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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．考查正、余弦定理的推導(dǎo)過程． 2．考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)方法． 2．通過正、余定理變形技巧實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的優(yōu)化選擇．　　 基礎(chǔ)梳理 1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解決不同的三角形問題． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形為：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r. 4．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則 A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 個數(shù) 無解 一解 兩解 一解 一解 無解 一條規(guī)律 在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 兩類問題 在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角． 兩種途徑 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑： (1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)在△ABC中，A＝60，B＝75，a＝10，則c等于(　　)． A．5 B．10 C. D．5 解析　由A＋B＋C＝180，知C＝45， 由正弦定理得：＝， 即＝.∴c＝. 答案　C 2．在△ABC中，若＝，則B的值為(　　)． A．30 B．45 C．60 D．90 解析　由正弦定理知： ＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45. 答案　B 3．(xx鄭州聯(lián)考)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，則A等于(　　)． A．30 B．45 C．60 D．75 解析　由余弦定理得：cos A＝＝＝， ∵0＜A＜π，∴A＝60. 答案　C 4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，則△ABC的面積為(　　)． A．3 B．2 C．4 D. 解析　∵cos C＝，0＜C＜π， ∴sin C＝， ∴S△ABC＝absin C ＝32＝4. 答案　C 5．已知△ABC三邊滿足a2＋b2＝c2－ab，則此三角形的最大內(nèi)角為________． 解析　∵a2＋b2－c2＝－ab， ∴cos C＝＝－， 故C＝150為三角形的最大內(nèi)角． 答案　150 　　 考向一　利用正弦定理解三角形 【例1】?在△ABC中，a＝，b＝，B＝45.求角A，C和邊c. [審題視點(diǎn)] 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷． 解　由正弦定理得＝，＝， ∴sin A＝. ∵a＞b，∴A＝60或A＝120. 當(dāng)A＝60時，C＝180－45－60＝75， c＝＝； 當(dāng)A＝120時，C＝180－45－120＝15， c＝＝. (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意． 【訓(xùn)練1】 (xx北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，則sin A＝________；a＝________. 解析　因?yàn)椤鰽BC中，tan A＝2，所以A是銳角， 且＝2，sin2A＋cos2A＝1， 聯(lián)立解得sin A＝， 再由正弦定理得＝， 代入數(shù)據(jù)解得a＝2. 答案　　2 考向二　利用余弦定理解三角形 【例2】?在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且＝－. (1)求角B的大??； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積． [審題視點(diǎn)] 由＝－，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解． 解　(1)由余弦定理知：cos B＝， cos C＝. 將上式代入＝－得： ＝－， 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. ∴cos B＝＝＝－. ∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝π. (2)將b＝，a＋c＝4， B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B， ∴13＝16－2ac，∴ac＝3. ∴S△ABC＝acsin B＝. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵． (2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用． 【訓(xùn)練2】 (xx桂林模擬)已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0. (1)求角A的值； (2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積． 解　(1)由2cos2 ＋cos A＝0， 得1＋cos A＋cos A＝0， 即cos A＝－， ∵0＜A＜π，∴A＝. (2)由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝， 則a2＝(b＋c)2－bc， 又a＝2，b＋c＝4， 有12＝42－bc，則bc＝4， 故S△ABC＝bcsin A＝. 考向三　利用正、余弦定理判斷三角形形狀 【例3】?在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，試判斷△ABC的形狀． [審題視點(diǎn)] 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷． 解　由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C， 得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]， 即b2sin Acos B＝a2cos Asin B， 即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Bsin B，所以sin 2B＝sin 2A， 由于A，B是三角形的內(nèi)角． 故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π. 故只可能2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝. 故△ABC為等腰三角形或直角三角形． 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系． 【訓(xùn)練3】 在△ABC中，若＝＝；則△ABC是(　　)． A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 解析　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R為△ABC外接圓半徑)． ∴＝＝. 即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C. 答案　B 考向三　正、余弦定理的綜合應(yīng)用 【例3】?在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝. (1)若△ABC的面積等于，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面積． [審題視點(diǎn)] 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a，b的方程，通過方程組求解；第(2)問根據(jù)sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問題． 解　(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4. 又因?yàn)椤鰽BC的面積等于，所以absin C＝，得ab＝4，聯(lián)立方程組解得 (2)由題意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 即sin Bcos A＝2sin Acos A. 當(dāng)cos A＝0，即A＝時，B＝， a＝，b＝； 當(dāng)cos A≠0時，得sin B＝2sin A， 由正弦定理，得b＝2a. 聯(lián)立方程組 解得 所以△ABC的面積S＝a bsin C＝. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題． 【訓(xùn)練3】 (xx北京西城一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B＝，b＝2. (1)當(dāng)A＝30時，求a的值； (2)當(dāng)△ABC的面積為3時，求a＋c的值． 解　(1)因?yàn)閏os B＝，所以sin B＝. 由正弦定理＝，可得＝， 所以a＝. (2)因?yàn)椤鰽BC的面積S＝acsin B，sin B＝， 所以ac＝3，ac＝10. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. 所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40. 所以a＋c＝2.　　 閱卷報(bào)告4——忽視三角形中的邊角條件致錯 【問題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件., 【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問題時，估算是一個重要步驟，估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角條件. 【示例】?(xx安徽)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求邊BC上的高． 錯因　忽視三角形中“大邊對大角”的定理，產(chǎn)生了增根． 實(shí)錄　由1＋2cos(B＋C)＝0， 知cos A＝，∴A＝， 根據(jù)正弦定理＝得： sin B＝＝，∴B＝或. 以下解答過程略． 正解　∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A， ∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝. 在△ABC中，根據(jù)正弦定理＝， ∴sin B＝＝. ∵a＞b，∴B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π. ∴sin C＝sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A ＝＋＝. ∴BC邊上的高為bsin C＝＝. 【試一試】 (xx遼寧)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. [嘗試解答]　(1)由正弦定理得， sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即 sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2. 可得cos2B＝，又cos B＞0，故cos B＝，所以B＝45.