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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1．2.2 函數(shù)的表示法 第一課時(shí)教案精講 新人教A版必修1 [讀教材填要點(diǎn)] [小問題大思維] 1．任何一個(gè)函數(shù)都能用解析式表示嗎？ 提示：不一定．如學(xué)校安排的月考，某一地區(qū)綠化面積與年份關(guān)系等受偶然因素影響較大的函數(shù)關(guān)系就無法用解析式表示． 2．已知函數(shù)f(x)如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) －3 －2 －4 －1 則f(x)的定義域是什么？值域是什么？ 提示：由表格可知定義域?yàn)閧1,2,3,4}，值域?yàn)閧－1，－2，－3，－4}． 3．如何判斷一個(gè)圖形是否可以作為函數(shù)圖象？ 提示：任作垂直于x軸的直線，如果圖形與此直線至多有一個(gè)交點(diǎn)，則此圖形可以作為函數(shù)圖象；若圖形與直線存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則此圖形不可作為函數(shù)的圖象． 如圖，由上述判斷方法可得，(1)可作為函數(shù)的圖象，(2)不可作為函數(shù)的圖象，因?yàn)榇嬖诖怪庇趚軸的直線與圖形有兩個(gè)交點(diǎn)． 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 [例1]　已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)． [自主解答]　∵f(x)為二次函數(shù)， ∴可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝c＝2. ∴f(x)＝ax2＋bx＋2. f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2 ＝a(x2＋2x＋1)＋bx＋b＋2 f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1 ∴得 ∴f(x)＝x2－x＋2. 若將例1中“f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1”改為“f(1)＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，－3)”，求f(x)． 解：設(shè)二次函數(shù)f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0) ∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，－3) 則h＝，k＝－3 ∴f(x)＝a(x－)2－3 又∵f(1)＝2， ∴2＝a()2－3. ∴＝5. ∴a＝20. ∴f(x)＝20(x－)2－3.　　　　 —————————————————— 待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟如下： (1)設(shè)出所求函數(shù)含有待定系數(shù)的解析式.如一次函數(shù)解析式設(shè)為f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函數(shù)解析式設(shè)為f(x)＝\f(k,x)(k≠0)，二次函數(shù)解析式設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)把已知條件代入解析式，列出含待定系數(shù)的方程或方程組； (3)解方程或方程組，得到待定系數(shù)的值； (4)將所求待定系數(shù)的值代回原式從而得到函數(shù)的解析式. ———————————————————————————————————————— 1．如果一次函數(shù)f(x)，滿足f(f(x))＝2x－1，求一次函數(shù)f(x)的解析式． 解：∵f(x)為一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝kx＋b. ∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b＝2x－1. ∴k2＝2，kb＋b＝－1，k＝. 當(dāng)k＝時(shí)，(＋1)b＝－1，b＝ ＝1－，f(x)＝x＋1－. 當(dāng)k＝－時(shí)，(1－)b＝－1，b＝＝＋1，f(x)＝－x＋＋1. 利用換元法(或配湊法)求函數(shù)解析式 [例2]　已知f(1＋)＝＋，試求f(x)． [自主解答]　法一(換元法)：令t＝1＋，則t∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x＝，代入＋中，可得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 法二(配湊法)：f(1＋)＝＋＝－＋＝(1＋)2－(1＋)＋1，因?yàn)?＋≠1，所以函數(shù)解析式為f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． —————————————————— 已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有兩種方法： (1)換元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意：換元后新元的范圍. (2)配湊法，即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可. ———————————————————————————————————————— 2．已知f(－1)＝x＋2，求f(x)． 解：令－1＝t，則x＝(t＋1)2 ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)，(t≥－1)， ＝t2＋2t＋1＋2t＋2 ＝t2＋4t＋3. ∴f(x)＝x2＋4x＋3.(x≥－1)． 函數(shù)圖象的作法及應(yīng)用 [例3]　作出函數(shù)y＝x2－4x＋6，x∈[0,4]的圖象． [自主解答]　y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2 在x∈[0,4]上如下圖． —————————————————— 1. 作函數(shù)圖象的一般步驟： (1)列表：計(jì)算要正確，取值要具有代表性、典型性； (2)描點(diǎn)：點(diǎn)的位置要準(zhǔn)確； (3)連線：用光滑曲線連接起來. 2. 作函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)注意的問題： (1)在定義域內(nèi)作圖； (2)圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時(shí)可用虛線來襯托整個(gè)圖象； (3)宜標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等.要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn). ———————————————————————————————————————— 3．作出下列函數(shù)的圖象． (1)y＝x(－2≤x≤2，x∈Z且x≠0)； (2)y＝－2x2＋4x＋1(00時(shí)，垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象無交點(diǎn)． 答案：D 二、填空題 5．已知正方形的周長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的解析式為________． 解析：∵正方形的周長為x.∴正方形的邊長為. ∴正方形的對角線長為x ∴y＝x(x＞0)． 答案：y＝x(x＞0) 6．下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象與直線x＝a(a∈R)的交點(diǎn)，說法正確的有________． ①至多有一個(gè)；②至少有一個(gè)；③有且僅有一個(gè)；④有一個(gè)或兩個(gè)；⑤與a的值有關(guān)，不能確定． 解析：直線x＝a(a∈R)是與x軸垂直的一條直線，與定義域?yàn)镽的函數(shù)y＝f(x)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)． 答案：③ 7．若2f(x)＋f()＝2x＋(x≠0)，則f(2)＝________. 解析：令x＝2得2f(2)＋f()＝， 令x＝得2f()＋f(2)＝， 消去f()得f(2)＝. 答案： 8．若f(2x)＝4x2＋2，則f(x)的解析式為________． 解析：∵f(2x)＝4x2＋2. 令2x＝t，則x＝， ∴f(t)＝4()＋2＝t2＋2， ∴f(x)＝x2＋2. 答案：f(x)＝x2＋2 三、解答題 9．設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，對于x∈R恒成立，且f(x)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10，f(x)的圖象過點(diǎn)(0,3)，求f(x)的解析式． 解：∵f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱． 于是，設(shè)f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)， 則由f(0)＝3，可得k＝3－4a， ∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3. ∵ax2－4ax＋3＝0的兩實(shí)數(shù)根的平方和為10， ∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－， ∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3. 10．2013年4月1日，王兵買了一輛別克新凱越1.6 L手動(dòng)擋的家庭轎車，該種汽車燃料消耗量標(biāo)識(shí)是：市區(qū)工況： 10．40 L/100 km；市郊工況：6.60 L/100 km；綜合工況：8.00 L/100 km. 王兵估計(jì)：他的汽車一年的行駛里程約為10 000 km，汽油價(jià)格按平均價(jià)格7.50元/L來計(jì)算，當(dāng)年行駛里程為x km時(shí)燃油費(fèi)為y元． (1)判斷y是否是關(guān)于x的函數(shù)，如果是，求出函數(shù)的定義域和解析式． (2)王兵一年的燃油費(fèi)估計(jì)是多少？ 解：(1)y是關(guān)于x的函數(shù)． 函數(shù)的定義域是[0,10 000]， 函數(shù)解析式為y＝87.50＝0.60x. (2)當(dāng)x＝10 000時(shí)，y＝0.6010 000＝6 000， 所以王兵一年的燃油費(fèi)估計(jì)是6 000元．