1判斷以下命題的真假： （1） （2） （3） （4） 分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真； 例2指出下述推理過(guò)程的邏輯上的錯(cuò)誤： 第一步：設(shè)a=b，則有a2=ab 第二步：等式兩邊都減去b2，得a2-b2=ab-b2 第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式兩邊都除以a-b得，a+b=b 第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：兩邊都除以b得，2=1 分析：第四步錯(cuò)：因a-b＝0，等式兩邊不能除以a-b 第六步錯(cuò)：因b可能為0，兩邊不能立即除以b，需討論。 心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命題，不是全稱命題，由此得到的結(jié)論不可靠。 同理，由2b=b2=1是存在性命題，不是全稱命題。 例3判斷下列語(yǔ)句是不是全稱命題或者存在性命題，如果是，用量詞符號(hào)表達(dá)出來(lái)。 （1）中國(guó)的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除數(shù)； （3）任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)； （4）每一個(gè)向量都有方向； 分析：（1）全稱命題，河流x∈{中國(guó)的河流}，河流x注入太平洋； （2）存在性命題，0∈R，0不能作除數(shù)； （3）全稱命題， x∈R，； （4）全稱命題，，有方向； 六、回顧反思 要判斷一個(gè)存在性命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；要判斷一個(gè)存在性命題為假，必須對(duì)在給定集合的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為假。 要判斷一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)在給定集合的每一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；但要判斷一個(gè)全稱命題為假時(shí)，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為假。 即全稱命題與存在性命題之間有可能轉(zhuǎn)化，它們之間并不是對(duì)立的關(guān)系。 七、課后練習(xí) 1．判斷下列全稱命題的真假，其中真命題為（ ） A．所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù) B． C．對(duì)每個(gè)無(wú)理數(shù)x，則x2也是無(wú)理數(shù) D．每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù) 2．將“x2+y2≥2xy”改寫(xiě)成全稱命題，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 3．判斷下列命題的真假，其中為真命題的是 A． B． C． D． 4．下列命題中的假命題是（ ） A．存在實(shí)數(shù)α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B．不存在無(wú)窮多個(gè)α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C．對(duì)任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ D．不存在這樣的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ 5．對(duì)于下列語(yǔ)句 （1） （2） （3） （4） 其中正確的命題序號(hào)是 。（全部填上） 6．命題是全稱命題嗎？如果是全稱命題，請(qǐng)給予證明，如果不是全稱命題，請(qǐng)補(bǔ)充必要的條件，使之成為全稱命題。 參考答案： 1．B 2．A 3．D 4．B 5．（2）（3） 6．不是全稱命題，補(bǔ)充條件：（答案不惟一） 當(dāng)時(shí), ，