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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第1章 3組合課時作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．(xx廣東理，4)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A. B． C. D．1 [答案]　B [解析]　從袋中任取 2個球共有 C215＝105種，其中恰好1個白球1個紅球共有C110C15＝50種，所以恰好1個白球1個紅球的概率為＝，故選B. 2．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生參加，那么不同的選派方案種數(shù)為(　　) A．14 B．15 C．120 D．119 [答案]　A [解析]　方法一：至少有1名女生，可分為兩種情況：1名女生3名男生；2名女生2名男生，所以不同的選派方案種數(shù)為CC＋CC＝14. 方法二：6人中選4人的方案共有C＝15種，沒有女生的方案只有1種，所以滿足要求的選派方案種數(shù)為15－1＝14. 3．(xx全國大綱理，5)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有(　　) A．60種　 　 B．70種　 C．75種　 D．150種 [答案]　C [解析]　本題考查了分步計數(shù)原量和組合的運算，從6名男醫(yī)生選2人有C＝15種選法，從5名女醫(yī)生選1人有C＝5種選法，所以由分步計數(shù)原理可知共有155＝75種不同的選法．解決排列組合問題要首先確定是排列問題還是組合問題，是分步還是分類．然后解決問題． 4．把4個蘋果分給兩個人，每人至少一個，不同分法種數(shù)有(　　) A．6 B．12 C．14 D．16 [答案]　C [解析]　有兩類分法①一人3個，一個1個有CCA種分法，②每人各2個有CC種分法．所以共有CA＋CC＝14種不同的分法，選C. 5.某城市街道如圖，某人要走最短路程從A地前往B地，則不同走法有(　　) A．8種 B．10種 C．12種 D．32種 [答案]　B [解析]　因為從A地到B地路程最短，我們可以在地面畫出模型，實地實驗探究一下走法可得出：①要走的路程最短必須走5步，且不能重復(fù)．②向東的走法定出后，向南的走法隨之確定．所以我們只要確定出向東的三步或向南的兩步走法有多少種即可．故有不同走法有C＝C＝10種．選B. 二、填空題 6．有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數(shù)是________(用數(shù)字作答)． [答案]　10 [解析]　由于選出的人無角色差異，所以是組合問題，不同方法種數(shù)為C＝＝10. 7.從1、3、5、7中任取2個數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有________個(用數(shù)字作答)． [答案]　300 [解析]　能被5整除，個位數(shù)字只能是0或5，共分三種情況： (1)只含有數(shù)字5，則5一定位于個位上，從1、3、7中選一個，有C種選法，再從2、4、6、8中選兩個，有C種選法，然后將這三個數(shù)進(jìn)行全排列，有A種方法，故共有CCA＝108個數(shù)； (2)同理只含有數(shù)字0，有CCA＝72個數(shù)； (3)既有5又有0，則有兩種情況；0位于個位共有CCA個數(shù)；5位于個位共有CCCA個數(shù)．故共有CCA＋CCCA＝120個數(shù)． 所以符合題意的四位數(shù)共有108＋72＋120＝300(個)． 8．從集合U＝{a，b，c，d}的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件： (1)?、U都要選出； (2)對選出的任意兩個子集A和B，必有A?B或A?B. 那么，共有________種不同的選法． [答案]　36 [解析]　將選法分成兩類．第一類：其中一個是單元素集合，則另一集合為兩個或三個元素且含有單元素集合中的元素，有C6＝24種． 第二類：其中一個是兩個元素集合，則另一個是含有這兩個元素的三元素集合，有C2＝12種． 綜上共有24＋12＝36種． 三、解答題 9．7名身高互不相等的學(xué)生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？ (1)7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減； (2)任取6名學(xué)生，排成二排三列，使每一列的前排學(xué)生比后排學(xué)生矮． [解析]　(1)第一步，將最高的安排在中間只有1種方法；第二步，從剩下的6人中選取3人安排在一側(cè)有C種選法，對于每一種選法只有一種安排方法，第三步，將剩下3人安排在另一側(cè)，只有一種安排方法，∴共有不同安排方案C＝20種． (2)第一步從7人中選取6人，有C種選法；第二步從6人中選2人排一列有C種排法，第三步，從剩下的4人中選2人排第二列有C種排法，最后將剩下2人排在第三列，只有一種排法，故共有不同排法CCC＝630種． 10.在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？ (1)任意選5人； (2)甲、乙、丙三人必須參加； (3)甲、乙、丙三人不能參加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加； (5)甲、乙、丙三人至少有1人參加． [解析]　(1)C＝792種不同的選法． (2)甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9人中選2人，共有C＝36種不同的選法． (3)甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9人中選5人，共有C＝126種不同的選法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，分兩步，先從甲、乙、丙中選1人，有C種選法，再從另外的9人中選4人，有C種選法，故共有CC＝378種不同的選法． (5)解法一(直接法)：分三類： 第一類：甲、乙、丙中有1人參加，有CC種選法； 第二類：甲、乙、丙中有2人參加，有CC種選法； 第三類：甲、乙、丙3人均參加，有CC種選法， 故共有CC＋CC＋CC＝666種不同的選法． 