2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.3總體特征數(shù)的估計(jì)名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.3總體特征數(shù)的估計(jì)名師導(dǎo)航學(xué)案蘇教版必修3 三點(diǎn)剖析 在初中我們知道，總體平均數(shù)(又稱為總體期望值)描述了一個(gè)總體的平均水平，由于對(duì)很多總體來說，它的平均數(shù)不易求得，常用容易求得的樣本平均數(shù):對(duì)它進(jìn)行估計(jì)，而且常用兩個(gè)樣本平均數(shù)的大小去近似地比較相應(yīng)的兩個(gè)總體平均數(shù)的大小. 一、平均數(shù) 1．平均數(shù)定義 若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則稱 (i=1，2，3，…，n)為這組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)(或均值).通常用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù).當(dāng)所給數(shù)據(jù)中沒有重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)，我們一般用此公式來求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).這里(x1+x2+…+xn).平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，我們常用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的水平. 當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的重復(fù)數(shù)據(jù)過多時(shí)，若用上面公式求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，其過程就會(huì)顯得比較復(fù)雜和冗長(zhǎng)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，我們引入下面這種計(jì)算平均數(shù)的方法: 一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…+xnpn.這一公式實(shí)質(zhì)上就是公式的一個(gè)變形，它主要用于含有重復(fù)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)組求平均數(shù). 除此之外，當(dāng)所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，我們也可利用公式:,其中 (x1′+x2′+…+xn′)，x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a，…，xn′=xn-a；常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)較“整”的數(shù). 例如:求數(shù)據(jù)70，71，72，73的平均數(shù)時(shí)，我們可以先求出0，1，2，3的平均數(shù)，然后將此平均數(shù)加上70即得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù). 2．平均數(shù)的性質(zhì) (1)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則ax1，ax2，…，axn的平均數(shù)為a； (2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為a+b； 二、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 在初中我們知道，極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù). 1．極差的定義 一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值的差叫極差.極差也可以對(duì)兩組數(shù)據(jù)的集中程度進(jìn)行對(duì)比，且比較簡(jiǎn)單.但兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，利用它就不易得出結(jié)論了.而且它只利用了數(shù)據(jù)中的最大值和最小值，對(duì)極值過于敏感.但由于只涉及到了兩個(gè)數(shù)據(jù)，便于得到.所以極差在實(shí)際中也經(jīng)常用到. 例如:數(shù)據(jù):25,41,37,22,14,19,39,21,42,40中的最大值為42，最小值為14，它的極差為42-14=28． 2．方差的定義 在一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2,即若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，則s2=. 為了更好地比較兩組數(shù)據(jù)的集中程度,我們可以利用這兩組數(shù)據(jù)的方差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.方差較大的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大；方差較小的數(shù)據(jù)波動(dòng)較小.當(dāng)所給的數(shù)據(jù)有單位時(shí)，所求得的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫單位.方差的單位為所給數(shù)據(jù)單位的平方. 3．方差的性質(zhì) (1)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2； (2)若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，方差為s2，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差為a2s2,特別地，當(dāng)a=1時(shí)，則有x1+b，x2+b，…，xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去相同的一個(gè)常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性； (3)方差刻畫了數(shù)據(jù)相對(duì)于均值的平均偏離程度.