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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十二課時 小結(jié)與復(fù)習(xí)教案（2） 蘇教版必修4 ●教學(xué)目標(biāo) （一）知識目標(biāo) 1.構(gòu)造向量法； 2.平面幾何性質(zhì)應(yīng)用. （二）能力目標(biāo) 1.熟悉向量的性質(zhì)及運算律； 2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點構(gòu)造向量； 3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用； 4.熟練向量求解的坐標(biāo)化思路. （三）德育目標(biāo) 1.認(rèn)識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系； 2.認(rèn)識向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識. ●教學(xué)重點 1.向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用； 2.構(gòu)造向量法的應(yīng)用. ●教學(xué)難點 構(gòu)造向量法的適用題型特點的把握. ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式 針對向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來加深學(xué)生對于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識，同時要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識. 對于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點內(nèi)容數(shù)量積的坐標(biāo)表示，目的要使學(xué)生把握坐標(biāo)表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點，同時增強(qiáng)學(xué)生的解題技巧，提高解題能力. ●教具準(zhǔn)備 投影儀、幻燈片 第一張：數(shù)量積的性質(zhì)（記作5.13.2 A） 第二張：本節(jié)例題（記作5.13.2 B） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］上一節(jié)，我們一起復(fù)習(xí)了本章的基本概念、性質(zhì)、運算律及重要定理、公式，這一節(jié)我們將通過例題分析重點學(xué)習(xí)平面幾何性質(zhì)及構(gòu)造向量法在解題時的應(yīng)用. Ⅱ.例題分析 ［師］首先，我們一起回顧一下向量的數(shù)量積的有關(guān)性質(zhì)（給出幻燈片5.13.2 A）. 在熟悉了上述性質(zhì)后，我們來看下面的例題.（給出幻燈片5.13.2 B） ［例1］利用向量知識證明下列各式 （1）x2＋y2≥2xy （2）|x|2＋|y|2≥2xy 分析：（1）題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系. （2）題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證. 證明：（1）設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則 ab＝xy＋yx＝2xy |a||b|＝＝x2＋y2 又ab＝|a||b|cosθ（其中θ為a，b夾角）≤|a||b| ∴x2＋y2≥2xy （2）設(shè)x，y的夾角為θ， 則xy＝|x||y|cosθ≤|x||y|≤ ∴|x|2＋|y|2≥2xy 評述：（1）上述結(jié)論表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，無論對于實數(shù)還是向量，都成立. （2）在（2）題證明過程中，由于|x|，| y |是實數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證. ［例2］利用向量知識證明 （a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）（b12＋b22） 分析：此題形式對學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量. 證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2） 則ab＝a1b1＋a2b2， |a|2＝a12＋a22，|b|2＝b12＋b22 ∵ab＝|a||b|cosθ≤|a||b|.（其中θ為a，b夾角） ∴（ab）2≤|a2|b|2 ∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）（b12＋b22） 評述：此題證法難點在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會. ［例3］已知f（x）＝ 求證：|f（a）－f（b）|＜|a－b|（a≠b） 分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于f（a）、f（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達(dá)到去根號的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法. 證法一：∵f（a）＝， f（b）＝， ∴要證明|f（a）－f（b）|＜|a－b| 只需證明|－|2＜|a－b|2 即1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab 即＞1＋ab 只需證明［］2＞（1＋ab）2 即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2 即a2＋b2＞2ab ∵a2＋b2≥2ab，又a≠b ∴a2＋b2＞2ab ∴|f（a）－f（b）|＜|a－b| 證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b） 則|a|＝，|b|＝ a－b＝（0，a－b） |a－b|＝|a－b| 由||a|－|b||≤|a－b|，其中當(dāng)|a|＝|b| 即a＝b時，取“＝”，而a≠b ∴||a|－|b||＜|a－b| 即||＜|a－b| ∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|. 評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點，加深對向量工具性作用的 認(rèn)識. ［師］上述三個例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標(biāo)運算的特點，以及“向量坐標(biāo)化”思路在解題中的具體應(yīng)用. ［例4］已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證AC⊥BD. 