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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第四課時(shí) 等差數(shù)列教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 明確等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式；培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)： 等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)： 靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 等差數(shù)列定義：an－an－1＝d(n≥2)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推導(dǎo)公式：an＝am＋(n－m)d Ⅱ.講授新課 首先，請(qǐng)同學(xué)們來思考這樣一個(gè)問題. 問題1：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？ 由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得：A－a＝b－A，即：a＝. 反之，若A＝，則2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差數(shù)列. 總之，A＝a，A，b成等差數(shù)列. 如果a、A、b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項(xiàng). 不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng). 如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中項(xiàng)，5是3和7的等差中項(xiàng)，7是5和9的等差中項(xiàng)等等. 進(jìn)一步思考，同學(xué)們是否還發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？ 比如5不僅是3和7的等差中項(xiàng)，同時(shí)它也是1和9的等差中項(xiàng)，即不僅滿足5＝，同時(shí)還滿足5＝. 再如7不僅是5和9的等差中項(xiàng)，同時(shí)它也是3和11的等差中項(xiàng)，還是1和13的等差中項(xiàng)，即：7＝＝＝. 看來，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5 依此類推，可得在一等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq. 下面，我們來看一個(gè)實(shí)際問題. ［例1］梯子的最高一級(jí)寬33 cm，最低一級(jí)寬110 cm，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬度. 分析：首先要數(shù)學(xué)建模，即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后求其解，最后還要結(jié)合實(shí)際情況將其還原為實(shí)際問題的解. 解：用{an}表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，有a1＝33，a12＝110，n＝12. 由通項(xiàng)公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7. 因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103. 答案：梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm. 評(píng)述：要注意將模型的解還原為實(shí)際問題的解. ［例2］已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝pn＋q，其中p、q是常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？ 分析：由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)就行了. 解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an－1與an(n≥2)， an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p 它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，且公差是p. 在通項(xiàng)公式令n＝1，得a1＝p＋q，所以這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是p＋q，公差是p.看來，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為：an＝pn＋q（其中p、q是常數(shù)） 當(dāng)p＝0時(shí)，它是一常數(shù)數(shù)列，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列的各點(diǎn)均在y＝q的圖象上.當(dāng)p≠0時(shí)，它是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù) 列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y＝px＋q的圖象上. 例如，首項(xiàng)是1，公差是2的無窮等差數(shù)列的通項(xiàng) 公式為：an＝2n－1，相應(yīng)的圖象是直線y＝2x－1上的均 勻排開的無窮多個(gè)孤立點(diǎn).如圖所示： ［例3］已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方 和為83，求此三個(gè)數(shù). 解：設(shè)此三數(shù)分別為x－d、x、x＋d 則 解得x＝5，d＝2. ∴所求三個(gè)數(shù)列分別為3、5、7或7、5、3. 評(píng)述：三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)注意其設(shè)法. ［例4］已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝2，a2＝3，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)后，和原數(shù)列仍構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，試問： （1）原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？ （2）新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？ 分析：運(yùn)用遞推歸納的思想方法，從特殊中找規(guī)律，得到或猜想出一般結(jié)論，然后再回到特殊解決問題，這應(yīng)該是解決本題的一個(gè)基本途徑. 解：原數(shù)列的第一項(xiàng)是新數(shù)列的第1項(xiàng)，原數(shù)列的第二項(xiàng)是新數(shù)列的第2＋3＝5項(xiàng)，原數(shù)列的第三項(xiàng)是新數(shù)列的第3＋23＝9項(xiàng).……原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第n＋(n－1)3＝4n－3項(xiàng). （1）當(dāng)n＝12時(shí)，4n－3＝412－3＝45，故原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第45項(xiàng). （2）令4n－3＝29，解得n＝8，故新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng). 評(píng)述：一般地，在公差為d的等差數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入m個(gè)數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則新數(shù)列的公差為，原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第n＋(n－1)m＝(m＋1)n－m項(xiàng). ［例5］在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{an}的通項(xiàng)公式. 分析一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解. 解法一：設(shè)所求的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d 則 即 ①代入②得（a1＋2d）(a1＋12d)＝7 ③ ∵a1＝4－7d，代入③，∴（4－5d）(4＋5d)＝8 即16－25d2＝7，解得d＝. 當(dāng)d＝時(shí)，a1＝－，an＝－＋(n－1)＝n－ 當(dāng)d＝－時(shí)，a1＝，an＝＋(n－1)（－）＝－n＋. 分析二：視a3，a8，a13作為一個(gè)整體，再利用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq解題. 解法二：∵a3＋a13＝a8＋a8＝2a8，又a3＋a8＋a13＝12，故知a8＝4 代入已知得 解得或 由a3＝1，a13＝7得d＝＝＝. ∴an＝a3＋(n－3)＝n－. 由a3＝7，a13＝1，仿上可得：an＝－n＋. 評(píng)述：在解答本題時(shí)，首先應(yīng)注意到{an}是等差數(shù)列這個(gè)大前提，否則，僅有a3＋a8＋a18＝12及a3a8a13＝28就無法求出a3，a8，a13的具體值；其次，應(yīng)注意到a3，a8，a13中腳碼3，8，13間的關(guān)系：3＋13＝8＋8，從而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P36練習(xí) 已知一個(gè)無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d: (1)將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù) 列，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別 是多少？ 解：設(shè)一無窮等差數(shù)列為：a1，a2，…，am，am+1，…，an，… 若去掉前m項(xiàng)，則新數(shù)列為：am+1，…，an，…，即首項(xiàng)為am+1，公差為d的等差數(shù)列. （2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？ 解：若設(shè)一無窮等差數(shù)列為：a1，a2，a3，a4，a5，…，an，…，則取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列為：a1，a3，a5，…，a2m－1，… 即，首項(xiàng)為a1，公差為2d的等差數(shù)列. （3）取出數(shù)列中的所有項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)的各項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差各是多少？ 設(shè)一無窮等差數(shù)列為：a1，a2，a3，…，an，…，則新數(shù)列為：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首項(xiàng)為a7，公差為7d的等差數(shù)列. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，首先，需掌握等差中項(xiàng)概念，及A＝與a，A，b成等差數(shù)列的關(guān)系，另外，還應(yīng)注意等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P39習(xí)題 4，5，6，7