對(duì)于不同的數(shù)據(jù)集，當(dāng)離散程度越大時(shí)，方差越大； (4)方差的單位是原始測(cè)量數(shù)據(jù)單位的平方，對(duì)數(shù)據(jù)中的極值較為敏感. 4．標(biāo)準(zhǔn)差 刻畫數(shù)據(jù)離散程度的度量，其理想形式應(yīng)滿足以下三條原則: (1)應(yīng)充分利用所得到的數(shù)據(jù)，以便提供更確切的信息； (2)僅用一個(gè)數(shù)值來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度； (3)對(duì)于不同的數(shù)據(jù)，當(dāng)離散程度大時(shí)，該數(shù)值也大. 我們上面提到的極差顯然不滿足第一條原則，因?yàn)樗焕昧藬?shù)據(jù)中最大和最小的兩個(gè)值.方差雖然滿足上面的三條原則，然而它有局限性:方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)與原始觀測(cè)數(shù)據(jù)具有相同的單位.解決這一局限性的方法就是取方差的算術(shù)平方根.方差的算術(shù)平方根稱作標(biāo)準(zhǔn)差，記作s，即標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原始測(cè)量數(shù)據(jù)單位相同，可以減弱極值的影響. 問題探究 問題1:甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑為40㎜的零件.為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10件進(jìn)行了測(cè)量，結(jié)果如下: 甲/mm 40.0 39．8 40.1 40.2 39．9 40.0 40.2 39．8 40.2 39．8 乙/mm 40.0 40.0 39．9 40.0 39．9 40.1 40.1 40.1 40.0 39．9 能用幾種方法比較這兩臺(tái)機(jī)床的性能？ 探究:經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可以得出:甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的這10件產(chǎn)品的直徑的平均數(shù)都為40mm.所以，不能從平均數(shù)這一角度來比較這兩臺(tái)機(jī)床的性能,即不能從數(shù)據(jù)的平均水平上來比較，只能從數(shù)據(jù)的離散程度上進(jìn)行比較.要從數(shù)據(jù)的離散程度上進(jìn)行比較,常見的方法有以下幾種: 方法一:利用初中所學(xué)的折線統(tǒng)計(jì)圖.由折線統(tǒng)計(jì)圖我們可以直觀地表示出這兩組數(shù)據(jù)的離散程度，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品波動(dòng)幅度比乙大.所以，乙機(jī)床的性能好于甲. 方法二:利用這兩組數(shù)據(jù)的極差進(jìn)行比較.甲:40.2-39．8=0.04；乙:40.1-39．9=0.02．顯然，乙組數(shù)據(jù)的極差小于甲組數(shù)據(jù)的極差.所以，乙機(jī)床的性能好于甲. 方法三:利用這兩組數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較.由方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式不難得出甲的方差為s甲2=0.026(mm2)，標(biāo)準(zhǔn)差為s甲=0.161(mm)；乙的方差為s乙2=0.006(mm2)，標(biāo)準(zhǔn)差為s乙=0.077(mm).由上可知:不論是方差還是標(biāo)準(zhǔn)差甲的均比乙的大，這就說明乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品要更標(biāo)準(zhǔn)些.所以，乙機(jī)床的性能好于甲. 問題2:某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽，他們的成績(jī)(單位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67； 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75． 經(jīng)預(yù)測(cè)，跳高1.65m就很可能獲得冠軍.該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)測(cè)跳高1.70 m方可獲得冠軍呢？ 探究:參加比賽的選手的成績(jī)得突出，且成績(jī)穩(wěn)定,這就需要比較這兩名選手的平均成績(jī)和成績(jī)的方差. 甲的平均成績(jī)和方差如下: (1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69, s甲2=［(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2］=0.000 6． 乙的平均成績(jī)和方差如下: (1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68, s乙2=［(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2］=0.003 15． 顯然，甲的平均成績(jī)好于乙的平均成績(jī)，而且甲的方差小于乙的方差，說明甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定.由于甲的平均成績(jī)高于乙，且成績(jī)穩(wěn)定，所以若跳高1.65m就很可能獲得冠軍,應(yīng)派甲參賽.在這8次選拔賽中乙有5次成績(jī)?cè)?.70 m以上，雖然乙的平均成績(jī)不如甲，成績(jī)的穩(wěn)定性也不如甲，若跳高1.70m方可獲得冠軍時(shí)，應(yīng)派乙參加比賽. 精題精講 例1．在去年的足球甲A聯(lián)賽上，一隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.5，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1；二隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)為2.1，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4．