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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)講解 數(shù)列綜合應(yīng)用教案 舊人教版 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度. ●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★★)已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0. (1)求y=f(x)的表達(dá)式； (2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項(xiàng)式，n∈N*),試用t表示an和bn； (3)設(shè)圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn. ●案例探究 ［例1］從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加. (1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，屬★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn). 錯(cuò)解分析：(1)問an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差. 技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧. 解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800(1－)萬元，…第n年投入為800(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為 an=800+800(1－)+…+800(1－)n－1=800(1－)k－1 =4000［1－()n］ 第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400(1+)+…+400(1+)k－1=400()k－1. =1600［()n－1］ (2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即： 1600［()n－1］－4000［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5. ∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入. ［例2］已知Sn=1++…+,(n∈N*)設(shè)f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立. 命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙. 錯(cuò)解分析：本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對(duì)不等式難以處理. 技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2. 解：∵Sn=1++…+.(n∈N*) ∴f(n+1)＞f(n) ∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù) ∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式 f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可 由得m＞1且m≠2 此時(shí)設(shè)［logm(m－1)］2=t 則t＞0 于是解得0＜t＜1 由此得0＜［logm(m－1)］2＜1 解得m＞且m≠2. ●錦囊妙計(jì) 1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來解決問題. 2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題，重點(diǎn)過三關(guān)： (1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力. (2)文理關(guān)：需將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系. (3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★★)已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當(dāng)a=1，2，…，n，…時(shí)，其拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)依次為d1,d2，…,dn,…,則 (d1+d2+…+dn)的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題 2.(★★★★★)在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn)，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是_________. 3.(★★★★)從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_________升. 4.(★★★★★)據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“xx年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長(zhǎng)7.3%，”如果“十五”期間(xx年~xx年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_________億元. 三、解答題 5.(★★★★★)已知數(shù)列{an}滿足條件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…). (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范圍； (2)求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn； (3)設(shè)r=219.2－1，q=，求數(shù)列{}的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值. 6.(★★★★★)某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金. (1)設(shè)ak(1≤k≤n)為第k位職工所得獎(jiǎng)金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)； (2)證明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義； (3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b),對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求Pn(b). 7.(★★★★)據(jù)有關(guān)資料，1995年我國(guó)工業(yè)廢棄垃圾達(dá)到7.4108噸，占地562.4平方公里，若環(huán)保部門每年回收或處理1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，計(jì)劃以后每年遞增20%的回收量，試問： (1)xx年回收廢舊物資多少噸？ (2)從1996年至xx年可節(jié)約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？ (3)從1996年至xx年可節(jié)約多少平方公里土地？ 8.(★★★★★)已知點(diǎn)的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，…，An是線段An－2An－1的中點(diǎn)，…. (1)寫出xn與xn－1、xn－2之間關(guān)系式(n≥3); (2)設(shè)an=xn+1－xn，計(jì)算a1,a2,a3，由此推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明； (3)求xn. 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 解：(1)設(shè)f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1. ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1. (2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得： (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式對(duì)任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得： 且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n) (3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1 ① ② 設(shè){rn}的公比為q，則 ②①得q==t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］ 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：當(dāng)a=n時(shí)y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1 由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn 答案：A 二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4) ∴ 答案：1 3.解析：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－)升，第二次有純酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n次有純酒精a(1－)n升. 答案：a(1－)n 4.解析：從xx年到xx年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7.3%為公比的等比數(shù)列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈1xx0(億元). 答案：1xx0 三、 5.解：(1)由題意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由題設(shè)r＞0,q＞0,故從上式可得：q2－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜; (2)∵.b1=1+r≠0，所以{bn}是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而bn=(1+r)qn-1. 當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n(1+r), ,從上式可知，當(dāng)n－20.2＞0，即n≥21(n∈N*)時(shí)，Cn隨n的增大而減小，故 1＜Cn≤C21=1+=2.25 ① 當(dāng)n－20.2＜0，即n≤20(n∈N*)時(shí)，Cn也隨n的增大而減小，故1＞Cn≥C20=1+=－4 ② 綜合①②兩式知，對(duì)任意的自然數(shù)n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大項(xiàng)C21=2.25，最小項(xiàng)C20=－4. 6.解：(1)第1位職工的獎(jiǎng)金a1=，第2位職工的獎(jiǎng)金a2=(1－)b，第3位職工的獎(jiǎng)金a3=(1－)2b，…，第k位職工的獎(jiǎng)金ak= (1－)k－1b; (2)ak－ak+1=(1－)k－1b＞0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則. (3)設(shè)fk(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb, 故. 7.解：設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列{an}是以10為首項(xiàng)，1+20%為公比的等比數(shù)列. (1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.8832≈25(萬噸) (2)S6==99.2992≈99.3(萬噸) ∴從1996年到xx年共節(jié)約開采礦石2099.3≈1986(萬噸) (3）由于從1996年到xx年共減少工業(yè)廢棄垃圾499.3=397.2(萬噸)， ∴從1996年到xx年共節(jié)約： ≈3 平方公里. 8.解：(1)當(dāng)n≥3時(shí)，xn=; 由此推測(cè)an=(－)n-1a(n∈N) 證法一：因?yàn)閍1=a＞0,且 (n≥2) 所以an=(－)n-1a. 證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： (ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，a1=x2－x1=a=(－)0a,公式成立； (ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，即ak=(－)k－1a成立. 那么當(dāng)n=k+1時(shí)， ak+1=xk+2－xk+1= 據(jù)(ⅰ)(ⅱ)可知，對(duì)任意n∈N，公式an=(－)n-1a成立. (3)當(dāng)n≥3時(shí)，有xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1 =an－1+an－2+…+a1, 由(2)知{an}是公比為－的等比數(shù)列，所以a.