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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第八章 8.4 直線與圓錐曲線的位置關系教案 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 已知直線l:Ax+By+C=0與圓錐曲線C：f(x,y)=0. 1.方程組解的組數(shù)即為l與C的交點的個數(shù)； 方程組的解就是l與C的交點的坐標. 2.若l與C有兩個交點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，則線段P1P2為直線被圓錐曲線截得的弦，其弦長|P1P2|==|x1-x2|.其中k為直線l的斜率. 3.中點坐標公式：設A(x1,y1)、B(x2,y2)，則線段AB的中點M(x0,y0)的坐標滿足： 4.弦差法求直線的斜率 若曲線為mx2+ny2=1(m≠0,n≠0),則由 m(x12-x22)+n(y12-y22)=0k==-. 二、點擊雙基 1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作一條直線l交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則等于( ) A.-4 B.4 C.-p2 D.p2 解析：特殊值法.設l的方程為x=,則x1=x2=. ∴y1=-y2=p.∴==-4. 答案：A 2.已知雙曲線-=1與直線y=2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍是( ) A.(1,) B.(1,)∪(，+∞) C.(，+∞) D.［,+∞］ 解析：雙曲線的漸近線的斜率k=，要使雙曲線-=1和直線y=2x有交點，只要滿足>2即可，∴>2. ∴>2.∴e>. 答案：C 3.已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點的弦的長度為( ) A.3 B.2 C. D. 解析：依題設弦端點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x12+2y12=4,x22+2y22=4. ∴x12-x22=-2(y12-y22). ∴此弦斜率k==-=-. ∴此弦直線方程為y-1=-(x-1), 即y=-x+代入x2+2y2=4, 整理得3x2-6x+1=0. ∴x1x2=,x1+x2=2. ∴|AB|===. 答案：C 4.已知(4,2)是直線l被橢圓+=1所截得的線段的中點，則l的方程是______________. 解析：設直線l與橢圓交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 將P1、P2兩點坐標代入橢圓方程相減得直線l斜率k==- =-=-=-. 由點斜式可得l的方程為x+2y-8=0. 答案：x+2y-8=0 5.過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=8,O為坐標原點，則△OAB的重心的橫坐標為______________________________. 解析：由題意知拋物線焦點F(1,0).設過焦點F(1,0)的直線為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 代入拋物線方程消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0. ∵k2≠0,∴x1+x2=,x1x2=1. ∵|AB|= = = =8, ∴k2=1. ∴△OAB的重心的橫坐標為 x==2. 答案：2 誘思實例點撥 【例1】 已知直線l:y=tanα(x+2)交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點，若α為l的傾斜角，且|AB|的長不小于短軸的長，求α的取值范圍. 剖析：確定某一變量的取值范圍，應設法建立關于這一變量的不等式，題設中已經明確給定弦長≥2b,最后可歸結為計算弦長求解不等式的問題. 解：將l方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,得(1+9tan2α)x2+36tan2αx+72tan2α-9=0, ∴|AB|=|x2-x1| = =. 由|AB|≥2,得tan2α≤, ∴-≤tanα≤. ∴α的取值范圍是［0,］∪［,π］. 講評：考查直線與橢圓相交所得弦長的范圍，對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用.本題由于l的方程由tanα給出，所以可以認定α≠,否則涉及弦長計算時，還應討論α=時的情況. 【例2】 討論直線l:y=kx+1與雙曲線C：x2-y2=1的公共點的個數(shù). 剖析：直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)問題的討論實際上是相應方程組的解的問題. 解：聯(lián)立直線和雙曲線方程 消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0. 當1-k2=0,即k=1時，x=1. 當1-k2≠0,即k≠1時，Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2. 由Δ>0得-. 所以當k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,)時，直線l與雙曲線C相交于兩點; 當k=時，直線l與雙曲線C相切于一點； 當k=1時，直線l與雙曲線C相交于一點; 當k∈(-∞,-)∪(,+∞)時，直線l與雙曲線C沒有公共點，直線l與雙曲線C相離. 講評：該題討論了過定點(0,1)的直線系與等軸雙曲線的位置關系.按1-k2是否等于0來分類討論.容易犯的兩個錯誤：一是不討論二次項系數(shù)為零的情況；二是討論判別式時，丟掉前提條件二次項系數(shù)不為零. 【例3】如圖，點A、B分別是橢圓+=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點P的坐標； (2)設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值. 剖析：(1)由⊥，得=0和橢圓方程聯(lián)立出方程組求出點P的坐標. (2)利用函數(shù)思想方法，求出d2的最小值. 解：(1)由已知可得點A(-6,0)、F(4,0). 設點P的坐標是(x,y)，則=(x+6,y),=(x-4,y). 由已知得 則2x2+9x-18=0,x=或x=-6. 由于y>0,只能x=,于是y=. 所以點P的坐標是(,). (2)直線AP的方程是x-y+6=0，設點M的坐標是(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是=|m-6|. 又-6≤m≤6，解得m=2. 橢圓上的點(x,y)到點M的距離d有 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=(x-)2+15. 由于-6≤x≤6,∴當x=時，d取得最小值. 講評：方程組、函數(shù)的思想方法在解決平面解析幾何中有著非常重要的作用.