解法二(間接法)：從12人任意選5人共有C種選法，甲、乙、丙三人不能參加的有C種，所以共有C－C＝666種不同的選法. 一、選擇題 1．(xx合肥八中聯(lián)考)將4個顏色互不相同的球全部收入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有(　　) A．10種 B．20種 C．36種 D．52種 [答案]　A [解析]　根據(jù)2號盒子里放球的個數(shù)分類：第一類，2號盒子里放2個球，有C種放法，第二類，2號盒子里放3個球，有C種放法，剩下的小球放入1號盒中，共有不同放球方法C＋C＝10種． 2.如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法共有(　　) A．288種 B．264種 C．240種 D．168種 [答案]　B [解析]　當(dāng)涂四色時，先涂A、E、D為A，再從B、F、C三點選一個涂第四種顏色，如B，再F，若F與D同色，則涂C有2種方法，若F與D異色則只有一種方法，故AA(2＋1)＝216種． 當(dāng)涂三色時，先涂A、E、D為CA，再涂B有2種，F(xiàn)、C各為一種，故CA2＝48， 故共有216＋48＝264種，故選B. 3．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有(　　) A．10種 B．15種 C．20種 D．30種 [答案]　C [解析]　本題考查了排列組合知識與分類討論的思想． 由題意知，打三局，有兩種情形；打四局2C種情形，打五局有2C種情形，故共有2＋6＋12＝20種不同情形，本題隱含兩人最少打三局，最多打五局比賽終止，因此要進(jìn)行合理分類． 4．xx年第十屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)運動會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有(　　) A．48種 B．12種 C．18種 D．36種 [答案]　D [解析]　若小張和小趙恰有1人入選，則共有CCA＝24種方案，若小張和小趙兩人都入選，則共有AA＝12種方案，故總共有24＋12＝36種方案．故選D. 二、填空題 5．某儀表顯示屏上一排有7個小孔，每個小孔可顯示出0或1，若每次顯示其中三個孔，但相鄰的兩孔不能同時顯示，則這種顯示屏可以顯示的不同信號的種數(shù)是________種． [答案]　80 [解析]　顯示的孔不相鄰，用插空法，4個不顯示孔形成5個空當(dāng)． ∴有C種選法．每個孔有2種顯示方法． ∴共有23C＝80種． 6．把3名輔導(dǎo)老師與6名學(xué)生分成3個小組(每組1名教師，2名學(xué)生)開展實驗活動，但學(xué)生甲必須與教師A在一起，這樣的分組方法有________種．(用數(shù)字作答) [答案]　30 [解析]　分別給A、B、C三位老師各安排2名學(xué)生(學(xué)生甲必須與教師A在一組)，一共有CCCC＝30(種)不同的分組方法． 三、解答題 7.(1)解方程C＝C； (2)已知－＝，求C； (3)計算C＋C＋C＋C. [解析]　(1)由C＝C及組合數(shù)的性質(zhì)得， 3x＋6＝4x－2或3x＋6＝18－(4x－2)， 解得x＝8或x＝2， 經(jīng)檢驗x＝8不符合題意，舍去．故x＝2. (2)原方程變形為－＝ 即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)， 即m2－23m＋42＝0， 解得m＝21或m＝2， 又∵0≤m≤5且m∈N＋， ∴m＝2，∴C＝C＝28. (3)原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210. [反思總結(jié)]　解有關(guān)組合數(shù)的不等式或方程，應(yīng)注意合組數(shù)本身有意義時的未知數(shù)的取值范圍． 8．6個人進(jìn)2間屋子： (1)每屋內(nèi)至少進(jìn)1人； (2)每屋都進(jìn)3人，問各有多少種分配方法？ [解析]　(1)方法一：按第1間屋子內(nèi)進(jìn)人的數(shù)目可分為5類：進(jìn)1人，2人，3人，4人，5人．因此，要把這5類分配進(jìn)屋的方法數(shù)加起來，對于每一類而言，如“第1間屋內(nèi)進(jìn)4人，第2間進(jìn)2人”這類分配方式，又可看成先派4人進(jìn)入第1間屋，再派余下的2人進(jìn)入第2間屋．這樣得到CC種進(jìn)屋方 法，于是總共方法為： CC＋CC＋CC＋CC＋CC＝62(種)． 方法二：從6人進(jìn)2間屋子的各種分配方法數(shù)中減去不合題意的分配方法數(shù)來計算．不合題意的分配方法只有2種，即6人全進(jìn)第1間或全進(jìn)第2間．即間接法解得：26－2＝62(種)． (2)方法一：先派3人進(jìn)第1間屋，再讓其余3人進(jìn)第2間屋，得分配方法為：CC＝20(種)． 方法二：先把6人平均分成兩組，方法有：(種)， 然后再分配到房間，共有A＝20(種)． [反思總結(jié)]　(1)平均分組問題：一般來說，km個不同的元素分成k組，每組m個，則不同的分法有： (種)． (2)不平均分組問題：一般來說，把n個不同元素分成k組，每組分別有m1，m2，…，mk個，m1，m2，…，mk互不相等，且m1＋m2＋…＋mk＝n，則有不同的分法為： Cm1nCm2n－m1Cm3n－(m1＋m2)…Cmkmk種．如果m1，m2，…，mk中有且僅有i個相等，則不同的分法為： (種)． 上面的組合問題給出兩個解法模型，處理此類問題的關(guān)鍵是充分考慮到是否與順序有關(guān)，避免產(chǎn)生重復(fù)計數(shù)．