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2019-2020年高二數(shù)學上冊 8.1《向量的坐標表示及其運算》教案五 滬教版 一．教學內(nèi)容分析 按現(xiàn)行上海市中小學數(shù)學課程標準，本章內(nèi)容是在初中學習了向量的基本概念、向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積等基礎之上的后繼學習.但與初中有所不同的是，初中教材對向量的學習是以“形”為主，主要從“形”的角度展開，而本章內(nèi)容則主要是以“數(shù)”為主，從“數(shù)”的角度進行論述.當然，由于向量本身所具有的數(shù)形結合的特點，本章教材在以“數(shù)”為主旨處理教學內(nèi)容的同時并沒有弱化向量的“形”的方面的特征，而是二者相得益彰，互為依賴、互為補充. 以“數(shù)”為主旨研究向量，其核心手段是向量及其運算的坐標表示.向量的坐標表示，實際上是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標表示后，向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積等就完全可以用它們的坐標的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運算來進行，使向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來.這樣，就使得很多問題，可以轉化為熟知的數(shù)量的運算進行解決.向量及其運算的坐標表示，一方面為用代數(shù)方法處理幾何問題提供了通道，另一方面也為向量概念推廣到高維空間指明了途徑，同時，它也是高中數(shù)學中描述與處理如立幾、解幾、三角等諸多問題的一個有力的工具，在高考中也占有一個重要的地位. 作為本章的第一課時，本節(jié)課的主要內(nèi)容是向量的坐標表示及其運算.它是本章重要的基礎性與前提性內(nèi)容，它引入了將向量問題代數(shù)化的基本手段與方法——向量的坐標表示. 本節(jié)內(nèi)容課本上的基本處理方法是在引入一些相關的基礎性的概念之后，通過任意向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，在向量的正交分解的基礎上抽象概括出向量的坐標表示形式，并依據(jù)向量的正交分解的本質得到向量坐標形式下的運算法則. 本節(jié)課要著力解決三個問題：一是要解決引入向量的坐標形式的必要性的問題，以引起學生學習的動機，二是要解決如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐標形式或者說是如何讓學生理解向量坐標的本質的問題，三是要解決引入向量坐標形式以后如何以坐標形式進行運算的問題.作為本節(jié)課（本章的第一個課時）來說，第二個問題是重中重之中，因為如果學生不能理解向量的坐標是怎么來的，它的本質是什么，就會對后繼學習帶來一定的困難.因此，我們在課上要對這一點特別的重視. 二．教學目標設計 1.了解基本單位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；會用坐標表示向量；會用兩向量的坐標形式的和、差及實數(shù)與向量的積等運算解決相關問題. 2. 經(jīng)歷如何將位置向量及任意向量表示為基本單位向量的線性組合這一正交分解的過程，以及經(jīng)歷如何通過向量的正交分解的本質概括抽象出向量的坐標表示的過程，初步形成抽象思維的能力；理解平面向量與一對有序實數(shù)對的一一對應關系，理解向量的坐標表示方法及其運算法則；體會數(shù)形結合的思想方法. 3.感知數(shù)學中的運動、變化、相互聯(lián)系與相互轉化的規(guī)律，加深對辯證唯物主義觀點的體驗；發(fā)展從數(shù)學的角度分析和解決問題的能力，以及通過積極參與數(shù)學學習和問題解決的過程，增強學習的主體意識，形成數(shù)學的應用意識，養(yǎng)成嚴謹、慎密的思維習慣. 三．教學重點及難點 教學重點是如何寫向量的坐標以及向量坐標形式的運算及其應用；教學難點是對向量的正交分解的過程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐標表示的過程的理解. 四．教學流程設計 小結與作業(yè) 坐標表示的運算 運用與深化 知起點與終點的 向量的坐標表示 情境問題 向量的正交分解 向量的坐標表示 位置向量的 正交分解 任意向量的正交分解 位置向量的 坐標表示 任意向量的坐標表示 返回到情境問題 五．教學過程設計 一.情境引入 上海市莘莊中學的健美操隊四名隊員A、B、C、D在一個長10米，寬8米的矩形表演區(qū)域EFGH內(nèi)進行健美操表演. （1）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊形.隊員A位于點F處，隊員B在邊FG上距F點3米處，隊員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？ [說明] 此時隊員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個圖形比較特殊，學生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題. （2）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊形.隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？ [說明] 不要求學生寫出結果，只引導學生思考.這個圖形更為一般一些，學生解決的可能不是很順，這時，教師就可以說，這一節(jié)我們就來學習一個新的內(nèi)容：向量的坐標表示及其運算，學習了這個內(nèi)容之后，同學們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時間就可以解決這個問題了，引起學生學習的興趣與探究的欲望. 二．學習新課 1. 向量的正交分解 我們稱在平面直角坐標系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為，如圖，稱以原點O為起點的向量為位置向量，如下圖左，即為一個位置向量. 思考1：對于任一位置向量，我們能用基本單位向量來表示它嗎？ 如上圖右，設如果點A的坐標為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來表示嗎？（依向量與實數(shù)相乘的幾何意義可得），于是可得： 由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標系內(nèi)的任一位置向量都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解. 2.向量的坐標表示 思考2：對于平面直角坐標系內(nèi)的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點O為起點作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐標系內(nèi)，任意一個向量都存在一個與它相等的位置向量.由于這一點，我們研究向量的性質就可以通過研究其相應的位置向量來實現(xiàn).由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內(nèi)任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即： == 上式中基本單位向量前面的系數(shù)x,y是與向量相等的位置向量的終點A的坐標.由于基本單位向量是固定不可變的，為了簡便，通常我們將系數(shù)x,y抽取出來，得到有序實數(shù)對（x,y）.可知有序實數(shù)對（x,y）與向量的位置向量是一一對應的.因而可用有序實數(shù)對（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標，記作： =（x,y） [說明]（x,y）不僅是向量的坐標，而且也是與相等的位置向量的終點A的坐標！當將向量的起點置于坐標原點時，其終點A的坐標是唯一的，所以向量的坐標也是唯一的.這樣，我們就將點與向量、向量與坐標統(tǒng)一起來，使復雜問題簡單化. 顯然，依上面的表示法，我們有：. 例1.（課本例題）如圖，寫出向量的坐標. 解：由圖知 與向量相等的位置向量為， 可知 與向量相等的位置向量為， 可知 [說明] 對于位置向量，它的終點的坐標就是向量的坐標；對于起點不在原點的向量，我們是通過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標得到它們的坐標.那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題.讓我們先學習向量坐標表示的運算： 3.向量的坐標表示的運算 我們學過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數(shù)與向量的乘法等運算，那么，在學習了向量的坐標表示以后，我們怎么用向量的坐標形式來表示這些運算呢？ 設是一個實數(shù)， 由于 所以 于是有： [說明]上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和(差)的橫坐標等于它們對應的橫坐標的和(差)，兩個向量的和(差)的縱坐標也等于它們對應的縱坐標的和(差)，可籠統(tǒng)地簡稱為：兩個向量和(差)的坐標等于對應坐標的和(差)； 同樣，第二個式子用語言可表述為：數(shù)與向量的積的橫坐標等于數(shù)與向量的橫坐標的積，數(shù)與向量的積的縱坐標等于數(shù)與向量的縱坐標的積，也可籠統(tǒng)地簡稱為：數(shù)與向量積的坐標等于數(shù)與向量對應坐標的積. 4.應用與深化 下面我們來研究剛才提出的不通過位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標的問題： 例2.如下圖左，設、是平面直角坐標系內(nèi)的任意兩點，如何用P、Q的坐標來表示向量？ 解：如上圖右，向量 從而有 [說明]上面這個式子告訴我們：平面直角坐標系內(nèi)的任意向量的橫坐標等于它終點的橫坐標與它起點的橫坐標的差，縱坐標也等于它終點的縱坐標與它起點的縱坐標的差，可簡稱為“任意向量坐標=終點坐標-起點坐標”. 例3.（課本例題）如圖，平面上A、B、C三點的坐標分別為、、. （1）寫出向量的坐標； （2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標. 解：（1） （2）在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以 設點D的坐標為，于是有 又 故 由此可得 解得 因此點D的坐標為. 練習：（1）請大家用兩分鐘的時間解答本節(jié)課一開始我們所提出的在某時刻，健美操隊員C的位置問題.