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2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.4 點到直線的距離教案 新人教B版必修2 教學分析　　　　　 點到直線的距離的公式的推導方法很多，可探究的題材非常豐富．除了本節(jié)課探究方法外，還有應(yīng)用三角函數(shù)、應(yīng)用向量等方法．因此“課程標準”對本節(jié)教學內(nèi)容的要求是：“探索并掌握點到直線的距離公式，會求兩條平行線間的距離”．希望通過本節(jié)課的教學，能讓學生在公式的探索過程中深刻地領(lǐng)悟到蘊涵其中的重要的數(shù)學思想和方法，學會利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和分類方法，由淺入深、由特殊到一般地研究數(shù)學問題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維． 三維目標　　　　　 1．讓學生掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想． 2．引導學生構(gòu)思距離公式的推導方案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新． 重點難點　　　　　 教學重點：點到直線距離公式的推導和應(yīng)用． 教學難點：對距離公式推導方法的感悟與數(shù)學模型的建立． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 設(shè)計1.點P(0,5)到x軸的距離是多少？更進一步，在平面直角坐標系中，如果已知某點P的坐標為(x0，y0)，直線l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l的距離呢？教師引出課題． 設(shè)計2.我們知道點與直線的位置關(guān)系有兩種：點在直線上和點不在直線上，當點不在直線上時，怎樣求出該點到直線的距離呢？教師引出課題． 推進新課　　　　　 (1)設(shè)坐標平面上(如下圖)，有點P(x1，y1)和直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 作直線m通過點P(x1，y1)，并且與直線l垂直，設(shè)垂足為P0(x0，y0)． 求證：①B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0；②C＝－Ax0－By0. (2)試求出(x1－x0)2＋(y－y0)2. (3)寫出點P到直線l的距離d的計算公式． (4)寫出求點P(x1，y1)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的計算步驟． 討論結(jié)果： (1)證明：①設(shè)直線m的方程為Bx－Ay＋D＝0， ∵P(x1，y1)在m上，∴Bx1－Ay1＋D＝0， ∴D＝Ay1－Bx1，∴直線m的方程為Bx－Ay＋(Ay1－Bx1)＝0，即B(x－x1)－A(y－y1)＝0. ∴B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0. ②∵P0(x0，y0)在直線l上，∴P0(x0，y0)的坐標是方程Ax＋By＋C＝0的一組解，∴Ax0＋By0＋C＝0，∴C＝－Ax0－By0. (2)Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1＋(－Ax0－By0)＝A(x1－x0)＋B(y1－y0)，則[A(x1－x0)＋B(y1－y0)]2＝(Ay1＋By1＋C)2，又∵[B(x0－x1)－A(y0－y1)]2＝0，∴兩等式相加，得(A2＋B2)[(x1－x0)2＋(y1－y0)2]＝(Ax1＋By1＋C)2，∴(x1－x0)2＋(y1－y0)2＝. (3)求點P到直線l距離轉(zhuǎn)化為求P和P0兩點之間的距離的問題．由距離公式，只要列出關(guān)于x1－x0，y1－y0的兩個方程，就可求出這兩點的距離d. 則d＝|PP0|＝＝. 即d＝. (4)步驟： ①給點的坐標賦值：x1＝？，y1＝？； ②給A，B，C賦值：A＝？，B＝？，C＝？； ③計算d＝； ④給出d的值． 思路1 例1求點P(－1,2)到直線2x＋y＝5的距離d. 解：將直線方程化為一般式：2x＋y－5＝0. 因為x1＝－1，y1＝2，A＝2，B＝1，C＝－5，所以由點到直線的距離公式，得d＝＝＝. 變式訓練 1．求原點到直線l1：5x－12y－9＝0的距離； 答案： 2．求點P(－1，－2)到直線l2：x＋2y－10＝0的距離． 答案：3 例2(1)求證：兩條平行線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離是d＝； (2)求平行線l1：12x－5y＋8＝0與l2：12x－5y－24＝0之間的距離． 分析：兩條平行線的距離，就是其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離． 解：(1)在l1上任取一點P(x1，y1)，則Ax1＋By1＝－C1.l1與l2之間的距離等于點P到l2的距離d＝＝； (2)由(1)所得公式，直線l1與l2的距離為d＝＝.即平行線l1與l2之間的距離是. 點評：利用公式d＝求兩平行直線間的距離時，必須將這兩條直線方程化為含x與y的系數(shù)分別相等的形式，否則容易出錯． 變式訓練 1．兩平行直線l1：2x－7y＋8＝0和l2：2x－7y－6＝0的距離d＝______. 答案： 2．兩平行直線l1：3x＋5y＋2＝0和l2：6x＋10y＋8＝0的距離d＝______. 答案： 思路2 例3求直線2x＋11y＋16＝0關(guān)于點P(0,1)對稱的直線方程． 分析：中心對稱的兩條直線是互相平行的，并且這兩條直線與對稱中心的距離相等． 解：設(shè)所求直線方程為2x＋11y＋C＝0，則 ＝C＝16(舍去)或C＝－38. ∴所求直線為2x＋11y－38＝0. 點評：解決本題的關(guān)鍵是明確所求直線與已知直線平行． 變式訓練 1．已知直線l過兩條直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點，且與A(2,3)，B(－4,5)兩點的距離相等，求直線l的方程． 