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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練65 合情推理與演繹推理 理 新人教版 一、選擇題 1．如圖1125是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是(　　) 圖1125 【解析】　該五角星對角上的兩盞花燈依次按順時(shí)針方向亮兩盞，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是A. 【答案】　A 2．?dāng)?shù)列2,5,11,20,32，x，…中的x等于(　　) A．28　　　B．32　　　C．33　　　D．47 【解析】　由數(shù)與數(shù)間的關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)間依次相差“3,6,9,12,15，…”．故x＝32＋15＝47. 【答案】　D 3．觀察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， … 可以得出的一般結(jié)論是(　　) A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 【解析】　由前四個(gè)等式我們發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等式左邊共有2n－1項(xiàng)，故為n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 【答案】　B 4．定義一種運(yùn)算“*”：對于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)： (1)1](　　) A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2 【解析】　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1] 【答案】　A 5．(xx銀川模擬)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，由此可以推廣為x＋≥n＋1，取值p等于(　　) A．nn B．n2 C．n D．n＋1 【解析】　∵x∈(0，＋∞)時(shí)可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，∴在p位置出現(xiàn)的數(shù)恰好是不等式左邊分母xn的指數(shù)n的指數(shù)次方，即p＝nn. 【答案】　A 6．(xx長春模擬)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對于給定的兩個(gè)函數(shù)： S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是(　　) ①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【解析】　經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯(cuò)誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．綜上所述，選B. 【答案】　B 二、填空題 7．(xx陜西高考)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點(diǎn)數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________． 【解析】　觀察分析、歸納推理． 觀察F，V，E的變化得F＋V－E＝2. 【答案】　F＋V－E＝2 8．(xx安徽高考)如圖1126 ，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1，過點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，依此類推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________. 圖1126 【解析】　根據(jù)題意易得a1＝2，a2＝，a3＝1， ∴{an}構(gòu)成以a1＝2，q＝的等比數(shù)列， ∴a7＝a1q6＝26＝. 【答案】　 9．二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.則四維空間中“超球”的四維測度W＝2πr4，猜想其三維測度V＝________. 【解析】　由已知，可得圓的一維測度為二維測度的導(dǎo)函數(shù)；球的二維測度是三維測度的導(dǎo)函數(shù)．類比上述結(jié)論，“超球”的三維測度是四維測度的導(dǎo)函數(shù)，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3. 【答案】　8πr3 三、解答題 10．(xx福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 【解】　(1)選擇②式，計(jì)算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝. (2)歸納三角恒等式sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝＋－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 11．(xx阜陽模擬)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由． 【證明】　如圖所示，由射影定理 AD2＝BDDC，AB2＝BDBC， AC2＝BCDC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. 猜想，四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則＝＋＋. 證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. ∵AB⊥CD，AE⊥CD，∴CD⊥平面ABF. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋， 故猜想正確． 12．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)． (1)求函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心； (2)計(jì)算f＋f＋f＋f＋…＋f 【解】　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1， 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. f＝3－2＋3－＝1. 由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為. (2)由(1)，知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為， 所以f＋f＝2， 即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f＋f＝2， f＋f＝2， f＋f＝2， … f＋f＝2. 所以f＋f＋f＋f＋…＋f ＝22 014＝2 014.