即：在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊形.如下圖左，隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？ 解：以點F為坐標原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標系.則依題意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),設C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得： 又 故 于是 x=8, y=7,即C（8，7）. 答：隊員C位于距EF邊8米、距FG邊7米處. （2）在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持平行四邊形隊形.已知隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區(qū)域內(nèi)（包括邊界）某一位置.你能確定此時隊員D可能的位置區(qū)域嗎？ 解：以點F為坐標原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標系.依題意有A(2,1),B(6,3),設D(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得： 又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由題意 于是可得隊員D可能的位置區(qū)域如圖所示陰影部分（除去點B）： 例4.已知向量與，求的坐標. 解：因為， 所以 三．鞏固練習 1. 如圖，寫出向量的坐標. 2.已知，若其終點坐標是(2,1),則其起點的坐標是 ；若其起點坐標是(2,1),則其終點的坐標是 . 3.已知向量與，求及的坐標. 解：1.由題意： 2.設起點的坐標是(x,y)，則(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起點的坐標是(3,-1)； 設終點的坐標是(x,y)，則(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起點的坐標是(1,3). 3. =3 =3 [另法]：== 四．課堂小結： 本節(jié)課我們講了哪些內(nèi)容？（請學生作答） 1.向量的正交分解（是如何對向量進行正交分解的？） 2.向量的坐標表示（是用什么表示向量的坐標的？） 3.向量的坐標運算（運算法則是什么？） 五．作業(yè)布置 1.已知則與的坐標分別為( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3) 2.若點A坐標為(2,-1),的坐標為(4,6),則B點的坐標為( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5) 3.已知若則x= ,y= . 4.已知，且的坐標所表示的點在第四象限，則x的取值范圍是 . 5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求證：. 6.已知并且求x,y的值. 7.已知，且求的值. 六．教學設計說明及反思 在本節(jié)課的設計上，我是先用一個實際的情境問題引入，引起學生學習的興趣，同時也在最后通過應用向量坐標這個工具對于這個問題的簡便解決以及對于這一問題的進一步深化，使學生體會到引入向量坐標形式這個工具的必要性，并培養(yǎng)學生數(shù)學的應用意識，體會到數(shù)學是有用的，是有價值的；另外，在新授課內(nèi)容的設計上，主要采用了以知識內(nèi)容本身的邏輯關系而形成的繼承關系為順序的直線型的設計，主要有四個板塊：一是向量的正交分解，二是向量的坐標表示，三是向量的坐標運算，四是應用與深化.其中向量的正交分解是從介紹基本單位向量與位置向量的概念入手，然后通過先處理位置向量的正交分解，再處理任意向量的正交分解；向量的坐標表示也是先處理位置向量的坐標表示然后再處理可化為位置向量的向量的坐標表示，最后在研究了坐標形式的運算之后才以例題的形式處理任意向量的坐標表示，這樣設計的思路與課本上先交代任意向量都可以作一個與之相等的位置向量，然后只要研究位置向量就能得到原來向量的性質的思路略有不同，這樣設計的出發(fā)點主要是希望能夠給學生的學習創(chuàng)造一個按知識自身的邏輯順序而層層遞進的、螺旋上升的學習過程，使學生能夠步步為營的在充分弄清前一個問題的基礎上進入下一個問題，從而達到有效分散學生在學習中的難點的目的.在應用與深化這一板塊上，我主要設計了五個問題，第一個問題是例1，置于向量的坐標表示這一板塊之中，其目的是為了在初次接觸坐標表示時，加深對位置向量與可化為位置向量的坐標的理解，以及舒緩一下學生在較長時間的數(shù)學純理論學習中所聚集的緊張或疲勞情緒，為下面的學習作點準備；第二個問題是例2，解決任意向量的坐標表示問題，這也是這一節(jié)課必須要解決的一個重點問題；第三個問題是例3，其目的是通過對任意向量的坐標表示公式的應用，強化對這一公式的記憶與掌握，同是也為下一問題即引入問題的解決作知識與方法上的鋪墊；第四個問題是解決引入的情境問題并作進一步深化；第五個問題是對向量坐標表示運算公式的應用.同時，最后又設置了三個小題，作為課內(nèi)練習，機動使用. 整個一節(jié)課，如果用一句話概括基本的設計思路，那就是：低起點（使學生容易入手）、小步走（使學生容易理解）、重視過程（重視知識的發(fā)生過程及重視學生的學習過程）、強化訓練（訓練是掌握與提高的有效途徑）.