《2019-2020年高中數學 第三章 不等式 第八課時 基本不等式教案（一） 蘇教版必修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數學 第三章 不等式 第八課時 基本不等式教案（一） 蘇教版必修5.doc（3頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2019-2020年高中數學 第三章 不等式 第八課時 基本不等式教案（一） 蘇教版必修5 教學目標： 1． 學會推導并掌握均值不等式定理； 2． 能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。 教學重點：均值不等式定理的證明及應用。 教學難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧。 教學過程： 重要不等式：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（當且僅當a＝b時取“＝”號） 證明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2 當a≠b時，（a－b）2＞0，當a＝b時，（a－b）2＝0 所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的結論，我們又可得到 定理：如果a，b是正數，那么 ≥（當且僅當a＝b時取“＝”號） 證明：∵（）2＋（）2≥2 ∴a ＋b≥2 即 ≥ 顯然，當且僅當a＝b時，＝ 說明：1）我們稱為a，b的算術平均數，稱為a，b的幾何平均數，因而，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數. 2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實數，而后者要求a，b都是正數. 3）“當且僅當”的含義是充要條件. 4）數列意義 問：a，b∈R－？ 例題講解： 例1 已知x，y都是正數，求證： （1）如果積xy是定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2； （2）如果和x＋y是定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值S2 證明：因為x，y都是正數，所以 ≥ （1）積xy為定值P時，有≥ ∴x＋y≥2 上式當x＝y(tǒng)時，取“＝”號，因此，當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2. （2）和x＋y為定值S時，有≤ ∴xy≤ S 2 上式當x=y時取“＝”號，因此，當x=y時，積xy有最大值S 2. 說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件： ?。┖瘮凳街懈黜棻仨毝际钦龜? ⅱ)函數式中含變數的各項的和或積必須是常數； ⅲ）等號成立條件必須存在。 師：接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用. 例2 ：已知a、b、c、d都是正數，求證： （ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識. 證明：由a、b、c、d都是正數，得 ≥＞0，≥＞0， ∴≥abcd 即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得 l＝240000＋720（x＋）≥240000＋7202 ＝240000＋720240＝297600 當x＝，即x＝40時，l有最小值297600 因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元. 評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件. 為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數最值中的應用，我們來進行課堂練習. 課本P91練習1，2，3，4. 3．課堂小結 通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會應用它證明一些不等式及求函數的最值，，但是在應用時，應注意定理的適用條件。 4．課后作業(yè) P94習題 1，2，3 教學后記：