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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 第五課時(shí) 向量的數(shù)乘（二）教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行并能熟練運(yùn)用. 教學(xué)重點(diǎn)： 實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn)： 實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)用. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)與向量的積的定義及運(yùn)算律，并了解了兩向量共線的條件. 這一節(jié)，我們將在上述知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行具體運(yùn)用. Ⅱ.講授新課 ［例1］已知ABCD，E、F分別是DC和AB的中點(diǎn)，求證：AE∥CF. 證明：因?yàn)镋、F為DC、AB的中點(diǎn)， ∴＝，＝， 由向量加法法則可知：＝＋＝＋， ＝＋＝＋. ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－＝－(＋)＝－ ∴∥， ∴AE∥CF ［例2］已知ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，證明AO＝OC，BO＝OD. 分析：本題考查兩個(gè)向量共線的充要條件，實(shí)數(shù)與向量積的 運(yùn)算以及平面向量基本定理的綜合應(yīng)用. 證明：∵A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得＝λ，＝μ. 設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝b－a ∴＝λ(a＋b)，＝μ(b－a). 又∵＋＝， ∴a＋μ(b－a)＝ λ (a＋b)，即 (1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0， 又∵a與b不共線， 由平面向量基本定理，， ∴μ＝λ＝， ∴AO＝AC，BO＝BD， 即AO＝OC，BO＝OD. ［例3］已知G為△ABC的重心，P為平面上任一點(diǎn)，求證：PG＝ (PA＋PB＋PC). 證明：如圖，設(shè)△ABC三條中線分別為AM、BK和CL，則易知AM＝3GM，由向量中線公式有： ＝ (＋)，＝ (＋)， ∴＋＝ (＋) ① 同理可得＋＝ (＋) ② ＋＝ (＋) ③ 由式①＋②＋③得：2(＋＋) ＝ (＋＋＋＋＋)＝0 ∴＋＋＝0 ∴3＝＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋＋ ∴PG＝ (PA＋PB＋PC). ［例4］AD、BE、CF是△ABC的中線，若直線EG∥AB，F(xiàn)G∥BE. 求證：AD GC. 證明：如圖，因?yàn)樗倪呅蜝EGF是平行四邊形. 所以＝ 又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以＝， 所以－＝－， 所以＝ (＋)＝＋＝＋＝ 所以AD GC. ［例5］設(shè)四邊形ABCD的兩對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別是E、F，求證：｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD). 證明：如圖，∵＝＋＋， ＝＋＋， ∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋) ∵E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，∴＋＝0，＋＝0， ∴＝ (＋) 又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜， ∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤ (｜｜＋｜｜)， 即｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD). Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P68練習(xí)1，2，3. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求學(xué)生在理解平面向量基本定理基礎(chǔ)上，能掌握平面向量基本定理的簡單應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P69習(xí)題 9，10，12，13 向量的數(shù)乘 1．已知ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，則向量BC等于 （ ） A. 2a＋b B.2a－b C.b－2a D.－b－2a 2．若＝5e1，＝－7e1，且||＝||，則四邊形ABCD是 （ ） A.平行四邊形 B.等腰梯形 C.菱形 D.梯形但兩腰不相等 3．設(shè)D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝－a－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0.其中正確的命題個(gè)數(shù)為 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4．若O為平行四邊形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，則3e2－2e1等于 （ ） A. B. C. D. 5．已知向量a，b不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7) a，則x＝ ，y＝ . 6．在△ABC中，＝，EF∥BC交于點(diǎn)F，設(shè)＝a，＝b，用a、b表示向量為 . 7．若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則實(shí)數(shù)k的值為 . 8．已知任意四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：＝（＋）. 9．在△OAB中，C是AB邊上一點(diǎn)，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，試用a，b表示. 10．如圖，＝a，＝b，＝t（t∈R)，當(dāng)P是（1）中點(diǎn)，（2）的三等分點(diǎn)（離A近的一個(gè)）時(shí)，分別求. 向量的數(shù)乘答案 1．D 2．B 3．C 4．B 5． 6．－a＋b 7．1 8．已知任意四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：＝（＋）. 證明：∵＋＋＋＝0，＋＋＋＝0 ∴＝＋＋，＝＋＋ 兩式相加， 2＝＋＋＋＋＋ ∵＋＝0，＋＝0 ∴＝（＋）. 9．在△OAB中，C是AB邊上一點(diǎn)，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，試用a，b表示. 解：＝(b＋λa) 10．如圖，＝a，＝b，＝t（t∈R)，當(dāng)P是（1）中點(diǎn)，（2）的三等分點(diǎn)（離A近的一個(gè)）時(shí)，分別求. 解：（1）∵P為中點(diǎn)，∴＝（b－a） ∴＝a＋ (b－a)＝ (a＋b). (2)∵＝ (b－a) ∴＝a＋（b－a)＝ (b＋2a).