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2019-2020年高中數(shù)學 第二章《推理與證明》章末復習教學設計 新人教A版選修2-2 考試要求 1．了解合情推理的思維過程； 2．掌握演繹推理的一般模式； 3．會靈活運用直接證明和間接證明的方法，證明問題； 4．掌握數(shù)學歸納法的整體思想. 典例精析精講 例1 、如圖，已知□ABCD，直線BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE的中點. 例1圖 （1）求證：直線AE∥平面BDF； （2）若，求證：平面BDF⊥平面BCE． 證明：（1）設AC∩BD＝G，連接FG. 由四邊形ABCD為平行四邊形，得G是AC的中點. 又∵F是EC中點，∴在△ACE中，F(xiàn)G∥AE. ∵AE平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，∴AE∥平面BFD； （2）∵，∴. 又∵直線BC⊥平面ABE，∴. 又，∴直線平面. 由（1）知，F(xiàn)G∥AE，∴直線平面. 例2 已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）. （Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明. 解：（I）在中，令n=1，可得，即. 當時，， . . 又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 于是. (II)由（I）得，所以 ， . 由①-②得 . 于是確定的大小關系等價于比較的大小. 由 可猜想當證明如下： 證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立. （2）假設時，. 所以當時猜想也成立. 綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有 證法2：當時， 綜上所述，當，當時. 例3 設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記. （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式； （II）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由； （III）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有. 解：（I）當時，. 又， . ∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. ∴，. （II）不存在正整數(shù)，使得成立. 證明：由（I）知. ∴當n為偶數(shù)時，設. ∴. 當n為奇數(shù)時，設. ∴. ∴對于一切的正整數(shù)n，都有. ∴不存在正整數(shù)，使得成立. （III）由，得 又， 當時，， 當時， 例4 設函數(shù)．數(shù)列滿足，． （Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)； （Ⅱ）證明：； （Ⅲ）設，整數(shù)．證明：． 解析：（Ⅰ）證明：， 故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù). （Ⅱ）證明：（用數(shù)學歸納法）（i）當n=1時，，， ， 由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立； （ⅱ）假設當時，成立，即， 那么當時，由在區(qū)間是增函數(shù)，，得 .而，則， ，也就是說當時，也成立； 根據(jù)（?。?、（ⅱ）可得對任意的正整數(shù)，恒成立. （Ⅲ）證明：由，，可得 . （1） 若存在某滿足，則由（ⅱ）知：； （2）若對任意都有，則 ，即成立. 例5 已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x1，x2都有和，其中是大于0的常數(shù).設實數(shù)a0，a，b滿足 和. （Ⅰ）證明:，并且不存在，使得； （Ⅱ）證明:； （Ⅲ）證明:. 證明：（Ⅰ）不妨設，由， 可知，是R上的增函數(shù).不存在，使得. 又，. （Ⅱ）要證：， 即證：. 不妨設，由，得. 即.則. （1） 由，得， 即. 則. （2） 由（1）（2）可得.. （Ⅲ）,.,又由（2）中結論，. 高考真題博覽 1．（xx天津理4）對實數(shù)和，定義運算“”：設函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是 A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D． 【答案】B 2．（xx山東理12）設，，，是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若（λ∈R），（μ∈R），且,則稱，調(diào)和分割，,已知平面上的點C，D調(diào)和分割點A，B則下面說法正確的是 A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C，D可能同時在線段AB上 D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 【答案】D 3.（xx湖北理9）若實數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補，記，那么是a與b互補的 A．必要而不充分的條件 B．充分而不必要的條件 C．充要條件 D．即不充分也不必要的條件 【答案】C 4.（xx福建理15）設V是全體平面向量構成的集合，若映射滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質(zhì)P.現(xiàn)給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為________.（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號） 【答案】①③ 5.（xx湖南理16）對于,將n表示,當時，,當時, 為0或1．記為上述表示中ai為0的個數(shù)（例如：）,故, ）,則 （1）________________;（2） ________________. 【答案】2；1093 6.（xx北京理8）設,，,.記為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)的值域為 A． B． C． D． 【答案】C 7.（xx江西理7）觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…則的末四位數(shù)字為 A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 【答案】D 8.（xx廣東理8）設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恒成立的是 A．中至少有一個關于乘法是封閉的 B．中至多有一個關于乘法是封閉的 C．中有且只有一個關于乘法是封閉的 D．中每一個關于乘法都是封閉的 【答案】A 9.（xx江西理10）如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是 【答案】A 10.（xx安徽理15）在平面直角坐標系中，如果與都是整數(shù)，就稱點為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）. ①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點 ②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點 ③直線經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當經(jīng)過兩個不同的整點 ④直線經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線 【答案】①，③，⑤ 11.（xx四川理16）函數(shù)的定義域為A，若時總有為單函數(shù)．例如，函數(shù)=2x+1（）是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)=（xR）是單函數(shù)； ②若為單函數(shù)， ③若f：AB為單函數(shù)，則對于任意bB，它至多有一個原象； ④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)． 其中的真命題是 ．（寫出所有真命題的編號） 答案：②③④ 解析 ：①錯，，②③④正確 12.（xx山東理15）設函數(shù),觀察: …… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當且時， . 【答案】 13.（xx陜西理13）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第個等式為 . 【答案】