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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 推理與證明 板塊二 直接證明與間接證明完整講義（學(xué)生版） 典例分析 題型一：綜合法 【例1】 若,則下列結(jié)論不正確的是 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 【例2】 如果數(shù)列是等差數(shù)列，則（ ）。 （A） （B） （C） （D） 【例3】 在△ABC中若,則A等于( ) (A) (B) (C) (D) 【例4】 下列四個(gè)命題：①若,則;②若,則;③若x、yR，滿足,則的最小值是；④若a、bR，則。其中正確的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】 下面的四個(gè)不等式：①；②；③ ；④.其中不成立的有 （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè) 【例6】 已知且，則在①；②； ③；④這四個(gè)式子中，恒成立的個(gè)數(shù)是 （ ） A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) 【例7】 已知均大于1，且，則下列各式中，一定正確的是 （ ） A B C D 【例8】 已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例9】 、為銳角，，則a、b之間關(guān)系為 （ ） A． 　 B．　　　　 C． D．不確定 【例10】 設(shè)M是內(nèi)一點(diǎn)，且，，定義，其中m、n、p分別是，，的面積，若，則的最小值是 （ ） A．8 B．9 C．16 D．18 【例11】 若函數(shù)是偶函數(shù)，則，（a∈R）的大小關(guān)系是　　　　　　. 【例12】 設(shè) 【例13】 函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則,,的大小關(guān)系是 . 【例14】 已知 ，向量的 夾角為，則= 【例15】 定義運(yùn)算，例如，，則函數(shù)的最大值為． 【例16】 若，，且恒成立，則的最大值是 。 【例17】 已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體： ①當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為非負(fù)實(shí)數(shù)； ②對(duì)于任意的，都有 在三個(gè)函數(shù)中，屬于集合M的是 。 【例18】 給出下列四個(gè)命題： ①若，則； ②若，則； ③若，則； ④若，，且，則的最小值為9. 其中正確命題的序號(hào)是 .（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上） 【例19】 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 （或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其他條件，例如ABCD是正方形、菱形等）時(shí)，有A1C⊥B1D1（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形） 圖 【例20】 用一根長(zhǎng)為12m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗)，要使這個(gè)窗戶通過(guò)的陽(yáng)光最充足，則框架的長(zhǎng)與寬應(yīng)為　　　　　　　　　　. 【例21】 若，求證：． 【例22】 若，求證： 【例23】 已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證 【例24】 證明：已知：，求證： 【例25】 已知求的最大值。 【例26】 設(shè)，求證：． 【例27】 某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 噸． 【例28】 在銳角三角形中,求證: 題型二：分析法 【例29】 設(shè)，，，則x與y的大小關(guān)系為（ ）。 （A）； （B）； （C）； （D） 【例30】 已知，則正確的結(jié)論是（ ）。 (A) (B) (C) (D)a、b大小不定 【例31】 設(shè)a、b、m都是正整數(shù)，且a＜b，則下列不等式中恒不成立的是（ ）。 (A) (B) (D) (D) 【例32】 已知，且，則不能等于（ ）。 (A)f（1）+2f（1）+…+nf（1） (B) (C)n（n+1） (D)n（n+1）f（1） 【例33】 的大小關(guān)系是__________. 【例34】 在十進(jìn)制中，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼xx折合成十進(jìn)制為 。 【例35】 設(shè)，那么P, Q, R的大小順序是 。 【例36】 有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)?！币艺f(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)。”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了?！倍≌f(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)?！彼奈桓枋值脑捴挥袃删涫菍?duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是 【例37】 若是△的三邊長(zhǎng)，求證： 【例38】 △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， 求證：。 【例39】 用分析法證明：若a>0，則。 【例40】 設(shè)若函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，求證為偶函數(shù)。 【例41】 自然狀態(tài)下魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響，用表示某魚(yú)群在第年年初的總量，，且＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù). （Ⅰ）求與的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)，滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明） 【例42】 設(shè)函數(shù). （1）證明：； （2）設(shè)為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明. 【例43】 已知二次函數(shù), （1）若且,證明:的圖像與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn); （2）證明: 若對(duì),, 且，,則方程必有一實(shí)根在區(qū)間 (,) 內(nèi); （3）在(1)的條件下,是否存在,使成立時(shí),為正數(shù). 題型三：反證法 【例44】 下列表中的對(duì)數(shù)值有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的： 3 5 8 9 15 請(qǐng)將錯(cuò)誤的一個(gè)改正為 = 【例45】 用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ） ( A ) 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60； (B) 假設(shè)三內(nèi)角都大于60； (C) 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60； (D) 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60。 【例46】 已知＝2，關(guān)于p＋q的取值范圍的說(shuō)法正確的是 （ ） （A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2 【例47】 否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是 ( ) （A）有一個(gè)解 （B）有兩個(gè)解 （C）至少有三個(gè)解 （D）至少有兩個(gè)解 【例48】 設(shè)大于0，則3個(gè)數(shù)：，，的值 ( ) （A）都大于2 （B）至少有一個(gè)不大于2 （C）都小于2 （D）至少有一個(gè)不小于2 【例49】 已知α∩β＝l，aα、bβ，若a、b為異面直線，則 ( ) （A） a、b都與l相交 （B） a、b中至少一條與l相交 （C） a、b中至多有一條與l相交 （D） a、b都與l相交 【例50】 用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí),反設(shè)正確的是（ ） A、假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度； B、 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度； C、假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；D、 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。 【例51】 命題“關(guān)于x的方程的解是唯一的”的結(jié)論的否定是 （ ） A、無(wú)解 B、兩解 C、至少兩解 D、無(wú)解或至少兩解 【例52】 用反證法證明命題“如果那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)____________. 【例53】 用反證法證明“，求證：中至少有一個(gè)不小于”時(shí)的假設(shè)為 【例54】 用反證法證明“若＞0，則 ”時(shí)的假設(shè)為 【例55】 用反證法證明命題“可以被5整除，那么中至少有一個(gè)能被5整除。”那么假設(shè)的內(nèi)容是 【例56】 證明：不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng). 【例57】 對(duì)于直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x－y=1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對(duì)稱(chēng)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 【例58】 已知，求證： 【例59】 若均為實(shí)數(shù)，且。 求證：中至少有一個(gè)大于0。 【例60】 求證：形如的正整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的平方和 【例61】 若、， (1)求證：； (2)令，寫(xiě)出、、、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值. 【例62】 設(shè)，函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù). （1）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）設(shè)≥1，≥1，且，求證：. 【例63】 設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成： ①； ②存在實(shí)數(shù)，使．（為正整數(shù)） ⑴在只有項(xiàng)的有限數(shù)列，中，其中； ；試判斷數(shù)列是否為集合的元素； ⑵設(shè)是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，，， 證明數(shù)列；并寫(xiě)出的取值范圍； ⑶設(shè)數(shù)列且對(duì)滿足條件的的最小值，都有． 求證：數(shù)列單調(diào)遞增． 【例64】 設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱(chēng)為上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間.　　對(duì)任意的上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法. （1）證明：對(duì)任意的，，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間； （2）對(duì)給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于； （3）選取，，由（1）可確定含峰區(qū)間或，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取，由與或與類(lèi)似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間.在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下，試確定，的值，滿足兩兩之差的絕對(duì)值不小于0.02,且使新的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到0.34.（區(qū)間長(zhǎng)度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差） 【例65】 已知數(shù)列滿足：， ，；數(shù)列滿足： ． ⑴求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； ⑵證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列．