你認(rèn)為下列說法中哪一種是正確的？ (1)平均說來一隊(duì)比二隊(duì)技術(shù)好； (2)二隊(duì)比一隊(duì)技術(shù)水平更穩(wěn)定； (3)一隊(duì)有時(shí)表現(xiàn)很差，有時(shí)表現(xiàn)又非常好； (4)二隊(duì)很少不失球. 思路解析 本題主要考查對(duì)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的概念的理解.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，而方差則反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性的大小.一隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)比二隊(duì)每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)少，說明一隊(duì)的技術(shù)比二隊(duì)的技術(shù)好；一隊(duì)全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差較大，說明一隊(duì)的表現(xiàn)時(shí)好時(shí)壞，起伏較大；二隊(duì)的平均失球數(shù)多，全年比賽失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差很小，說明二隊(duì)的表現(xiàn)較穩(wěn)定，經(jīng)常失球. 答案:(1)(2)(3)(4)都正確. 例2．下面是某一個(gè)工廠所有工作人員在某個(gè)月的工資，總經(jīng)理6 000元，技術(shù)工人甲900元，技術(shù)工作人員乙800元，雜工640元，服務(wù)員甲700元，服務(wù)員乙640元，會(huì)計(jì)820元. (1)計(jì)算所有工作人員的平均工資. (2)去掉總經(jīng)理后，再計(jì)算平均工資. (3)在(1)和(2)中兩種平均工資哪一種能代表一般工人的收入水平，為什么？ 思路解析 計(jì)算平均工資是用工資總數(shù)除以領(lǐng)工資的人數(shù)即可. 答案:(1)所有工作人員平均工資為(6 000+900+800+640+700+640+820)=1 500(元). (2)去掉總經(jīng)理后平均工資為(900+800+640+700+640+820)=750(元). (3)能代表一般工人的收入水平的是去掉總經(jīng)理后的平均工資750元.因?yàn)槌タ偨?jīng)理之外，工作人員的工資均在900元以下，因此不能以1 500元來代表職工的平均工資水平. 綠色通道 一般地，在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)能夠反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和平均水平，但有時(shí)需要去掉極端值(極大值或極小值),這樣計(jì)算平均數(shù)則更能反映平均水平，這就是有些比賽活動(dòng)中往往會(huì)去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值再去計(jì)算平均成績(jī)的原因. 例3．甲、乙兩工人同時(shí)加工一種圓柱零件，在他們所加工的零件中各抽取10個(gè)進(jìn)行直徑檢測(cè)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下(單位:mm): 甲:19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1； 乙:20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4． (1)分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差； (2)若零件規(guī)定直徑為20.00.5(mm)，根據(jù)兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差，說明誰加工的零件的質(zhì)量較穩(wěn)定. 思路解析 利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，再比較誰的零件的質(zhì)量較穩(wěn)定.由于方差能說明一組數(shù)據(jù)波動(dòng)性的大小，則可通過比較這兩個(gè)樣本的方差的大小來比較兩人加工零件的穩(wěn)定性. 答案:(1)甲=20.02，乙=20.02, 利用s2＝,可得s甲2=0.033 6,s乙2=0.041 6． ∵s甲2＜s乙2， ∴甲工人加工零件的質(zhì)量比較穩(wěn)定. 綠色通道 比較兩人加工零件的質(zhì)量的穩(wěn)定性，這里通過平均數(shù)比較不出來，需要使用方差來比較，方差越大說明波動(dòng)性較大，質(zhì)量越不穩(wěn)定.一般地，方差和標(biāo)準(zhǔn)差通常用來反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.在統(tǒng)計(jì)中，樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差通常用來估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小. 例4．從2001年2月21日0時(shí)起，中國電信執(zhí)行新的電話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，其中本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)內(nèi)通話費(fèi)是:前3min為0.2元(不足3min的按3min計(jì)算)，以后每分鐘加收0.1元(不足1min的按1min計(jì)算).某星期天，一位學(xué)生調(diào)查了A、B、C、D、E五位同學(xué)某天打本地網(wǎng)營(yíng)業(yè)區(qū)內(nèi)電話的通話時(shí)間情況，原始數(shù)據(jù)如表1． 表1 A B C D E 第一次通話時(shí)間 3min 3min 45s 3min 55s 3min 20s 6min 第二次通話時(shí)間 0 4min 3min 40s 4min 40s 0 第三次通話時(shí)間 0 0 5min 2min 0 表2 時(shí)間段 頻數(shù)累計(jì) 頻 數(shù) 0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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