分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件. 證法一：∵ ∴ ∴⊥ 證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B（0，0），A（a，b），C（c，0）則由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2 ∵＝（c，0）－（a，b）＝（c－a，－b）， ＝（a，b）＋（c，0）＝（c＋a，b） ∴＝c2－a2－b2＝0 ∴⊥ 即：AC⊥BD 評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識和掌握. ［例5］若非零向量a和b滿足|a＋b|＝|a－b|. 證明：a⊥b. 分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法. 證法一：（根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)） 設(shè)＝a，＝b， 由已知可得a與b不平行， 由|a＋b|＝|a－b |得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等. 所以O(shè)ACB是矩形， ∴⊥ ∴a⊥b 證法二：∵|a＋b|＝| a－b| ∴（a＋b）2＝（a－b）2 ∴a2＋2ab＋b 2＝a2－2ab＋b 2 ∴ab＝0 ∴a⊥b 證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， |a＋b|＝， |a－b|＝， ∴， 化簡得：x1x2＋y1y2＝0， ∴ab＝0，∴a⊥b. ［例6］已知向量a是以點A（3，－1）為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標(biāo). 分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程. 解：設(shè)a的終點坐標(biāo)為（m，n） 則a＝（m－3，n＋1） 由①得n＝（3m－13），代入②得 25m2－150m＋209＝0 解得 或 ∴a的終點坐標(biāo)是（）或（） 評述：向量的坐標(biāo)表示是終點坐標(biāo)減去起始點的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆. ［師］上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來. Ⅲ.課堂練習(xí) 1.已知a＝（1，0），b＝（1，1），當(dāng)λ為何值時，a＋λb與a垂直. 解：a＋λb＝（1，0）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ） ∵（a＋λb）⊥a， ∴（a＋λb）a＝0 ∴（1＋λ）＋0λ＝0， ∴λ＝－1 即當(dāng)λ＝－1時，a＋λb與a垂直. 2.已知|a|＝，|b|＝2，a與b的夾角為30，求|a＋b|，|a－b|. 解：|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos30＋|b|2＝（）2＋22＋22＝13 ∴|a＋b|＝， ∵|a－b|2＝（a－b）2＝a2－2ab＋b2＝|a|2－2|a||b|cos30＋b2＝（）2－22＋22＝1 ∴|a－b|＝1 3.已知|a|＝3，|b|＝2，a|與b的夾角為60，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.當(dāng)m為何值時，c與d垂直? 解：若c⊥d，則cd＝0 ∴（3a＋5b）（ma－3 b）＝0 ∴3m|a|2＋（5m－9）ab－15|b|2＝0 ∴3m|a|2＋（5m－9）|a|| b |cos60－15|b|2＝0 即27m＋3（5m－9）－60＝0 解得m＝. 4.已知a＋b＝c，a－b＝d 求證：|a|＝|b|c⊥d 證明：（1）c⊥d（a＋b）（a－b）＝0a2－b2＝0a2＝b2|a|＝|b|， （2）|a|＝|b|a2＝b2a2－b2＝0（a＋b）（a－b）＝0c⊥d. Ⅳ.課時小結(jié) ［師］通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P150 A組 27，28. B組 5，6，7，8. ●板書設(shè)計 5.13.2 小結(jié)與復(fù)習(xí) 1.本節(jié)主要方法 （1）構(gòu)造向量法 （2）向量坐標(biāo)化 2.例題分析 3.學(xué)習(xí)練習(xí) ●備課資料 1.三角形內(nèi)角和性質(zhì) 定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個內(nèi)角，則A＋B＋C＝180 推論（1）：B＝602B＝A＋C 推論（2）：若A＜90，則有sinB＞cosC， cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC. 推論（3）：sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC， tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC. 推論（4）：sin＝cos，cos＝sin， tan＝cot，cot＝tan. 2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例 ［例1］△ABC中，若，求證：A、B、C成等差數(shù)列. 證明：由條件得， 由推論（3）得sin（B＋C）＝sinA. ∴sin（B－C）＝sinA－sinC ∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC 即2cosBsinC＝sinC ∵sinC≠0，∴cosB＝，∴B＝. 故由推論（1）得2B＝A＋C. 所以A、B、C成等差數(shù)列. ［例2］在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC 證明：∵△ABC是銳角三角形， ∴A＜90，根據(jù)推論（2）有：sinB＞cosC ① B＜90，根據(jù)推論（2）有：sinC＞cosA ② C＜90，根據(jù)推論（2）有：sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得： sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC. ［例3］已知△ABC，求證（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝0. 證明：根據(jù)正弦定理和推論（4）， 有（a－b）cot＝2R（sinA－sinB）tan ＝4Rsinsin， ∴（a－b）cot＝2R（cosB－cosA） 同理，（b－c）cot＝2R（cosC－cosB）； （c－a）cot＝2R（cosA－cosC）. 三式相加可得 （a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝0.