解：直線3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交點為(－1,2)． 若直線l平行于直線AB，易求得直線l的方程為x＋3y－5＝0； 若直線l通過線段AB的中點，易求得直線l的方程為x＝－1. 所以直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0. 2．兩平行直線l1，l2分別過A(1,0)與B(0,5)．若l1與l2的距離為5，求這兩直線方程． 解：|AB|＝＝>5， 顯然，直線l1，l2均不與x軸垂直．設(shè)l1的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，則點B到l1的距離為＝5，所以k＝0或k＝. l1的方程為y＝0或5x－12y－5＝0，可得l2的方程為y＝5或y＝x＋5. 故所求兩直線方程分別為l1：y＝0，l2：y＝5； 或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 1．求點P0(－1,2)到下列直線的距離：(1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2. 解：(1)根據(jù)點到直線的距離公式，得d＝＝＝2. (2)因為直線3x＝2平行于y軸，所以d＝|－(－1)|＝. 2．已知點A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面積． 解：設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC＝|AB|h. |AB|＝＝2. AB邊上的高h就是點C到AB的距離， AB邊所在直線方程為＝，即x＋y－4＝0. 點C到x＋y－4＝0的距離為h＝＝， 因此，S△ABC＝2＝5. 3．用解析法證明等腰三角形底邊延長線上一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高． 證明：在△ABC中，AB＝AC，P為BC延長線上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標系(如下圖)． 設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a>0，b>0)，則直線AB方程為bx－ay＋ab＝0，直線AC方程為bx＋ay－ab＝0，取P(x0,0)，使x0>a，則點P到直線AB，AC的距離分別為 |PD|＝＝， |PE|＝＝ . 點C到直線AB的距離為|CF|＝＝， 則|PD|－|PE|＝＝|CF|. 問題：已知直線l：2x－y＋1＝0和點O(0,0)、M(0,3)，試在l上找一點P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出這個最大值． 解：點O(0,0)關(guān)于直線l：2x－y＋1＝0的對稱點為O′(－，)， 則直線MO′的方程為y－3＝x， 直線MO′與直線l：2x－y＋1＝0的交點N(－，－)即為所求， 則||PO－|PM||＝||PO′|－|PM||≤|MO′| 所以||PO|－|PM||的最大值為|MO′|＝. 本節(jié)課學習了：點到直線的距離公式及兩平行直線間距離． 本節(jié)練習B　2,3題． 本節(jié)課采用探究式的教學方法，通過設(shè)問、啟發(fā)、鋪墊，為學生搭建探究問題的平臺，讓學生在問題情境中，自己去觀察、歸納、猜想并證明公式，經(jīng)歷數(shù)學建模的過程，在自主探究、合作交流中獲得知識，在多角度、多方面的解決問題中，使不同層次的學生都能有所收獲與發(fā)展．根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點，學習方法為接受學習與發(fā)現(xiàn)學習相結(jié)合．學生的探究并不是漫無邊際的探究，而是在教師引導之下的探究；教師也要提供必要的時間和空間給學生展示自己思維過程，使學生在教師和其他同學的幫助下，充分體驗作為學習主體進行探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂趣． 備選習題 1．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a、b的值． (1)直線l1過點(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直； (2)直線l1與直線l2平行，并且坐標原點到l1、l2的距離相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)1＝0， 即a2－a－b＝0.① 又點(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率為1－a. ∴l(xiāng)1的斜率也存在，即＝1－a，則b＝. 故l1和l2的方程可分別表示為 l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0. ∵原點到l1和l2的距離相等， ∴4||＝||. 解得a＝2或a＝.因此或 2．求過點M(2,3)且與點P(1,0)的距離是1的直線方程． 解：當直線的斜率存在時，設(shè)過點M(2,3)且與點P(1,0)距離是1的直線的方程是y－3＝k(x－2)，將其化簡為一般形式得kx－y－2k＋3＝0.由點到直線的距離公式得P點到直線的距離是1＝，解得k＝，所求直線方程為4x－3y＋1＝0. 當直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2時也滿足已知條件． 綜上所述可知，所求直線方程為4x－3y＋1＝0或x＝2. 3．證明等邊三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和等于定值． 證明：建立直角坐標系，如下圖，設(shè)邊長為2a，則A(0，a)、B(－a,0)、C(a,0)，直線AB的方程為x－y＋a＝0，直線AC的方程為x＋y－a＝0，直線BC的方程為y＝0. 設(shè)P(x0，y0)是△ABC內(nèi)任意一點， 則|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋|y0|＋. ∵點P在直線AB、AC的下方， ∴|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋y0＋＝a(定值).